13.3 三角形的内角与外角 （第1课时 三角形的内角和定理）课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理，通过回顾小学剪拼操作导入，引导学生从直观感知过渡到逻辑证明，搭建起旧知与新知的学习支架，帮助理解定理的推导过程。 其特色在于呈现三种证法揭示“移角成平角”的转化思想，结合角平分线、高及方位角实际问题，培养学生推理能力与符号表达。采用对比证法、实例分析的教学方法，课堂小结提炼核心，学生深化理解，教师提升教学效率。

第十三章 三角形 第十三章 三角形 13.3 　三角形的内角与外角 第1课时 三角形的内角和定理 1 学 习 目 标 1 2 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点） 会运用三角形内角和定理进行计算.（难点） 新课导入 探究 你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？下图给出了两种剪拼的方法．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 过三角形的一个顶点作一条直线平行于该顶点的对边，由平行线的性质和平角的定义就能证明三角形的内角和. 知识讲解 ★ 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°. 如图，将△ABC 的∠B 和∠C 剪下，分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A 的直线l，移动后的∠B 和∠C各有一条边在直线l上．想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？ 你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于１８０°” 的方法吗？ 验证结论： 三角形的内角和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC，如图， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 知识讲解 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，如图， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 知识讲解 C B A E D F 证法3：如图，过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 知识讲解 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 知识讲解 总结归纳 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. ★思路总结 为了证明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. ★作辅助线 知识讲解 解：由∠ BAC ＝40°，AD是△ ABC的角平分线，得∠BAD＝∠BAC＝20°． 在△ ABD中， ∠ADB＝180°-∠B-∠BAD＝180°-75°-20°＝85°． 例1 如图，在△ABC中，∠BAC＝ ４０°，∠B＝７５°，AD是△ ABC的角平分线．求∠ADB的度数． 知识讲解 ★ 三角形内角和定理的应用 例2 如图所示，BE 平分∠ ABD，CF 平分∠ ACD，BE，CF 交于点G，已知∠ BDC ＝ 140°，∠ BGC ＝ 110°，求∠ A 的度数. 1. 与角平分线综合求角度 在△CDB 中，∵ ∠BDC ＝ 140°， ∴ ∠DBC+ ∠BCD ＝ 180° - ∠BDC ＝ 40° . 在△CGB 中，∵ ∠BGC ＝ 110°， ∴ ∠GBC+ ∠BCG ＝ 180° - ∠BGC ＝ 70° . 解：如图所示，连接BC. 知识讲解 ∵ BG，CG 分别平分∠ABD，∠ACD， ∴ ∠ABG+ ∠ACG ＝∠GBD+ ∠DCG ＝ 30° . ∴ ∠ABC+ ∠BCA ＝ 2（∠ABG+ ∠ACG）+（∠DBC+ ∠BCD） ＝ 2×30° +40°＝ 110° . 在△ABC 中， ∠A ＝ 180° -（∠ABC+ ∠BCA）＝ 70° . ∴ ∠GBD+ ∠DCG ＝∠GBC+ ∠BCG-（∠DBC+ ∠BCD） ＝ 70° -40° ＝ 30° . 知识讲解 2. 与高、角平分线结合求角度 例3 如图所示，在△ 中，∠，∠， AE是BC 边上的高，是∠ 的平分线. 求∠ 的度数. 解：在△ 中，∵ ∠，∠， ∴ ∠ ∠∠＝ . ∵ 是∠的平分线， ∴ ∠ ＝ ∠ ＝ . ∵ 是 边上的高，∴ ∠. 在△ 中，∵ ∠ ＝ ，∠， ∴ ∠∠∠. ∴ ∠∠ ∠. 知识讲解 3.三角形的内角和定理在实际问题中的应用 例4 如图是A， B， C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 知识讲解 解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中，∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°, 即从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60 °, 从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°. 知识讲解 随堂训练 2.如图，已知直线∥，∠=115°，∠=25°，则∠= ( ) A. B. 80° C. 90° D. 100° C 1.若一个三角形三个内角的比为3：4：11，则这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 D 3.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°， 则∠ C =_______; （2）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B， 则∠C = ________. 102° 120° 随堂训练 4.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数． 解：在△DFB中， ∵∠DFB＝90°，∠D＝50°， ∠DFB＋∠D＋∠B＝180°， ∴∠B＝40°. 在△ABC中， ∵∠A＝46°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°. 随堂训练 18 课堂小结 三角形的 内角和定理 证明 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角 内容 三角形内角和等于180 ° 20 $