数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练-2026届高三数学一轮复习

数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 1.(2425高二下广东肇庆期末)记等差数列{a}的前n项和为S。,且S2=2,S。=12,记T,为 1 的前n项和， 则T=() 9 A.5 B华 c号 D.232 5 2.(2425高二下…四川绵阳期末)己知数列{an}满足：a1=1,a2=3,an+2+an=2an1+1,数列{bn}满足2an·bn=1, 则数列{bn}的前50项的和为() A. 50 1 51 B.50 c. 50 D.50 1 3.(24-25高三上云南大理开学考试)在数列{0n}中，4=2，且a1-a=2a+1-2a。+n+1,则数列 的 (a,-12 前2025项和为() 2025 B. 2025 2026 D. 2025 A. 2026 1013 C. 2025 1012 4.(24-25高二下·四川成都阶段练习多选)已知数列{an}满足a,+2a2+…+2"-a,=n·2”,数列{an}的前n项和为 Sn,则() A.a5=6 B.数列{an}是等比数列 C.S4,S,S2构成等差数列 D.数列 1 m·am+1 前200项和为50 101 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 5.(2425高二下·内蒙古包头·期末多选)若等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S,=42,则下列说法正确的 是(). A.a。=7 B.{a,+n为递增数列 C.S.=+5n ∫1 D. 2 2 aan+ 的前4项和为5 6.Qns剂北秦备装被预0设数列a的前n项和为，若a=o。如，则。-一 7.(25-26高三上安徽开学考试)已知函数f(x=x2+3x,数列{an}的前n项和为f(n),记数列 的前 a.f八2月 11 n项和为T,,则使得T,> 成立的n的最小值为 36 8.(2025四川广安模拟预测)己知数列{an}满足a,+2a2+…+2-a。=n…2",且数列 1一 的前n项和为Sn, anan+ 则S20= 9.(2526高二上·甘肃张掖阶段练习)在正项数列an}中，a1=1,且a-2a+1=a+2an (I)求{an}的通项公式： 2若数列6，满足，=。1 -,求{b}的前n项和Sn an·am+ 2 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 10.(2025河北衡水·模拟预测)已知数列{an}的前n项和为S,a,=8,2Sn=nan+1-1 (1)证明： an+1 是常数列； n (②)设b.= 35,-1’ 求数列{bn}的前n项和. 11.（25-26高三上吉林延边开学考试)已知正项数列an}满足4=1，am+1-an=2n+1. (I)求{an}的通项公式： (2)求 an2-van 的前n项和S. √an+an+2 12.（25-26高三上山东·开学考试)若等比数列{an}的各项均大于1，其前n项和为Sn,且a2=4,S,=14, 1)求数列{an}的通项公式： (②)设b,=∑1og244,求数列 1 的前n项和n 名 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 13.226商三上广东开学考试)已知数列刚4的前n项和为，满足a=a=S,. (1)求数列{an}的通项公式： 2若b.=a1,且数列b,的前n项和为T,求证：T.<2 14.(25-26高三上四川成都开学考试)己知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn,且S;=15,a,a3,a,成等比 数列 (1)求数列{an}的通项公式： 1+L+…+<2neN) 2)证明：Ss,S, 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 1.(24-25高二下江西阶段练习)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a=1,a1= 1 2s,则2s=） 100 3n3 3203 A.2x31 B.9197 44×39 C.9203 9203 44×39 D. 44×300 *17x 2.(2425高三下-河北邯郸开学考试)19x 22+15x 29+…+1x 20=() A.18+3 B.17+20 3 C.18+3 10 D.17+3 10 3.2425商二下-四川达州期中)在数列a,}中，若4=2，且对任意nN有±=2+2，则数列a,}的前30项 a n 和为() A.30×231+2 B.31×231+2 C.29×230+2 D.29×21+2 4.2425商二上潮南株洲期未)已知数列a的通项公式为a,=是，侧数列a,的前n项和S=（) A.2"-n-1 B.21-n-2 C.2"-n+1 D.21-n+2 2” 2” 2” 5.2425高三上山东烟台~期末：多选)已知数列a,的前n项和为S,且满足a+2a,++2a,=”"neNy ,则() A.a1=1 B.a=” 2 C.{an}为递减数列 D.S。=4-n+2 2 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 6.(2526高三上四川内江开学考试多选)记Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+1,则() A.a1=-1 B.an<an+ C.数列马}为等比数列 D.数列”}的前n项和为，则T>-4 a 7.(25-26高三上，内蒙古呼和浩特开学考试)若1×2+2×22+3×2++99×29=A×20+B,则A+B=一· 8.(2425高二下·湖北孝感阶段练习)已知数列{an}的前n项和为Sn,且点(an,Sn总在直线y=2x-1上，则数列 {na的前9项和T,=— 9.2425高三上四川德阳阶段练习)己知数列@，4=16，@=4a+34n≥2.令b.-是， (I)证明数列b}是等差数列，并求出通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn. 10.(25-26高三上安徽蚌埠·开学考试)已知数列an}满足a,=3,an+1=an+2”+1. (I)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=（2n-1)an-2n2+n,求数列{bn}的前n项和Sn. 6 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 11.(25-26高三上·安徽开学考试)已知数列{an}为等差数列，且a4=7,a1=13. (1)求{an}的通项公式： (2)设bn=Cn+C×2+Cx22+…+C”×2"-,n∈N,且cn=an（2bn+1,求数列{cn}的前n项和Sn. 12.(25-26高三上·重庆·开学考试)已知{an}是公差不为零的等差数列，满足a,=1,且a1,a2,a,成等比数列. (I)求{an}的通项公式： (2)设bn=an+3·2”-,求数列{bn}的前n项和T. 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 13.(25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔阶段练习)已知{an}与{bn}均为等差数列，且an-b,=2,a,=b2=3. (1)求{an}与{bn}的通项公式： 的前n项和Sn 14.(25-26高三上陕西咸阳阶段练习)在等比数列{an}中，a1=1,a1≠a2,且3a2,2a3,a4成等差数列. (I)求{an}的通项公式： ②若，=”，求b,的前n项和S a 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 15.(25-26高三上广东广州开学考试)设数列{0，满足a,=3,0-0,+1 n+1n+1 (1)证明：{nan}为等差数列并求an; (2)设fx=ax+a2x2+…+amxm,求f'x. (3)求f'(-3 16.(24-25高二下·云南曲靖期末)己知数列{an}满足a1=1,a2=3,且对任意正整数n≥3有an=3a-1-2am-2,数 列(b}满足b=1,bn=an-an-（n≥2 (1)证明：数列{b}是等比数列； (2)设Cn= ，数列c,的前n项和S: 2n-1 ①求Sn; ②若不等式(-<S+2”对任意的正整数n恒成立，求实数及的取值花司. 9 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 考点三 倒序相加法 1.2425高二上广东广州阶段练习)已知函数f(x=g十3 3 )求证：函数f(的图象关于点22 11 对称： (2)求S=f(-2022)+f(-2021)+…+f(0)+…+f(2022)+f2023)的值. 2.2425高二上上海阶段练习)已如函数f=中数列a是正项等比数列，且4。=1， (1)计算f(x)+f 的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求f(a,)+f(a2)+f(a)+…+f(as)+f(ag)的值 0数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 1.(2425高二下·广东肇庆期末)记等差数列a,}的前n项和为S,且S2=2,S。=12,记工为 1 的前n项和， 则T=() A.5 232 B. 116 D. 45 5 【答案】B 【详解】设S。=An2+Bn, 4A+2B=2 361+6B=12解得 ’所以3=n+2n 4 B= 4 2 1 4=21.1 所以.m+2n2nn+2 -4-g4-gg 故选：B 2.(2425高二下·四川绵阳期末)已知数列an}满足：a,=1,a2=3,an+2+an=2an+1+1,数列{bn}满足2an·bn=1, 则数列bn}的前50项的和为() A.50 1 1 B.50 D.50 101 【答案】A 【详解】由an+2+an=2an1+1有an+2-an+1=an1-an+1,令Cn=ant1-an,则Cn1-Cn=1, 所以数列cn}是以c=a2-a=3-1=2为首项，1为公差的等差数列，故cn=2+(n-1)×1=n+1, 即an1-an=n+1,故an=(an-a-i)+(an1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a)+a =n+(n-1+n-2到+…+3+2+1=”+，当n=1时，符合题意，即a,=mn+1 2 2 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 111 又由2a.b,=1有6=2a,nn+0nn+1' 设数列{6，的前n项和为工，1n=么+h,++h=1-十+…+--1-是-50 2+23+…+5057=1-57=51 故选：A 3.(24-25高三上·云南大理开学考试)在数列{a,}中，a,=2,且a1-a=2a-2a,+n+1,则数列 1 (a,-12 的 前2025项和为() 2025 2025 C. 2026 2025 A. B. D. 2026 1013 2025 1012 【答案】B 【详解】由a2-a=2a1-2a,+n+1,可得(a1-1)2=(a,-1)+n+1, 所以(a1-1)2-(a,-1)2=n+1. 所以(a2-1)2-(a,-1)2=1+1； (a-1)2-(a2-12=2+1; (a4-1)2-(a,-1)2=3+1; (a-1)2-(a-1-1)2=(n-1+1. 以上各式相加得： (a-1刂-a-1=2+3++n→(a,-12=1+2+3++n=nm+ 2 1 设 1 的前n项和为Sn, (an-1)2 11111）2n 则5=21+2+中 2025 从而S20s=1013 故选：B 4.(24-25高二下…四川成都阶段练习多选)已知数列{an}满足a,+2a2+…+2-a,=n·2",数列{an}的前n项和为 Sn,则() 2 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 A.a5=6 B.数列{an}是等比数列 C.S4,S,S2构成等差数列 D.数列 1 anan+) 前20项和为50 101 【答案】AD 【详解】由a,+2a2+…+2"-an=n…2”, 当n≥2时，a+2a2++2"-2an-1=(n-12m, 两式相减可得2-an=n2”-(n-12”-1=(n+12"-1,所以an=n+1, 当n=1,a,=2适合上式，所以an=n+1; 由-”+不是常数，所以数列a不是等比数列，故B错误， an-1 n 对于A,因为an=n+1,所以当n=5时，可得a=5+1=6,故A正确； 对于C,由an=n+1可知，an-an-1=n+1-n=1, 所以{an}是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以S.=2n+,-D,所以5.=4n+2n2m-D,S.=6n+3n3m-D 2 2 2 S.+S=2n+m,-D+6m+3m3m-D=8n+5m2-2n, 2 2 又2S2m=8n+4n2-2n,所以Sn+Sn≠2S2m, 所以Sn,S2n,Sn不构成等差数列，故C错误； 1 1 11 对于D,a,a,(n+1(n+2n+1n+2' 所以T=1+ 1+1+…+1 a1a2a2a3a34n200a201 可应分如器品该D 11,11,11, 故选：AD 5.(2425高二下·内蒙古包头·期末多选)若等差数列an}的前n项和为Sn,a2=4,S,=42,则下列说法正确的 是(). A.a6=7 B.{an+m}为递增数列 1 5 C.Sn=5n2+。n D. 1一的前4项和为， 2 21 aan 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 【答案】BC 【详解】对于A,由S,=42,则a+a=42,所以4，+a,=12,即4，+a,=12,又a,=4,所以a,=8,故A错 2 误； 对于B,设等差数列{an}的公差为d,由A知a6=8,则a6-a2=8-4=4d, d=1,an=a2+(n-2d=n+2, 所以an+n=2n+2,故数列{a,+n}为递增数列，故B正确； 对于C.由a.=n+2,则S。=22”+)n，故C正确： 22 1 1 11 对于D,因为 nan+1(n+2)(n+3n+2n+3’ 所以 1 的前4项和为行》任引日名+6》引放D塔误 故选：BC 6.(2ms河北秦尔岛校银预测》设数列a的前n碳和为8，着a=0m时sm 则S0= 【答案】205 【详】击积化有宏公可得a--如-0-+号-如-别m。-a-小 则Sg0=a1+42+…+a0= (sinsin(isin(sinsi) )sinl°-sin0P+sin2P-sinl°++sim90°-sim899T 2sin90°-sin0) 2 故答案为：2 1 2 7.(2526高三上安徽开学考试)已知函数f(x)=x2+3x,数列an}的前n项和为f(n),记数列 的前 n 2 ”项和为Z,则使得工> 二成立的n的最小值为 【答案】7 【详解】根据题意，显然a,=f1=4, 当n≥2时，an=f(n)-f(n-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2,因为a,也符合，所以an=2n+2 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 由题易得=2x+3,所以/侣 =n+3, 2 1 1(1-1 r 则 (2n+2(n+3)(n+1)(n+3)2n+1n+3, 日+{+是1+1-上+11+1-1）》 断以文24334637t2n+13 投4 Z年调莲=音传对品盐站 五-合Gd-转0用以最小道为7 故答案为：7 8.(2025·四川广安模拟预测)已知数列{an}满足a,+2a2+…+2"-an=n·2”，且数列 1 的前n项和为Sn, anan+) 则S20=三 【爷！月 【详解】若n=1,则a,=2; 若n≥2，则a+2a2++2-2a1=(n-12m 所以，2"-an=n2”-n-12m-1=(n+12"-,即an=n+1. 又a=2也满足an=n+1,所以a,=n+1. 1= 1 11 由于 a。·an+1(n+1(n+2)n+1n+2’ 期u分}分立品品 故答案为：品 9.(25-26高二上·甘肃张掖阶段练习)在正项数列an}中，a,=1,且a1-2a1=a+2an (1)求{an}的通项公式： (2)若数列{bn}满足b.= ,1,求b,的前n项和S an·an+l 【答案】(1)an=2n-1 ②S.=2n+1 n 5 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 【详解】(1)由a1-2an+1=a+2an可得a-a-2am1-2an=0, 所以(ant1+an)(an1-an)-2(ant1+an）=(an1+an)(an1-an-2）=0, 因为{an}是正项数列，an+1+an>0,所以a1-a.-2=0,即an1-an=2, 所以数列{an}是首项a,=1,公差d=2的等差数列， 所以an=1+2(n-1=2n-1. a当可A2W2s式a2 所以s0-ga1】-- 10.(2025河北衡水模拟预测)己知数列(a,}的前n项和为S,a=8,2S,=na+1-1). (1)证明： 4,+山是常数列： n 1 (2)设b,= 35n-1’ 求数列{b}的前n项和 【答案】(1)证明见解析 ®n42 【详解】(1)已知数列an}的前n项和为Sn,4=8,2Sn=n(an+1-1) 当n=2时，2(41+a2)=2×8-1),a+a2=7. 当n=1时，2a1=a2-1,.a1=2,a2=5 当n≥2时，2Sn-1=n-1(an-1, .2an=2Sn-2Sn1=nan1-1-(n-10(an-1, a+aa-g品-） :8+1=01+1 n n+1’ 当n=1时也符合上式，：数列+是常数列 (n1 (2)由(1)知8+-3，a,=3n-1,S.=3n+ 2 2 2 _2(11） =9m+3n-2(3n+2(3m-可33n-13n+2” 6 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 211,11 .b+b2+…+bn= 一十 =_n 32558 3n-13n+2323n+23n+2 11.(25-26高三上·吉林延边开学考试)已知正项数列an}满足a1=1,an1-an=2n+1. (I)求{an}的通项公式： (2)求 an+2 -van 的前n项和Sn √an+1an+2 【答案】(1)an=n2 ②s= n 2(n+2 【详解】(1)当n≥2时，an-an1=2(n-1+1=2n-1, a-1-am-2=2(n-2+1=2n-3, a2-a1=3, 累加可得a.-1=3++2n-3+2n-1,即0，=1+3+…+2n-3列+2n-1=n1+2m-=2, 2 易得当n=1也符合，所以a。=n2 (2)数列 Van+2-an+ 的通项为 n+2)-(n+111 √an+14n+2 (n+1)(n+2)n+1n+2' 11,11 所以S,=2房34 1 1 11 n …+ （n+1n+22n+22(n+2) 12.(25-26高三上山东开学考试)若等比数列{an}的各项均大于1，其前n项和为Sn,且a2=4,S,=14, (1)求数列{an}的通项公式： ②)设b.=21og,a4,求数列 1 的前n项和Tn k= 【答案】(1)a,=2” 2)7,=2n n+1 【详解】(1)设等比数列的公比为9，由己知可得 49=4 a1+a9+a,g2=14' > 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 a1=8 解得 因为等比数列an}的各项均大于1，所以a,=2,9=2, 所以数列{an}的通项公式为an=a,g"=2×2-1=2”; (2)由(1)知an=2”, 所以6，=1oga:=∑1og,2-2k=1+2+3+…+n=nm+l k=1 k=1 k=l 2 时4 所以z=-》6引6+日 nn+l = 1 13.(25-26高三上~广东开学考试)已知数列{a,}的前n项和为S,满足4=2，na,=S,· (1)求数列{an}的通项公式： 2若b,=a1,且数列b,}的前n项和为T,求证：7，<2 1 1 【答案】()a.=nn+) (2)证明见解析 【详解】(1)由n2an=Sn,则(n-1)2an-1=Sn-1(n22), 两式左右分别相减得n2an-(n-1)an-1=an，即(n2-1)an=(n-1)2an-1· 得(n+1)an=(n-1)a-1, 则a=”,-1=n-2,4-2.42=1 an+1’a2n’ ’a4’a3, 将以上n-1个式子相乘得an= 1一（0n22) n(n+1) 上式对n=1仍成立，所以a,=n+D· 1 1 11 (2么=ana+la+2)n+1n+2' (n+1n+22n+22 故命题得证. 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 14.(25-26高三上四川成都开学考试)已知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn,且S=15,a,a,a成等比 数列。 (1)求数列a}的通项公式； 11 (2)证明： +…t<2neN) S S2 S 【答案】(I)an=n(neN)】 (2)证明见解析 S,=5a1+10d=15 【详解】(1)由已知可得 (a+2d2=a,(a+8d) 4=1 因为d>0,解得d=1 故通项公式为an=nn∈N); (2)由(1)可知s,=nn+, 2 2 安4】- 1 0 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 1.(2425高二下江西阶段练习)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a=1,a+1= 1 2 100 3n3 Sn,则∑S=() 3203 9197 c. 9203 9203 A.22×3丽 B. 44×39 44×39 D. 44×300 【答案】C n+13n 而=1≠0，所以数列S 是首项为1、公比为二的等比数列， 1 n n 名33名 3 两式相减得∑3.=1 1,1,,1n31n32n+3 332+…+ 33m22.3-可30223”’ 所以立5.=443 92n+3 i 所以∑S,= 9203 i=l 44×39· 故选：C 2.02425商三下-河北那郸开学考试)19x+17×分+15*方 1 1 2 *2+…+1 20=() A.18+2 B.17+20 3 C.18+20 3 D.17+20 【答案】D 【详解】令S=19×号+17 2+15x 1 1 3 +…+1× 210, 2+17 2+15x 1 1 则与S=19 24 +…+1× 21 两式相减得)5=19× -2++ 1 1173 2 (22 29+… 210/1 2 2 所以S=17+ 3 210, 故选：D 3.(2425高二下四川达州-期中)在数列a,}中，若a-2,且对在意1N有=2+2，则数列a,}的前30项 a n 和为() A.30×231+2 B.31×231+2 C.29x230+2 D.29×21+2 10