2025-2026学年苏科版数学八年级上册期中提优测试卷　

期中提优测试卷 (时间:120分钟 满分:120分) 学科网（北京）股份有限公司 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.(2023·湖南中考)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是 ( ) A.1 cm,2cm ,3cm B.3cm,8cm ,5cm C.4 cm,5cm ,10 cm D.4 cm,5cm ,6 cm 2.若一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的底角的度数为 () A.30° B.30°或120° C. 120° D.30°或80° 3.(2025·天水期中)比较2, , 的大小，正确的是 ( ) 4.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M 为BC边上的中点,MN⊥AC 于点 N,那么MN等于( ) A. B. c. D. 5.(2024·宿迁校级月考)如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为-1,1,CB⊥AB 于点 B,且BC=1.连接AC,在AC 上截取 CD=BC,以点A为圆心，AD 的长为半径画弧，交线段AB 于点E，则点 E 表示的实数是 ( ) C. 6.(2023·台州中考)如图,锐角三角形ABC 中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD.下列命题中，假命题是 ( ) A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBC B.若∠DCB=∠EBC,则CD=BE C.若BD=CE,则∠DCB=∠EBC D.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE 7.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC=3,BC=4,点D在AB上,AD=AC,AF⊥CD,交CD于点 E,交CB 于点 F,则CF 的长是 ( ) A.1.5 B.1.8 C.2 D.2.5 8.如图,△ABC中,BC=10,AC-AB=4.过点 C 作∠BAC 的平分线的垂线，垂足为点 D，连接BD,则S△BDC的最大值为 ( ) A.10 B.15 C.12 D.14 二、填空题(每小题3分，共30分) 9.已知等腰三角形的周长为7，一边长为3，则它的腰长为 . 10. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加条件 . 11.(2023·丽水中考)如图,在△ABC中,AC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交AC 于点 E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC 的长是 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12.(2025·重庆月考)设x,y为实数,且y=21- ，则x+y的立方根是 . 13.如图，点O 在△ABC内且到三边的距离相等.若∠A=58°,则∠BOC= °. 14. (2024 ·泉州月考) 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,AD⊥BC,垂足为D,则AD+BD= . 15.(2025·无锡期末)如图,∠B=45°,BC=2,在射线 BM上取一点A，设AC=d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，则d的取值范围是 . 16.(2024·湛江月考)如图,已知∠MON=30°,点A₁,A₂,A₃,…在射线 ON上,点 B₁,B₂,B₃,…在射线OM上,△A₁B₁A₂,△A₂B₂A₃,△A₃B₃A₄,…均为等边三角形，若( 则△A₂₀₂₄B₂₀₂₄A₂₀₂₅的边长为 . 17.在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N.若∠BAC=α(α≠90°),则∠EAN= (用含α的代数式表示∠EAN的大小). 18.(盐城中考改编)如图，在长方形ABCD中,AB =3,AD=4,E,F分别是边 BC,CD 上一点,EF⊥AE,将△ECF 沿EF翻折得到△EC'F,连接AC',当BE= 时,△AEC'是以AE 为腰的等腰三角形. 三、解答题(共66分) 19.(6分)(2025·泰州期末) (1)计算: (2)求( 中x的值. 20.(6 分)(2023·苏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC 的角平分线.以点A为圆心，AD 长为半径画弧，与AB，AC 分别交于点 E,F,连接DE,DF. (1)求证:△ADE≌△ADF; (2)若∠BAC=80°,求∠BDE 的度数. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21.(8分)长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离 BD 的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的长为25 米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. (1)求风筝的垂直高度 CE； (2)如果小明想风筝沿 CD 方向下降12米，那么他应该往回收线多少米? 22. (8 分)如图,在△ABC 中,∠ABC = 45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为 BC的中点,BE 与 DF,DC 分别交于点 G,H,∠ABE=∠CBE. (1)线段BH与AC相等吗?若相等，给予证明；若不相等，请说明理由. (2)求证: 23.(9分)已知:△ABC(如图所示). (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：求作一点 D,使得点 D 到边 AB,AC 的距离相等，且满足DB=DC.(不写作法，保留作图痕迹) (2)若AB=15,AC=9,在(1)的基础上,过点D作 DE⊥AB 于 E,求 BE 的长.(如需画草图，请使用备用图) 24.(9分)如图，C为线段 BD 上一动点，分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC,已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC+CE的长； (2)请问点 C 满足什么条件时,AC+CE 的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 25.(9分)(2024·南通期末)某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究. 如图，在等边三角形ABC中，过点 B 作射线BM∥AC,在射线 CB上取一点 P(不与点B,C 重合),作∠APE=60°,∠APE 的边 PE 交射线 BM 于点 E. (1)【动手操作】 如图①,若点 P 在线段 CB 上,图中与∠EPB相等的角为 ； (2)【问题探究】 在(1)的基础上，探究线段 PA 与 PE 的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当点 P 在射线 CB 上移动时，用等式表示线段 BC，BP，BE之间的数量关系，并说明理由. 26.(11分)如图①,△ABC中,CD⊥AB 于点 D,且BD:AD:CD=2:3:4. (1)试说明△ABC是等腰三角形. (2)已知 如图②，动点M从点B 出发，以每秒1 cm的速度沿线段 BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发，以相同速度沿线段AC 向点 C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点 M 运动的时间为ts. ①若△DMN的边与BC平行,求t的值. ②若点 E 是边AC的中点，问：在点 M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由. 期中提优测试卷 1. D 2. D 3. D 4. C 5. B 6. A 7. A 解析:连接DF.∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB=5.∵AD=AC=3,AF⊥CD,∴CE=DE,BD=AB-AD=2,∴ CF=DF.在 △ADF 和△ACF 中, ∴△ADF≌△ACF(SSS),∴∠ADF=∠ACF=90°,∴∠BDF=90°.设CF=DF=x,则BF=4-x.在Rt△BDF 中,由勾股定理,得 即 解得x=1.5,∴CF=1.5,故选 A. 8. A 解析:延长 AB,CD 交于点 E.∵ AD 平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD.∵ CD⊥AD,∴∠ADC=∠ADE=90°.在△ADE 和△ADC 中, △ADE≌△ADC(ASA),∴ AC=AE,DE = CD. ∵AC-AB =4,∴ AE-AB =4,即 BE =4.∵ DE = DC,∴ S△BDC = 当BE⊥BC时,S△BDC的面积最大,即△BDC 的最大面积 故选A. 9.2或3 10. AB=AC 11.4 12.3 13.119 14.21 或d≥2 解析:由题意可知,当CA⊥BA时,∵BC=2,∴AC= 即 时,能作出唯一一个△ABC;当 CA = BC 时,∵∠B=45°,BC=2,∴AC=BC=2,即d≥2时能作出唯一一个△ABC.综上所述,当 或d≥2时能作出唯一一个△ABC，故d= 或d≥2. 16.22024 解析:由OA₁=2,∠MON=30°,△A₁B₁A₂为等边三角形,可求得△A₁B₁A₂ 的边长 同理,△A₂B₂A₃的边长 的边长A ,从而得△AnBnAn+1 的边长为2 的边长为22024. 17.180°-2α或 2α-180° 解析:如图①,在△ABC 中,∠B+∠C= E 垂直平分AB,∴AE=BE,∴ ∠BAE=∠B.同理可得∠CAN=∠C,∴ ∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN= ;如图②,∵ DE 垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B.同理可得∠CAN=∠C,∴∠EAN=∠BAE+∠CAN- .综上所述，∠EAN 的度数为180°-2α或2α-180°. 18. 或 解析:设BE=x,则CE=EC'=4-x.①当AE=EC'时,AE=4-x.∵ 四边形ABCD 是长方形,∴∠B=90°.在 Rt△ABE 中,AB²+ 即 解得 ②当AE=AC'时,如图①,过点 A 作 AG⊥EC'于点 G,则 CE=EC'= 2EG.∵AE⊥EF,∴ ∠AEF =90°,∴∠AEC'+∠C'EF = 90°,∠AEB+∠CEF=90°.由折叠得∠C'EF=∠CEF,∴ ∠AEC' = ∠AEB.在 △ABE 和△AGE 中, ∴△ABE≌△AGE(AAS), ∴BE=EG=x,∴CE=EC'=2x,∴ BC=BE+EC=x+2x=4,解得x= 即,1 综上可知，BE的长为- 或 一题多解 当AE=AC'时，也可利用下面的方法求解：如图②，延长EB 到点H,使EH=EC'.∵AE⊥EF,∴∠AEF=90°,∴∠AEC'+∠C'EF=90°,∠AEB+∠CEF=90°.由折叠得∠C'EF=∠CEF,∴ ∠AEC'=∠AEB.在 △AEH 和 △AEC' 中,(EAMEC,∠AEC', ∴△AEH≌△AEC'(SAS),∴ AH=AC'.又∵ AE=AC',∴AH=AE.∵ AB⊥HE,∴EH=2BE=2x.由折叠得EC'=EC=4-x,∴EH=4-x,∴2x=4-x,解得 即 19.(1)原式=3+4+(-4)=3. (2)∵(x-1)²=9,∴x-1=3或x-1=-3,解得x=4或x=-2. 20.(1)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.由作图知AE=AF.在△ADE 和△ADF中, ∴△ADE≌△ADF(SAS). (2)∵ ∠BAC = 80°,AD 为△ABC 的角平分线,∴ ∠EAD = 由作图知,AE=AD,∴ ∠AED=∠ADE,∴ ∠ADE= ×(180°-40°)= 70°.∵ AB=AC,∴AD⊥BC,∴ ∠BDE=90° ∠ADE=20°. 21.(1)在 Rt△CDB 中,由勾股定理,得 米,∴ CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米). 答：风筝的垂直高度 CE 为21.6米. (2)如图,由题意得,CM=12 米,∴ DM=8 米,∴ BM²=DM²+BD²=8²+15²=289,∴BM=17米,∴BC-BM=25-17=8(米). 答：小明应该往回收线8米. 22. (1) BH = AC.证明:∵ CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠BDH=∠BEA=∠CDA=90°.∵ ∠ABC=45°,∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC,∴DB=DC.∵ ∠BDH=∠BEA=∠CDA=90°,∴ ∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°,∴ ∠HBD=∠ACD.∵在△DBH 和△DCA 中, ∴ △DBH≌△DCA(ASA),∴BH=AC. (2)连接CG,由(1)知,DB=CD.∵ F为BC的中点,∴DF垂直平分BC,∴BG=CG.∵ ∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,∴EC=EA.在 Rt△CGE中，由勾股定理，得 23. (1)如图①所示. 解析:在AB,AC上分别截取AN,AM,使 AN=AM;分别以点 M 和点N为圆心，适当长(大于 MV的长)为半径作圆弧，在∠BAC 内，两弧交于点O；连接AO并延长，分别以点 B 和点 C 为圆心，以大于 BC的长度为半径作弧，两弧相交于点 Q，P；作直线 PQ，直线PQ 与射线AO交于点D，点D 即为所求. (2)如图②,过点D作DE⊥AB交AB 于点 E,过点D作DF⊥AC交AC 的延长线于点 F. 由(1) 知 BD = DC, ∠BAD = ∠CAD,∴DE=DF. 在 Rt△BDE 与 Rt△CDF中, ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴ BE=CF.在 Rt△ADE与Rt△ADF中, ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴AE=AF, ∴BE=CF=AB-AE=AB-(AC+CF),即BE=AB-AC-BE, 24.(1)根据题意,AB⊥BD,ED⊥BD,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x,则BC=BD-CD =8-x,利用勾股定理,得 ²,CE=√CD²+DE²= √x²+1,∴AC+ (2)根据题意,连接AE,则AC+CE≥AE,当A,C,E三点共线时,AC+CE的值最小. (3)根据 构造AB=3,DE=2,BD=12,CD=x.如图所示,当A,C,E三点共线时,AC+CE 最小,延长 ED 到点F,过点A 作AF⊥DF 于点 F,易得AF=BD=12,AB=DF=3,EF =ED+DF =5.故 AE = 25.(1)∠PAC (2)PA=PE.理由如下:如图①,延长EB 至点H,使BH=BP,连接PH.∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB =BC,∠ACB =∠ABC = 60°.∵BM∥AC,∴∠ACB=∠CBH=60°.又∵BP=BH,∴△BPH是等边三角形,∴ PH=BP =BH,∠H =60°=∠ABC =∠APE =∠BPH,∴∠APB=∠EPH,∴△APB≌△EPH(ASA),∴PA=PE. (3)当点 P在BC上时,BC=BP+BE;当点 P 在线段 CB 的延长线上时,BE=BP+BC.理由如下:当点 P 在 BC上时,由(2)可知,△APB≌△EPH,∴AB=EH,∴BC=EH=EB+BH=BE+BP.当点 P在线段CB的延长线上时，如图②，在BE上截取BH=BP，连接PH.∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ACB=∠ABC=60°.∵ BM∥AC,∴∠ACB=∠PBH=60°.又∵BP=BH,∴△BPH是等边三角形,∴PH=BP=BH,∠BHP=60°=∠ABC=∠APE=∠BPH,∴∠APB=∠EPH,∠EHP=∠ABP=120°,∴△APB≌△EPH(ASA),∴ EH=AB,∴ BE=BH+EH=BP+BC. 26.(1)设BD=2x,AD=3x,CD=4x,则AB=5x,在 Rt△ACD 中, AD²+CD²,∴AC=5x,∴AB=AC,∴ △ABC是等腰三角形. 而x>0,∴x=2,则BD=4 cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=10cm. ①当MN∥BC时,AM=AN,即10-t=t,∴t=5;当DN∥BC时,AD=AN,得t=6.∴若△DMN的边与BC平行,则t的值为5或6. ②能.当点 M 在 BD 上,即0≤t<4时,△MDE 为钝角三角形,但DM≠DE;当t=4时,点 M运动到点 D,不构成三角形;当点 M在DA上,即4<t≤10时,△MDE为等腰三角形,有3种可能. 若DE=DM,则t-4=5,∴t=9;若ED=EM,则点 M运动到点A,∴t=10;若MD=ME=t-4.过点E作EF⊥AB 于点 F,∵ ED=EA,∴DF=AF= 在Rt△AEF中,EF=4 cm.∵ BM=t cm,BF=7 cm,∴ FM=|t-7| cm.在 Rt△EFM中, 综上所述，符合要求的t的值为9或10或 学科网（北京）股份有限公司 $