精品解析：山西省临汾市第一中学校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

临汾一中 2025-2026学年度第一学期高二年级开学考试 数学试题（卷） （考试时间120分钟 满分150分） 命题人：郭建云 第I部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可. 【详解】因为复数满足， 因此，复数的虚部为. 故选:D. 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 3. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A. 57 B. 50 C. 40 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号， 符合条件的编号有03，46，40，11，10，50，所以选出来的第6个个体的编号为50. 故选：B. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数，然后根据充分、必要性判断即可. 【详解】向量，，若，则，即， 解得或，故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5. 若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的一般方程满足条件来求解即可. 【详解】因为是一个圆的方程， 所以，由得: ， 解得， 故选：C. 6. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 7. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】在中，， 所以 所以， 由正弦定理， 可得， 在直角中，因为 所以， 即塔高为． 故选：C． 8. 已知三棱锥的各条棱均相等，P，Q分别为棱，的中点，则直线和直线所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接、，或其补角即为 直线和直线所成的角，然后利用，，可得，结合，即可求解. 【详解】 如图取的中点，连接，因为点P棱的中点，所以， 所以或其补角即为直线和直线所成的角， 连接，Q为棱的中点，所以， 取的中点，连接、 则，， 又因为，平面，所以， 所以，且 所以是等腰直角三角形， 所以 故选：B 【点睛】本题主要考查了求异面直线所成的角，属于基础题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若事件与事件是互斥事件，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对立事件可判断A；根据互斥事件和独立事件的概率公式即可判断BCD. 【详解】，故A正确； 因为事件与事件是互斥事件，所以，故B错误； 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 所以，故C正确； 因为，所以， 所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故D正确． 故选：ACD． 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 直线为的一条对称轴 D. 若为偶函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象得到，然后根据正弦型函数的性质进行逐一判断. 【详解】由图可知：，，则， 当时，函数取得最大值，所以，又，所以. 所以. 对A，的最小正周期为，正确； 对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误； 对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确； 对D，为偶函数，所以，故正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则最小值为 B. 若平面，则， C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量法计算线面平行结合基本不等式计算判断A，应用线面垂直的向量表示计算判断B，根据点到平面距离公式计算求解判断C，应用线面角公式计算判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则有，，，，，，，，， 则，，， 对于A：，，． 设平面的一个法向量为，则有，令，则，故． 因为，平面， 所以，得，又因为，，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故A正确； 对于B：，则， 若平面，则有，即， 解得，，故B错误； 对于C：若，则，则到平面的距离为，故C正确； 对于D：，当，时，， 则， 当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立，故，即，故D正确． 故选：ACD. 第Ⅱ部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，直线，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由两条直线平行列式计算即可. 【详解】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 13. 在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.”，故只需求出，再结合数量积的运算律. 【详解】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.” 正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得， 则. 故答案为：. 14. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】 设正四棱台上、下底面所在截面圆的半径为，则， 若球心到上底面距离为，球体半径为，则球心到下底面距离为， 所以，可得，则， 所以球体的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值； （2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值； （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可 【详解】（1）由，解得. （2）这组数据的平均数为. 中位数设为，则，解得. （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为， 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件， 从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，， 所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个， 所以 . 16. 已知直线经过点. （1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； （2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【小问1详解】 由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 17. 在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 【答案】（1） （2）相交， 【解析】 【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程； （2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长. 【小问1详解】 因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 , 则由，解得， ∴圆心，半径, ∴圆的方程为； 【小问2详解】 由圆得： ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得, ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线的距离 , ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求A； （2）若D为中点，且，求的周长； （3）若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再化简即可得到角A； （2）由题意可得，将两边平方结合向量的数量积可得，再利用余弦定理得求得，进而得到周长； （3）由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，得，由，得； 【小问2详解】 因为D为中点，所以， 则， 所以，解得（舍）或， 由余弦定理得，所以， 所以的周长为； 【小问3详解】 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 根据题意得，解得， 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． （1）求证：； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）取的中点，以直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，令，，由二面角的向量公式求得，即可求解. 【小问1详解】 由于平面平面，平面平面， 又且平面，平面. 平面，. 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，可得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，得， 由且得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线、、两两垂直， 以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 令，， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是， 化简得，又，故解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临汾一中 2025-2026学年度第一学期高二年级开学考试 数学试题（卷） （考试时间120分钟 满分150分） 命题人：郭建云 第I部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A. 57 B. 50 C. 40 D. 10 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的各条棱均相等，P，Q分别为棱，的中点，则直线和直线所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若事件与事件是互斥事件，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若，则事件与事件相互独立 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 直线为的一条对称轴 D. 若为偶函数，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则最小值为 B. 若平面，则， C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 第Ⅱ部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，直线，若，则___________． 13. 在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则____________. 14. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 16. 已知直线经过点. （1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； （2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 17. 在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求A； （2）若D为中点，且，求的周长； （3）若是锐角三角形，求面积的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． （1）求证：； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $