1.4线段垂直平分线与角平分线 第2课时教案　　　2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该教案聚焦角平分线的性质定理及其逆定理，从角的轴对称性出发，通过作图、观察、猜想、证明等环节，构建从旧知到新知的学习支架，自然过渡到几何推理与应用。 教学设计紧扣核心素养，突出“几何直观”和“推理能力”，如在探究活动中引导学生发现点到角两边距离相等的本质特征，再借助全等三角形完成逻辑论证，体现数学思维的严谨性。例题与练习层层递进，涵盖面积计算、角平分线判定及三角形内心性质的应用，帮助学生建立结构化知识体系，提升问题解决能力，同时为教师提供清晰的教学路径与可操作性强的课堂活动方案。

第一章 三角形 1.4线段垂直平分线与角平分线 第2课时 角平分线的性质   一、教材分析 本节课是苏科版初中数学八年级上册第一章第四节的第2课时．本节课应逐步引导，把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、猜想，然后证明，来学习角平分线性质定理及其逆定理，并会利用角平分线的性质定理及其逆定理解决数学问题，也为学生今后进一步学习几何图形的有关知识打下良好的基础，发展几何直观和推理能力，体验数学发现的乐趣，形成主动探索几何规律的学习态度.   二、学习目标 1.探索并证明掌握角平分线的性质定理及其逆定理，进一步发展推理能力. 2.会利用角平分线的性质定理及其逆定理解决数学问题. 3.通过观察、猜测、验证、推理等活动，培养学生的动手能力、逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.   三、教学重难点 重点：探索并证明掌握角平分线的性质定理及其逆定理，进一步发展推理能力.. 难点：会利用角平分线的性质定理及其逆定理解决数学问题.   四、教学过程 · 复习回顾 问题：角是轴对称图形吗？如果是，那它的对称轴是什么？ 预设答案： 角是轴对称图形，其对称轴是该角的角平分线. 问题：角平分线的定义是什么？ 预设答案：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 追问：如何用直尺和圆规作已知角的平分线呢？ 问题：已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线. 预设答案： （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点M，点N. （2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P. （3）作射线OP，射线OP即为所求. 追问：你能说明OP为什么∠MON的平分线吗？ 预设答案:解:连接PM，PN，如图. 在△MOP 和△NOP 中， ∴ △MOP≌△NOP(SSS)， ∴∠MOP=∠NOP(全等三角形的对应角相等)， ∴OP平分∠MON. 追问：角平分线有什么性质呢？ 一起探究吧! 师生活动：学生独立思考，指定学生回答，师给与适当的评价. 设计意图：通过回顾与角平分线相关的知识，对旧知的复习，直观建立新旧知识连接，为接下来的学习提供理论依据． · 探究新知 活动一：探究角平分线的性质定理 探究：在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD，垂足分别为C，D.PC与PD一定相等吗?如何证明? 师生活动：学生思考、动手、回答，师提示，巡视，讲解． 分析：要证明PC=PD，只需要证明它们所在的△COP和△DOP全等． 预设答案：PC与PD一定相等. 证明：∵ PC⊥OA，PD⊥OB， ∴ ∠PCO＝∠PDO＝90°. ∵OP是∠AOB的角平分线. ∴∠COP＝∠DOP. 在△COP和△DOP中， ∴ △PCO ≌△PDO(AAS). ∴PC＝PD. 【概念生成】角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，PD⊥OA， ∴PC＝PD. （角平分线上的点到角两边的距离相等）. 注意：(1)角平分线的性质是由三个条件(一个角平分线，两条垂线)得到一个结论(垂线段相等)，但不要误认为角平分线上的点与角的两边上任意一点连线的长度. (2)该定理可以证明两条线段相等，不需要再通过证三角形全等来证明线段相等. 设计意图：在探索角平分线的性质定理时，经历观察——猜想——证明的探究过程，培养逻辑推理的能力和探究意识. 活动二：探究角平分线的性质定理的逆定理 问题：角平分线的性质定理的逆命题是什么？ 预设答案：到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上. 追问：它是真命题吗？你能证明吗？ 预设答案：是真命题. 已知：如图，点Q在∠AOB内，QC⊥OA，QD⊥OB，QC=QD. 求证：点Q在∠AOB 的平分线上． 证明：连接OQ，如图. ∵QC⊥OA，QD⊥OB， ∴∠OCQ＝∠ODQ＝90°． 在Rt△OCQ 和Rt△ODQ 中， ∴Rt△OCQ≌Rt△ODQ (HL)． ∴∠AOQ＝∠BOQ． ∴点Q在∠AOB 的平分线上． 【概念生成】：角平分线的性质定理逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 几何语言：如图， ∵QC＝QD，QC⊥OB于点C，QD⊥OA于点D， ∴点Q在∠AOB的平分线上． （角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）． 注意：(1)角平分线的性质定理逆定理中点必须在角的内部. (2)在角的内部，角平分线是到角两边距离相等的点的集合. (3)该定理可以证明角平分线（两个角相等）. 问题：如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF，CD与EF相交于点P．连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？ 分析：过点P作OA和OB的垂线,再利用角平分线性质定理的逆定理证明即可． 解：OP是∠AOB的平分线.理由如下： 过点P作PM⊥OA，PN⊥OB， 由题意可知CD∥AO,EF∥OB, ∵CD与EF相交于点P, 且CD与AO间的距离和EF与BO间的距离相等, ∴PM＝PN．∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB． 师生活动：学生先独立思考，通过小组讨论，找出解题思路，并由一名代表展示小组讨论结果. 全班集体交流. 设计意图：引导学生思考角平分线性质定理的逆逆命题，再通过已知，求证，证明的过程，利用全等三角形的性质证明其是真命题即可得到角平分性质定理的逆命题，更有利于学生掌握角平分线的性质定理的逆定理（角平分线的判定定理），最后又应用角平分线的性质定理的逆定理解决问题，进一步培养学生的推理能力. · 应用新知 例1 如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 若△ABC的面积是12cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝ cm． 分析：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴ DE＝DF． ∵△ABC的面积是12cm2，AB＝6cm，AC＝4cm， ∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AB·DE＋AC·DF＝12cm2， ∴DF＝DE＝2.4cm． 例2 如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BE＝CF，BF和CE交于点D，连接AD. 求证：AD平分∠BAC. 分析：要证AD平分∠BAC，只需要证DE＝DF. 证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴ DE＝DF. 又∵ DF⊥AC，DE⊥AB， ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC. 例3如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上． 证明：过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N．如图. ∵AD平分∠BAC，点P在AD上，PF⊥AB，PN⊥AC． ∴PF＝PN（角平分线的性质定理）. 同理PF＝PM． ∴ PM＝PN． ∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴点P在∠C的平分线上（角平分线的性质定理的逆定理）. 总结：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 师生活动：教师引导学生观察图形，结合角平分线的性质定理和判定定理，通过小组讨论，找出解题思路，并由一名代表展示小组讨论结果，师给与适当的提示. 设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计符号语言说理能力，让学生理解运用本节课所学． · 课堂练习 【教材习题】 1.利用网格画图： (1) 在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等； (2) 在射线AP上找一点Q，使QB＝QC. 2.如图，判断△ABC的外角∠BAD，∠ABE的平分线的交点是否在∠C的平分线上，并证明你的结论. 【自选习题】 3.如图，点P在∠AOB的平分线OM 上（不与点O重合），PC⊥OA于点C，PC=3，若D是OB 边上任意一点，连接PD，则下列关于线段PD 的说法一定正确的是( ) A.PD=3 B.PD<3 C.PD>3 D.PD≥3 4.如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是__ _. 5.如图，点C在∠AOB的内部，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E,点M，N分别在OA，OB上，且DM=EN，CM=CN．求证：OC平分∠AOB ． 6.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC 的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F ，且∠AEF=50°，连接DE . （1）∠CAD= _____； （2）求证：DE平分∠ADC ； 7.如图，有一块三角形的空地ABC，其三边长AB，AC，BC分别为30m，40m，50m.现要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由. 【答案】 1. 2.解：△ABC的外角平分线的交点在∠C的平分线上. 证明如下：如图，∠BAD，∠ABE的平分线OA、OB交于点O． 过O点作OF⊥CD，OM⊥AB，ON⊥CE，垂足分别为F，M，N ∵点O在∠BAD的平分线上，OF⊥AD， OM⊥AB. ∴OF＝OM.同理OM＝ON. ∴OF＝ON. ∵OF⊥CD，ON⊥CE， ∴点O在∠ACB的平分线上.　 3.分析∵点P在∠AOB的平分线OM上，PC=3，PC⊥OA， ∴点P到OA 边的距离等于3. ∴点P到OB边的距离为3. ∵点D是OB边上的任意一点， ∴PD 长的最小值为3，即PD≥3 .故选D. 4.． 5.证明∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E， ∴∠CDM=∠CEN=90°． 在Rt△CDM和Rt△CEN中， ∴Rt△CDM≌Rt△CEN(HL)，∴CD=CE． 又∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴OC平分∠AOB． 6.解：(1)40° . （2）证明：过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H ，如图 . 由（1）易知∠FAE=∠DAE=40°， ∵EF⊥AF，EG⊥AD， ∴EF=EG. ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC ， ∴EF=EH，∴EG=EH . 又∵EG⊥AD，EH⊥DC，∴DE平分∠ADC. 7.解：方案如图，分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连接AP，则△ABP，△ACP，△BCP即为所求的三块地． 理由如下：∵P为△ABC的三个内角平分线的交点， ∴点P到AB，AC，BC的距离均相等． ∴△ABP，△ACP，△BCP的面积比即为它们的底边AB，AC，BC的长度的比． 师生活动：学生独立完成，教师批阅． 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用． · 归纳总结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $