第3章 勾 股 定 理专题提优　2025-2026学年苏科版数学八年级上册　

第3章 勾 股 定 理 专题提优 15 勾股定理与最短路径问题 类型一立体图形中的最短路径问题 化曲为直求最短距离 1、(2024·吉安期末)一只螳螂在一段圆柱形松树树干的点 A 处，在其正上方的点 B 处有一只小虫子，螳螂按如图所示的路线来到 B 处吃掉小虫子.已知树干的底面周长为20cm，A，B 两点间的距离为 15 cm，则螳螂绕行的最短路程为 cm. 2.(2023·广安中考)如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点 B处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计) (二)化折为直求最短距离 3.(2025·西安模拟)如图是某校运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为80 cm，宽均为60 cm,1,2,3 号台的高度分别是 40 cm,30cm，20 cm.若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A 处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 4. 如图,一块长方体砖的宽AN=5,长ND=10,CD上的点 B 距地面的高 BD=8,地面上A 处 的一只蚂蚁到 B 处吃食，那么它需要爬行的最短路程是 . 类型二 平面图形中的最短路径问题 5.如图，高速公路的同一侧有A，B两个城镇，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为AA'=2km,BB'=4km,且.A'B'=8km. (1)要在高速公路上的A'，B'之间建一个出口P，使A，B两个城镇到 P 的距离之和最小，请在图中画出 P的位置； (2)最短距离为 km. 6.(1)探究:如图①,点 P,Q 为△ABC 的边 AB,AC上的两定点，在边 BC 上求作一点 M，使△PQM 的周长最短. (2)应用:如图②,在长方形 ABCD 中,AB=6,AD=8,点 E,F分别为边 AB,AD 的中点,点M，N 分别为边 BC，CD 上的动点，求四边形EFNM 的周长的最小值. (3)拓展:如图③,在△ABC 中,AC = BC,∠ACB=90°,点 D 在边 BC上,BD=3,DC=1,点 P 是边 AB 上的动点,试求 PC+PD 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 类型一 整体思想专题提优 16 勾股定理中数学思想的运用 1.已知直角三角形的面积为6cm²，两直角边的差为1cm，则它的斜边长为 cm. 类型二 方程思想 (一)单勾股列方程 2.(2025·沈阳校级月考)如图,△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,AD 平分∠BAC 交 BC 于点D，分别以点A和点 C为圆心，大于 4C的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线MN,交AD 于点 E,则DE的长为 ( ) A. B. D. 3.(2024·兰州期末)如图,∠AOB=90°,OA=25m,OB=5m ,一机器人在点 B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点 O，机器人立即从点 B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点 C 处截住了小球(O，C，A在一条直线上)，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是 ( ) A.12m B.13m C.14m D.15m 4.如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，CM⊥MB，经测量得到如下数据：AM=4m,AB=4m ,∠MAD=45°,CM: CB=3:5,则警示牌的高CD为 m. 5.(2023 ·随州中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D 为AC上一点,若BD 是∠ABC 的平分线,则AD= . 6.(西宁中考)如图，已知正方形ABCD 的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°,得到△DCM.若AE=1,则FM 的长为 . (二)双勾股列方程 7.如图,铁路上A,B 两点相距40km,C,D为两个村庄,DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为A 和B,DA=24 km,CB=16 km.现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点 ( ) A.20km B.16km C.12 km D.无法确定 8.(2024·永州期中)如图,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B落在 CD边上的 B'处，点A 的对应点为A'，且B'C=3,则AM的长是 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9.如图①，现有一张三角形纸片ABC，沿 BC边上的高 AE 所在的直线翻折，使得点 C 与 BC边上的点 D 重合. (1)填空:△ADC 是 三角形; (2)若AB=15,AC=13,BC=14,求BC 边上的高AE的长； (3)如图②,若∠DAC=90°,试猜想:BC,BD,AE 之间的数量关系，并加以证明. 类型三 分类讨论思想 10.在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高线为12,则△ABC 的面积为 . 11.(2025·苏州校级月考)如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=12,AB=9,DE⊥A( P 是直线AC 上一动点,把△CDP 沿 DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线 DE 上的点 H处,CP的长是 . 12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3c m,若动点 P 从点 C 开始,按 C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1 cm，设出发的时间为 ts. (1)点 P 出发6.5s 后,求 CP 和 BP 的长. (2)问满足什么条件时(t的值或取值范围)，△BCP 为直角三角形? 类型四 转化思想 13.如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,AD⊥BC于点D,M 为 AD 上任意一点,则 的值为 . 14.如图,四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，点B 在 EF 上，两块阴影部分的面积分别为S₁,S₂.若. 则 EB 的长为 . 15.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.分别以AB,AC,BC为边在 AB 的同侧作正方形 ABEF,ACPQ,BCMN,四块阴影部分的面积分别为 S₁,S₂,S₃,S₄,则 S₁- 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.(2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式： n²),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是 ( )数学探究 探寻“勾股数” A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 2.(2024·德阳模拟)勾股定理最早出自《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数,如6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为 2m(m≥3,m 为正整数),则其股是 (结果用含m的式子表示). 3.新趋势项目式学习勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”. 【探究1】 (1)①如果a，b，c是一组勾股数，即满足a²+ 则 ka, kb, kc(k为正整数)也是一组勾股数.如：3，4，5是一组勾股数，则 也是一组勾股数. ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出a= (n为正整数)是一组勾股数，证明满足以上公式的a，b，c是一组勾股数. 【探究2】 (2)观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,可以发 现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3 时，股 弦 勾为5 时，股 弦 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果 勾为 7, 则 股 24 = ; 弦25= . ②如果用n(n≥3，且n为奇数)表示勾，请用含有 n的式子表示股和弦，则股= ，弦= . 【探究3】 (3)①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数?若存在，试写出一组勾股数；若不存在，请说明理由. ②在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数?若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.某长方体的展开图中,P,A,B,C,D(均为格点)的位置如图所示，一只蚂蚁从点 P 出发，沿着长方体表面爬行.若此蚂蚁分别沿最短路线爬行到A，B，C，D四点，则蚂蚁爬行距离最短的路线是 ( )综合与实践 估算旋梯的长度 A. P→A B. P→B C. P→C D. P→D 2.如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点 A 开始经过四个侧面绕到上底面的顶点B，如果缠绕的圈数是n，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米.(用含n的式子表示) 3.(2025·郑州期末)如图①，在圆柱下底面的点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点 B 处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程. (一)理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线. 路线1：如图②，路线1 的路程s₁ 即为线段AB的长度； 路线2：如图③，路线2的路程s₂ 即为线段AB的长度. (二)实施计划 (1)小林说：“由图可知，s₁<s₂,所以蚂蚁沿路线1 爬行时，路程最短.”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高h=5，底面半径r=1 时， ,所以选择路线 ,s₂= 路程最短； ②当圆柱的高h=1,底面半径r=5时,s₁= ,s₂ = ,所以选择路线 路程最短. (2)请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高h和底面半径r满足什么关系时， (三)回顾反思 (3)直接写出当圆柱的高h和底面半径r满足什么关系时，选择路线1(或路线2)路程最短. 学科网（北京）股份有限公司 专题提优15 勾股定理与最短路径问题 1.25 解析：如图，将这段圆柱形松树树干的侧面展开，则线段AB的长即为螳螂绕行的最短路程,由题意知,AC=20cm,BC=15cm,在Rt△ACB中, 即螳螂绕行的最短路程为25cm. 2.10 解析：把圆柱形玻璃杯的侧面展开，部分展开图如图所示.作B关于EF 的对称点 B',连接B'A,则 B'A 即为最短路程.. 解析:展开图如图所示,80+20+80=180(cm),∴AB= 4.17 解析：根据题意，画出示意图如图所示，可能的路径有三种情况.连接AB，则AB 的长即为A 处到 B 处的最短路程.①如图①， ②如图②, ;③如图③, 由于砖放地面上时图②，图③的路线不可到达，所以A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路程是17. 5.(1)如图,作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即为所建出口，此时A，B两个城镇到出口 P 的距离之和最小，最短距离为AC的长. (2)10 解析:如图,作AD⊥BB'于点 D,在 Rt△ADC中,AD=A'B'=8km,DC=6km,∴AC=10km,即最短距离为10km. 6.(1)如图①所示,作点 P 关于 BC 的对称点 P',连接P'Q,交 BC 于点M,连接PQ,PM,则PM=P'M,此时△PQM 的周长最短为 PQ+PM+QM=PQ+P'M+QM=PQ+P'Q,∴点 M 即为所求. (2)如图②所示,作点 E关于BC 的对称点 E',作点 F 关于 CD 的对称点F',连接E'F',交 BC 于点 M,交 CD 于点 N,连接EM,FN,则EM=E'M,FN=F'N,∴EF+EM+MN+FN=EF+E'M+MN+F'N=EF+E'F'，∴此时四边形EFNM 的周长的最小值为EF+E'F'的长.∵AB=6,AD=8,点E,F分别为边AB,AD的中点,∴AE'=6+3=9,AF'=8+4=12,∴在 Rt△AE'F'中,由勾股定理得E'F'=15.又∵在 Rt△AEF中,EF=5,∴四边形EFNM的周长的最小值=EF+E'F'=5+15=20. (3)如图③,过点 C 作 CO⊥AB 于点O,延长 CO到点 C',使 OC'=OC,则C'是C关于AB的对称点,连接DC',交AB 于点 P,连接CP.此时PD+PC=PD+PC'=DC'的值最小.∵ BD=3,DC=1,∴BC=4.连接BC',由对称性可知∠C'BA =∠CBA=45°,∴ ∠CBC'= 90°,∴BC'⊥BC,∠BCC'=∠BC'C=45°,∴ BC=BC'=4,∴在 Rt△C'BD中,由勾股定理得DC'=5,∴PC+PD的最小值为5. 归纳总结 圆柱 长方体 阶梯 专题提优16 勾股定理中数学思想的运用 1.5 解析:设两直角边长分别为x cm和y cm,则 ∴斜边长 ∴斜边长=5cm. 2. B 解析:∵在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC,∴ DC= BC=3,AD⊥BC, 分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N，作直线MN，可知MN垂直平分AC，如图，连接CE,∴AE=CE,∴DE=AD-AE=4-AE,在 Rt△EDC中, 解得 故选 B. 3. B 解析:设BC= xm,依题意知BC=AC= xm,则OC=(25-x)m,在Rt△OBC中, 即 解得x=13,∴BC=13 m.故选 B. 4.2 解析:设CM=3x,则CB=5x,由勾股定理可得( 解得MB=4x,由题意得MB=8m,∴x=2m,CM=3x=6m.∵∠MAD=45°,CM⊥MB,∴∠MDA=∠MAD=45°,∴MD=MA=4m,∴ CD=CM-MD=2m. 5.5 解析:如图,过点 D 作DE⊥AB于点 E,∵∠C=90°,∴CD⊥BC.∵BD是∠ABC的平分线,CD⊥BC,DE⊥AB,∴CD=DE.在Rt△BCD和Rt△BED中 . Rt△BCD≌Rt△BED (HL),∴BC= BE = 6. 在Rt△ABC中, 10²,∴AB=10,∴AE=AB-BE=10-6=4.设CD=DE=x,则AD=AC-CD=8-x,在Rt△ADE 中, + 解得x=3,∴AD=8-x=5. 6. 解析:∵△DAE 绕点 D 逆时针旋转90°得到△DCM,∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,CM=AE=1,DE=DM,∠EDM=90°,∴F,C,M三点共线,∠EDF+∠FDM=90°.∵∠EDF=45°,∴∠FDM=∠EDF=45°. 在 △DEF 和 △DMF 中, ∴ △DEF ≌△DMF(SAS),∴EF=MF.设EF=MF=x,∵AE=CM=1,且BC=3,∴BM=BC+CM=3+1=4,∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x.又EB=AB-AE=3-1=2,在 Rt△EBF中,由勾股定理得 即 解得 7. B 解析:设AE= xkm,则BE=(40-x) km,∵DA⊥AB,CB⊥AB,C,D两村到煤栈的距离相等，∴ 解得x=16，则煤栈E应距A 点16km.故选 B. 8.2 解析:设AM=x,连接BM,MB',在 Rt△ABM中, 在Rt△MDB'中,B'M²=MD²+DB'².∵ MB=MB',∴AB²+AM²=BM²= 即 解得x=2,即AM=2. 9.(1)等腰 (2)设CE=x,则BE=14-x,在 Rt△AEC中,由勾股定理,得. 在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 解得x=5.在Rt△AEC 中,由勾股定理,得 ∴AE=12. (3)BC-BD=2AE. 证明如下: 由(1)得△ADC是等腰三角形,又∠DAC=90°,∴ △ADC 是等腰直角三角形.又AE 是 CD 边上的高,∴DE=CE,∠DAE=∠EAC= ∠DAC= ×90°=45°,∴ △AED 与△AEC都是等腰直角三角形,∴DE=AE=EC,即 CD=2AE.∵ BC-BD=CD,∴BC-BD=2AE. 归纳总结 (一)单勾股列方程：知道一边的长和另外两边的和差倍分关系(或知道三边之间的和差倍分关系).和差关系如折竹抵地问题、引葭赴岸问题，倍分关系如含特殊角(30°或45°)的直角三角形.(二)双勾股列方程：当两个直角三角形共边或等边时，常使用两次勾股定理构造方程，如梯子滑动问题、母子直角三角形问题. 10.42或150 解析：已知三角形两边的长和第三边上的高，未明确这个三角形是钝角三角形还是锐角三角形，所以需分情况讨论.①如图①，当△ABC 为锐角三角形时，高AD 在三角形的内部.在Rt△ABD中,AB=15,AD=12,由勾股定理得, ,则BD=9(负值舍去).在Rt△ADC中,AC=20,AD=12,由勾股定理得， 则DC=16(负值舍去). ②如图②,当△ABC为钝角三角形时，高AD 在三角形的外部.同①的解法相同，可解得 综上所述，△ABC的面积为42或150. 11.10或 解析：当点P在点E左边时，如图①.由折叠知，PC=PH，DC=DH.∵ ∠BAC=90°,AC=12,AB=9,∴ BC=15.∵ CD= BC, ∴ CD=5,CE=4.∵ DE⊥AC,∴DE=3.∵ DH=CD=5,∴ EH=ED+DH=8.设PC=x,则 ,解得x=10,即CP=10.当点P 在点 E右边时,如图②.由折叠知,DH=DC=5,∴EH=DH-DE=5-3=2.设PC=x,则解得 即 综上,CP=10或- 12.(1)∵∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,由勾股定理得AC=4 cm,∴出发6.5s后点P 在线段AB上且此时有AP=BP=2.5cm,即点P为AB中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴此时CP=BP=2.5cm. (2)∵AC=4cm,动点 P 从点 C 开始按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1 cm，∴ 当点 P 在AC上运动时,△BCP为直角三角形,∴0<t≤4.如图,当点P在 AB 上,CP⊥AB 时,△BCP 为直角三角形. 由勾股定理得 即 解得 综上所述，当0<t≤4或 时，△BCP为直角三角形. 13.45 解析:在 Rt△ABD 和 Rt△ADC 中, AD².在 Rt△BDM 和 Rt△CDM 中,B 14.4 解析:设△ABE 的面积为 S.∵ S正方形, S正方形 ，而S正方形/ 正方形 .在 Rt△ABE 中, ∴ BE=4(负值舍去). 15.6解析：由勾股定理得 即S正方形ACPQ+S正正方形BCMN=S正方形AB 四边形 四边形CBEK⁺S△ABC,化简得 即 数学探究 探寻“勾股数” 1. C 解析:∵ a,b是直角三角形的直角边.∵m，n是互质的奇数,∴A.3=1×3,∴当m=3,n=1时, 4，5能由该勾股数计算公式直接得出；B.5=1×5,∴当m=5,n=1时, ∴5,12,13角能由该勾股数计算公式直接得出；C.6=2×3,8=2×4,10=2×5,∵m,n是互质的奇数,∴6,8,10不能由该勾股数计算公式直接得出;D.7=1×7,∴当m=7,n=1时,a= ∴7,24,25能由该勾股数计算公式直接得出.故选 C. 解析：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得， 解得 3.(1)①6,8,10(答案不唯一) a，b，c是一组勾股数. (3)①存在.6,8,10. ②不存在.理由：∵(奇数)²+(奇数)²是偶数，而(奇数)²是奇数，∴ 不存在三个连续奇数能组成勾股数. 综合与实践 估算旋梯的长度 1. D 解析：设每个小方格的边长为1，P→A 最短路程是5，P→B 最短路程是3.如图，根据上下两个面的对称性和勾股定理可得P→C 最短路程是 ,P→D 最短路程是2,故选 D. 解析:如图,AA'=8n米,A'B'=6米，由勾股定理得， (米). 解 析：当圆柱的高h=5，底面半径r=1时 .选择路线1路程最短. 112解析：当圆柱的高 h=1，底面半径r=5时. 选择路线2路程最短. (2)由题意得 当 时 解得 当 时 (3)由题意得，当 时， 此时选择路线1路程最短；当 时,s₁>s₂,此时选择路线2路程最短. 学科网（北京）股份有限公司 $