第3章 勾 股 定 理　　复习练习　2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第3 章提优测试卷 (时间:90分钟 满分:100分) 学科网（北京）股份有限公司 一、选择题(每小题4分，共24分) 1.(2025·郑州期中)下列各组数能构成勾股数的是 ( ) A.2, , B.3²,4²,5² D.12,16,20 2.(2025·常州期末)如图，根据尺规作图痕迹，点 M 在数轴上表示的数是 ( ) B. D.5 3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别是a,b,c,若a+b=14 cm,c=10 cm,则Rt△ABC 的面积是 ( ) 4.(2024·锦州期中)如图①为一块光学直棱镜,其截面为 Rt△ABC(如图②),AB 所在的面为不透光的磨砂面,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm .现将一束单色光从AC边上的O点射入，折射后到达AB 边上的点 D 处，恰有CD⊥AB,再经过反射后(即∠CDE=∠ODC),从点E垂直于 BC射出，则光线在棱镜内部经过的路径OD+DE的总长度为 ( ) A. 3cm 5.定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,则△ABC中AB边的“中高偏度值”为 ( ) D.C. B. A. 6.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18 cm，宽为16 cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10 cm的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其他两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为 ( ) B.50 cm²或40 cm² C.50 cm²或40 cm²或30 cm² D.50cm²或30cm²或 二、填空题(每小题4分，共32分) 7.(2025·南通校级月考)直角三角形的两边a，b满足 第三边长是 . 8.(2024·浙江中考改编)如图,正方形ABCD 由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若AE=4,BE=3,则DE= . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9.如图，以 Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若AB=3，则图中阴影部分的面积为 . 10.(北京中考)如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA= °.(点A,B,P 是网格线交点) 11.如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20 dm、4 dm、1 dm,A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是 dm. 12.(2025·衡阳期末)如图,在△ABC 中,AC=6,BC=8,AB=10,AD 是∠BAC 的平分线,若P,Q 分别是AD 和AC上的动点,则 PC+PQ的最小值是 . 13.(2024·陕西中考)如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是边 AB 上一点,连接CE,在 BC 右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC 的面积为 . 14.如图,直角三角形DEF 中,∠DFE=90°,在直角三角形外面作正方形ABDE,CDFI,EFGH,面积分别为25,9,16,△AEH,△BDC,△GFI的 面 积 分 别 为 S₁, S₂, S₃,则 三、解答题(共44分) 15.(6分)(泰州中考)如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=8. (1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)若(1)中所作的垂直平分线交 BC 于点D,求 BD 的长. B 16.(8分)为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速.如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A 60m的C处，过了4s 后，小汽车到达离车速检测仪A 100m的B处(AC⊥BC)，已知该段城市街道的限速为60 km/h，请问这辆小汽车是否超速? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17.(8分)(包头中考改编)如图，点E 是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点 B 顺时针旋转 90°到△CBE'的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,求∠AEB的度数. 18.(9分)(徐州中考)如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,使 C,A 两点重合,点 D 落在点 G处.已知AB=4,BC=8. (1)求证:△AEF 是等腰三角形; (2)求线段 FD 的长. 19.(13分)(扬州中考改编)我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图①，在△ABC 中，AO 是BC边上的中线,AB与AC 的“极化值”就等于 的值,可记为AB △ AC= (1)在图①中,若∠BAC=90°,AB=8,AC=6,AO 是 BC 边上的中线,则 AB △ AC = ,OC△OA= ; (2) 如图②,在 △ABC 中,AB = AC = 4,∠BAC=120°,求AB △AC,BA △BC 的值; (3)如图③,在△ABC 中,AB=AC,AO 是 BC边上的中线，点N在AO上，且 已知AB△AC=14,BN△BA=10,求BC 的长. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第3 章提优测试卷 1. D 易错提醒 判断勾股数时不仅要考虑其是否满足勾股定理的数量关系，还需要注意勾股数是正整数这一要求. 2. B 3. A 4. B 5. B 解析:如图,过点 C作 CH⊥AB于点 H,取AB的中点 D,连接 CD,∵ ∠ACB=90°,AC= AB·CH,∴CH=2.4,∴ BH²=BC²-CH²=1.8²,∴ BH=1.8,∴ DH= 故选 B. 6. C 解析:本题可分三种情况讨论:①如图①,Rt△AEF中,AE=AF= ②如图②,△AGH中,AG=GH=10 cm,在 Rt△BGH中,BG=AB-AG=16-10=6(cm)，根据勾股定理可得 ③如图③,△AMN中,AM=MN=10 cm,在Rt△DMN中,DM=AD-AM=18-10=8(cm),根据勾股定理可得 DN=6cm, 故选 C. 7.5或 8. 9. 10.45 解析：如图，延长AP交格点于 D，连接BD，设小正方形的边长为1，则 ∴∠PDB=90°,∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°. 11.25 解析：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20 dm，宽为(4+1)×3 dm，则昆虫沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长.设昆虫沿台阶面爬行到B 点最短路程为x dm，由勾股定理得 ,解得x=25(负值舍去). 12. 解析:如图,过点C作CQ'⊥AB交AB于点 Q',交AD于点 P,过点 P 作 PQ⊥AC交AC 于点 Q,∵AD 是∠BAC 的平分线,∴ PQ=PQ'，根据垂线段最短可知，此时PC+PQ 有最小值,最小值为 CQ'的长.∵AC=6,BC =8,AB = 10,∴AC²+BC²=AB²,∴ ∠ACB = 90°, ∴ PC+PQ 的最小值为 13.60 解析:∵ AB=AC,∴ ∠ABC =∠ACB.∵BF∥AC,∴ ∠ACB=∠CBF,∴ ∠ABC=∠CBF,∴ BC 平分∠ABF.过点 C 作 CM⊥AB,CN⊥BF,则 且 ∴四边形EBFC 的面积 ∴AB=13,设AM=x,则 BM=13-x,由勾股定理,得 解得 .四边形EBFC的面积为60. 14.18 解析:过点 A 作 AM⊥EH,交 HE 的延长线于点 M.∵正方形ABDE,CDFI,EFGH 的面积分别为25,9,16,∴AE=DE=5,EF=FG=4,DF=FI=3,∠AED=∠HEF=90°=∠MEF,∴ ∠AEM=∠DEF,且∠AME =∠DFE,AE =DE,∴△AME≌△DFE(AAS), 同理可得 3=18. 15.(1)如图,直线 MN即为所求. (2)如图,∵ MN垂直平分线段AB,∴ DA=DB,设DA=DB=x.在Rt△ACD中,∵AD²= 解得x=5,∴BD=5. 16.超速. 理由如下:在 Rt△ABC中,AC=60m,AB=100m,由勾股定理可得 ∴BC=80 m，∴ 该辆小汽车的平均速度为80÷4=20(m/s)=72(km/h).∵72>60,∴这辆小汽车超速了. 17.连接EE'.∵ △ABE 绕点 B 顺时针旋转90°到△CBE'的位置,∴∠EBE'=90°,∴ △EBE'是直角三角形.∵ △ABE 与△CBE'全等,∴ BE=BE'=2,∠AEB=∠CE'B,∴ ∠BEE'=∠BE'E= 又 EE'²,∴△EE'C 是直角三角形,∴∠EE'C=90°,∴ ∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=135°,∴∠AEB=135°. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18.(1)由折叠的性质得∠CEF=∠AEF.∵ 四边形 ABCD 是长方形,∴AD∥BC,∴ ∠AFE =∠CEF,∴ ∠AEF =∠AFE,∴ AE =AF,∴△AEF是等腰三角形. (2)∵四边形ABCD 是长方形,∴AD=BC=8,AB=CD=4,∠D=90°.设FD=x,则AF=8-x.由折叠的性质得(GF=FD=x,AG=CD=4,∠AGF=∠D=90°,∴ 在 Rt△AGF 中,有 即4²+ ,解得x=3,即线段 FD的长为3. 19.(1)0 7 解析:∵∠BAC=90°,AB=8,AC=6,∴BC=10,∴BO= BC=5.∵∠BAC=90°,AO 是斜边 BC上的中线,∴ 如图①,取AC 的中点 M,连接(OM,∴CM= AC=3.∵AO=CO=5,∴OM⊥AC,∴∠OMC= 9=7. (2)如图②,过点A 作 AD⊥BC 于点 D.∵ AB=AC,∠BAC=120°,∴AD为边 BC 上的中线, 在Rt△ABD中,∵AB=4,∠ABC=30°,易得 过点B 作BE⊥AC,交 CA 的延长线于点 E,取AC 的中点 F,连接BF,∴AF= AC= 2,∠BEA=90°,∴ ∠ABE =∠BAC-∠BEA= .在 Rt△ABE 中,∵AB=4,∠ABE=30°,易得 AE= 在Rt△BEF中,∵ E = (3)如图③,取 AN 的中点 M,连接 ∴设AM= 10,∴ BM²=x²+10.∵ BO²+ 得 4,∴BO=2,BC=2BO=4. $