第21章《一元二次方程》章末练习题（1）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 章末复习题（1） 考试时间:120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（　　） A．﹣19 B．5 C．17 D．51 2．一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 3．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的值可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．傣族银器是西双版纳最具代表性的民族饰品之一，兼具实用性与文化象征意义．傣银饰品深受众多游客的喜爱．某傣银饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出121件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．100（1+x2）＝121 B．100（1+x）2＝121 C．100（1+x）＝121 D．100（1+2x）＝121 6．下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+1＝0 D．（x﹣1）（x﹣3）＝0 7．设a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．0 B．1 C．2025 D．2024 8．定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3有实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．已知m，n是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（　　） 嘉嘉：①解方程x2﹣3x﹣4＝0；②将步骤①中的解，代入到代数式中，解得代数式的值为． 淇淇：①根据根与系数关系求出m+n，mn的值；②化简；③将步骤①中的m+n，mn的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．已知（m﹣1）x|m+1|﹣3x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 12．已知a是方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式a2+2a﹣2025的值为　 　 ． 13．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣10＝0的两根，则十的值为 　 　 ． 14．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是　 　 ． 15．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使风景画面积占整个挂图面积的85%，求金色纸边的宽．设金色纸边的宽为x分米，请根据题意列出方程：　 　 ． 16．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝﹣2，且关于z的一元二次方程z2﹣4z+2n＝0有两个相等的实数根，则m+n的值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）x2﹣5x﹣6＝0． 18．关于x的方程． （1）m取何值时，它是一元二次方程？ （2）m取何值时，它是一元一次方程？ 19．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，求代数式（m+3）（m﹣3）+m2﹣6m的值． 20．已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 21．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 22．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米． （1）用含a的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2﹣ax+25a﹣150＝0有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？ 23．关于x的方程为x2+（m﹣3）x+m﹣7＝0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2．且满足2（x1+x2）+x1x2＞0，求m的取值范围． 24．【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如x2+2x﹣35＝0，可变形为x（x+2）＝35．如图1，构造一个长为x+2、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为（x+x+2）的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，也可表示为4×35+22，由此可得新方程：（x+x+2）2＝144，易得这个方程的正数解为x＝5．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! （1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即x（ 　 　 ）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　 　 ；解得原方程的一个根为 　 　 ； （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程x2+bx＝c（b＞0，c＞0）的正数解（用含b，的代数式表示）． 25．若m，n为正实数，设k，若t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根． （1）求证：（t+m）2＝m2+n2． （2）若k，求的值． （3）用含k的代数式表示． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A B C D D A B 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．﹣3． 12．﹣2022． 13．24． 14．2． 15．85%（8+2x）（6+2x）＝48． 16．﹣5． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解：（1）∵x2﹣2x＝5， ∴x2﹣2x+1＝6， ∴（x﹣1）2＝6， ∴， ∴x11，x21； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1； （3）x2﹣5x﹣6＝0， ∴（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0或x+1＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣1． 18．解：（1）是一元二次方程， m+1≠0，m2+1＝2， m＝1， 当m＝1时，方程是一元二次方程； （2）是一元一次方程， ①m+1≠0，m2+1＝1， m＝0； ②m+1＝0，解得m＝﹣1； ③m2+1＝0且m﹣3≠0， 方程无解． 故当m＝0或m＝﹣1时，方程是一元一次方程． 19．解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的根， ∴m2﹣3m＝1， （m+3）（m﹣3）+m2﹣6m ＝m2﹣9+m2﹣6m ＝2m2﹣6m﹣9 ＝2（m2﹣3m）﹣9 ＝2×1﹣9 ＝﹣7． 20．解：（1） • • • ＝a（a﹣3） ＝a2﹣3a； （2）∵a为方程的一个解， ∴a2﹣a﹣5＝0， ∴a2﹣3a﹣15＝0， ∴a2﹣3a＝15， ∴P＝15． 21．解：（1）是“C方程”，理由如下： ∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∵c＝3， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”； （2）∵关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”， ∴4c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴b＝﹣4c﹣1， ∴b2﹣4c﹣1＝b2+b＝（b）2， ∵（b）2≥0， ∴b2﹣4c﹣1的最小值为． 22．解：（1）由图可知，花圃的面积为（100﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣320a+6000； （2）由已知可列式：100×60﹣（100﹣2a）（60﹣2a）100×60， 解得：a1＝5，a2＝75（舍去），所以通道的宽为5米； （3）∵方程x2﹣ax+25 a﹣150＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝a2﹣25a+150＝0，解得：a1＝10，a2＝15， ∵5≤a≤12， ∴a＝10． 设修建的花圃的造价为y元，y＝55.625S； 当a＝10时，S花圃＝80×40＝3200（m2）；y花圃＝3200×55.625＝178000（元）， S通道＝100×60﹣80×40＝2800（m2）；y通道＝2800×50＝140000（元）， 造价和：178000+140000＝318000（元）． 23．解：（1）∵Δ＝（m﹣3）2﹣4（m﹣7）＝（m﹣5）2+12＞0， ∴无论m取何值方程总有两个不相等的实数根． （2）根据题意得x1+x2＝3﹣m，x1x2＝m﹣7， ∵2（x1+x2）+x1x2＞0， ∴2（3﹣m）+m﹣7＞0， ∴m＜﹣1， ∴m的取值范围为m＜﹣1． 24．解：（1）第一步，将原方程变为，变形得：x（x）＝1， 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图： 第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：（x+x）2， 解得原方程的一个根为x． 故答案为：x；（x+x）2，x； （2）方程变形为：x（x+b）＝c， 根据赵爽的解法可造方程为：（x+x+b）2＝4c+b2， ∵b＞0，c＞0， ∴2x+b＝±（舍去负值）， ∴x（b）， ∴原方程的一个正数解为：xb）． 25．（1）证明：解关于x的方程x2+2mx＝n2： 得x2+2mx+m2＝m2+n2， ∴（x+m）2＝m2+n2， ∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根， ∴（t+m）2＝m2+n2； （2）解：∵k， ∴mn， ∴x2+nx﹣n2＝0， ∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根， ∴t2+nt﹣n2＝0， 解得tn（负值舍去）， ∴的值为； （3）解：∵k， ∴m＝kn， ∴x2+2knx﹣n2＝0， ∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根， ∴t2+2knt﹣n2＝0， 解得t＝﹣kn+n（负值舍去）， ∴k． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $