1.1二次函数 同步课堂　2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.1二次函数 讲解目录 【知识点1】二次函数的定义 1 【题型1】二次函数的识别 2 【题型2】二次函数的二次项，一次项，常数项 4 【题型3】利用自变量与函数值建立二次函数解析式 6 【题型4】利用几何图形建立二次函数解析式 9 【题型5】利用二次函数的定义求待定字母的值 11 知识讲解 【知识点1】二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 1.（2024秋•沭阳县期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A． B．s=2t2-2t+1 C．y=ax2+bx+c D．y=（x-1）2-x2 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且a≠0），逐一判断即可解答． 【解答】解：A、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、s=2t2-2t+1，是二次函数，故此选项符合题意； C、y=ax2+bx+c,当a=0时，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、化简后为y=-2x+1，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2.（2024秋•濉溪县期末）若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（　　） A．-2 B．4 C．4或-2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义得到a2-2a-6=2，由抛物线的开口方向得到a＞0，由此可以求得a的值． 【解答】解：∵函数y=a是二次函数且图象开口向上， ∴a2-2a-6=2，且a＞0， 解得 a=4． 故选：B． 题型专练 【题型1】二次函数的识别 【典型例题】下列函数中是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.是一次函数，不是二次函数，故选项A不符合题意； B.是正比例函数，不是二次函数，故选项B不符合题意； C.的自变量次数是3，不是二次函数，故选项C不符合题意； D.是二次函数，故选项D符合题意； 故选：D. 【举一反三1】如果是一个有理数，那么在下列关于的代数式中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A．y=x2+k是二次函数，故A正确； B．当k=0时，y=kx2不是二次函数，故B错误； C．y=，未知数的次数为﹣2，不是二次函数，故C错误； D．y=k2x中，未知数的次数为1，不是二次函数，故D错误． 故选A． 【举一反三2】下列函数不属于二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．，是二次函数，不符合题意； B．，是二次函数，不符合题意； C．，是二次函数，不符合题意； D．，不是二次函数，符合题意； 故选D． 【举一反三3】下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是            ． 【答案】②④ 【解析】①为一次函数； ②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④为二次函数； ⑤函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④． 【举一反三4】下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x-1； （2）； （3）  ； （4）； （5）； （6）. 【答案】解：（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1． （2）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3． （4）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x． （6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式． 故（2）（4）是二次函数． 【举一反三5】判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】解：（1），没有二次项，故不是二次函数； （2），符合，故是二次函数； （3），右边不是整式，故不是二次函数； （4），符合，故是二次函数； （5），符合，故是二次函数； （6），没有二次项，故不是二次函数． 【题型2】二次函数的二次项，一次项，常数项 【典型例题】函数的一次项系数是（　　） A. B.1 C.3 D.6 【答案】A 【解析】函数的一次项系数是． 故选：A． 【举一反三1】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A.1，， B.1，6，1 C.0，，1 D.0，6， 【答案】A 【解析】二次函数， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，． 故选：A． 【举一反三2】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A.二次项系数是1 B.一次项系数是9 C.常数项是 D.是关于的一次函数 【答案】B 【解析】， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 【举一反三3】已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝   ，一次项系数b＝   ，常数项c＝   ． 【答案】3；﹣5；1 【解析】二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1， 故答案为：3，﹣5，1． 【举一反三4】二次函数的一次项系数是        ． 【答案】 【解析】∵二次函数的一次项为， ∴二次函数的一次项系数是． 故答案为：． 【举一反三5】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】解：(1)是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是二次函数； (3)是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是二次函数. 【举一反三6】把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项. （1）y＝x2＋（x＋1）2； （2）y＝（2x＋3）（x－1）＋5； （3）y＝4x2－12x（1＋x）； （4）y＝（x＋1）（x－1）. 【答案】解：（1）∵y＝x2＋（x＋1）2＝x2＋x2＋2x＋1＝2x2＋2x＋1， ∴一般形式为y＝2x2＋2x＋1，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1. （2）∵y＝（2x＋3）（x－1）＋5＝2x2－2x＋3x－3＋5＝2x2＋x＋2， ∴一般形式为y＝2x2＋x＋2，二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为2. （3）∵y＝4x2－12x（1＋x）＝4x2－12x－12x2＝－8x2－12x， ∴一般形式为y＝－8x2－12x，二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0. （4）∵y＝（x＋1）（x－1）＝x2－1， ∴一般形式为y＝x2－1，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为－1. 【题型3】利用自变量与函数值建立二次函数解析式 【典型例题】已知二次函数的与的部分对应值如下表： 当时，的值是（    ） A. B. C.2 D.6 【答案】A 【解析】把（-2，-6），（0，2），（2，6）三点坐标代入，得 , 解得，, ∴二次函数解析式为, ∴当时，, 故选：A. 【举一反三1】已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（    ） A.a＝1，b＝2 B.a＝1，b＝﹣2 C.a＝﹣1，b＝2 D.a＝﹣1，b＝﹣2 【答案】B 【解析】根据题意得， 解得a＝1，b＝﹣2． 故选：B． 【举一反三2】一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（    ） A.y＝4x2+3x﹣5 B.y＝2x2+x+5 C.y＝2x2﹣x+5 D.y＝2x2+x﹣5 【答案】A 【解析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5， ∴c＝﹣5①， a﹣b+c＝﹣4②， 4a﹣2b+c＝5③， 解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5， 所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5． 故选：A． 【举一反三3】已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（    ） A.y＝2x2＋4x﹣1 B.y＝x2＋4x﹣2 C.y＝-2x2＋4x+1 D.y＝2x2＋4x+1 【答案】A 【解析】根据题意得， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝2x2＋4x﹣1． 故选：A． 【举一反三4】如表所示，则与的关系式为（　　） A. B. C. D.非以上结论 【答案】B 【解析】设二次函数的解析式为， ∵点满足关系式， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， 当时，， ∴与的关系式为． 故选B． 【题型4】利用几何图形建立二次函数解析式 【典型例题】用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米， ∴矩形另一边长为米， ∴矩形的面积， 故选：B. 【举一反三1】如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形， ∴表面积． 故选：C． 【举一反三2】正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得，， 故选：C． 【举一反三3】长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【举一反三4】用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米， ∴矩形另一边长为米， ∴矩形的面积， 故选：B. 【举一反三5】正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是      ． 【答案】 【解析】由题意得：． 故答案为：． 【举一反三6】用长为30米的栅栏围成一个矩形花圃，其中一边长为x米，面积为y平方米，则y与x的函数关系为          ． 【答案】 【解析】篱笆的总长为30米，花圃一边长为米， 花圃另一边长为米． 根据题意得：． 故答案为：． 【举一反三7】长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是        ． 【答案】 【解析】长方形的周长为，其中一边， 另一边长为， ， 故答案为：． 【举一反三8】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是                 ． 【答案】 【解析】由题意可得：． 故答案为：． 【题型5】利用二次函数的定义求待定字母的值 【典型例题】关于x的函数是二次函数的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当，即，则是二次函数． 故选：B． 【举一反三1】函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A. B.或 C. D.不存在 【答案】C 【解析】由题意得，解得：， 故选：． 【举一反三2】若表示是的二次函数，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】表示是的二次函数， ， 解得． 故选：D． 【举一反三3】若是二次函数，则      ． 【答案】4 【解析】∵函数是二次函数， ∴， ∴． 故答案为4． 【举一反三4】若函数是二次函数，则      ． 【答案】 【解析】∵是二次函数， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：. 【举一反三5】如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值． 【答案】解：根据二次函数的定义：m2﹣3m+2=2，且m﹣3≠0， 解得：m=0． 【举一反三6】已知函数是二次函数，求m的值． 【答案】解：由是二次函数，得， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1二次函数 讲解目录 【知识点1】二次函数的定义 1 【题型1】二次函数的识别 2 【题型2】二次函数的二次项，一次项，常数项 3 【题型3】利用自变量与函数值建立二次函数解析式 3 【题型4】利用几何图形建立二次函数解析式 4 【题型5】利用二次函数的定义求待定字母的值 5 知识讲解 【知识点1】二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 1.（2024秋•沭阳县期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A． B．s=2t2-2t+1 C．y=ax2+bx+c D．y=（x-1）2-x2 2.（2024秋•濉溪县期末）若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（　　） A．-2 B．4 C．4或-2 D．4或3 题型专练 【题型1】二次函数的识别 【典型例题】下列函数中是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如果是一个有理数，那么在下列关于的代数式中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】下列函数不属于二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是            ． 【举一反三4】下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x-1； （2）； （3）  ； （4）； （5）； （6）. 【举一反三5】判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型2】二次函数的二次项，一次项，常数项 【典型例题】函数的一次项系数是（　　） A. B.1 C.3 D.6 【举一反三1】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A.1，， B.1，6，1 C.0，，1 D.0，6， 【举一反三2】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A.二次项系数是1 B.一次项系数是9 C.常数项是 D.是关于的一次函数 【举一反三3】已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝   ，一次项系数b＝   ，常数项c＝   ． 【举一反三4】二次函数的一次项系数是        ． 【举一反三5】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【举一反三6】把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项. （1）y＝x2＋（x＋1）2； （2）y＝（2x＋3）（x－1）＋5； （3）y＝4x2－12x（1＋x）； （4）y＝（x＋1）（x－1）. 【题型3】利用自变量与函数值建立二次函数解析式 【典型例题】已知二次函数的与的部分对应值如下表： 当时，的值是（    ） A. B. C.2 D.6 【举一反三1】已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（    ） A.a＝1，b＝2 B.a＝1，b＝﹣2 C.a＝﹣1，b＝2 D.a＝﹣1，b＝﹣2 【举一反三2】一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（    ） A.y＝4x2+3x﹣5 B.y＝2x2+x+5 C.y＝2x2﹣x+5 D.y＝2x2+x﹣5 【举一反三3】已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（    ） A.y＝2x2＋4x﹣1 B.y＝x2＋4x﹣2 C.y＝-2x2＋4x+1 D.y＝2x2＋4x+1 【举一反三4】如表所示，则与的关系式为（　　） A. B. C. D.非以上结论 【题型4】利用几何图形建立二次函数解析式 【典型例题】用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（    ）    A. B. C. D. 【举一反三2】正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A. B. C. D. 【举一反三4】用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 【举一反三5】正方形的边长是1，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式是      ． 【举一反三6】用长为30米的栅栏围成一个矩形花圃，其中一边长为x米，面积为y平方米，则y与x的函数关系为          ． 【举一反三7】长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是        ． 【举一反三8】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是                 ． 【题型5】利用二次函数的定义求待定字母的值 【典型例题】关于x的函数是二次函数的条件是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A. B.或 C. D.不存在 【举一反三2】若表示是的二次函数，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】若是二次函数，则      ． 【举一反三4】若函数是二次函数，则      ． 【举一反三5】如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值． 【举一反三6】已知函数是二次函数，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $