1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第二课时课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.4空间向量的应用 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 (第二课时 复习回顾 1.异面直线所成的角 问题1：若直线a与b的方向向量分别为a,b,则直线a与b所成角0与向量夹角 <d,>的区别与联系是什么？ 直线夹角∈[0，习 a,e[0,刀cos8=:Icos(a,= a.B a刘b1 两直线所成角就是它们的方 向向量所成角或补角. 0=(a,b) 0=π-(a,b) cose cos(a,b) cose =-cos(a,b) 典例分析一异面直线所成的角 A 例1.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是正三角形， B 点A,在平面ABC上的射影为AC的中点D,侧面AA1C1C是边长为 2的菱形，求异面直线DB,与BC所成角的余弦值 解：如图，连接A1D,BD,因为点A1在平面ABC上的射影为AC的中点D, 所以A1D⊥平面ABC,又CDC平面ABC,BDC平面ABC,所以A1D⊥CD, A1D⊥BD 因为△ABC是正三角形，D是AC的中点，所以BD⊥CD. O 典例分析一异面直线所成的角 例1.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是正三角形， A B 点A,在平面ABC上的射影为AC的中点D,侧面AA1C1C是边长为 2的菱形，求异面直线DB,与BC所成角的余弦值 A 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 B D(0,0,0),C(0,1,0),B(V3,0,0),B1(V3,1,V3),所以 BC=(-V3,1,0),DB1=(V3,1,V3) 设异面直线DB,与BC所成的角为a, 则cos&= BC·DB1 C-DB. 即异面直线DB1与 BC所成角的余弦值为只 0 巩固训川练一异面直线所成的角 训练1.(1)在棱长为1的正四面体ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点， 求直线AM和CN所成角的余弦值 3 1.几何法（平移构造） 2.基底法 M 3.坐标法 (2)如图，三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2,CD=V√2，∠BAD=90°， ∠BAC=60°，求直线AB与CD所成角 4 新知讲解一直线与平面所成的角 2.直线与平面所成的角 问题2：若直线a的方向向量分别为d,平面a的法向量为元，则直线a与平面a所 成角0与向量夹角<，元>的区别与联系是什么？ π 0= (a,) 2 sin0 cos(a,n) 线面角∈[0，引 a,)∈[0，π] 0=(a,)- sin0=-cosa,元) |a. sine lcos(a,n)|= lalln 典例分析一线面角 例2如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PD=2,∠APD=90°，PB=2V2,底面 ABCD是菱形，O是AD的中点，∠DAB=60°. (1)证明：平面PAD⊥平面POB; (2)求直线PB与平面PDC所成角的正弦值. 解：PA=PD=2,∠APD=90°，AD=2V2,P0=V2 底面ABCD是菱形，O是AD的中点，∠DAB=60°， .B0=6,又PB=2V2,.PO2+BO2=PB2,即PO⊥BO. 由(1)知，BO⊥AD,P0⊥AD,以O为原点，OA,OB,OP 所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图， 典例分析一线面角 例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PD=2,∠APD=90°，PB=2V2,底面 ABCD是菱形，O是AD的中点，∠DAB=60° (1)证明：平面PAD⊥平面POB; (2)求直线PB与平面PDC所成角的正弦值. B节 则D(-V2,0,0),P(0,0,V②)，C(-2√2，√6,0)，B(0,√6,0)， A PB=(0,V6,-V②)，Dp=(V2,0,V2),DC=(-V2,V6,0) 设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量， 则 Dp=V2x+v2z=0,取y=1,得n=(V31,- ·DC=-V2x+V6y=0, 设直线PB与平面PDC所成的角为8，则sin0= PB 'n 26_V21 PB-Inl 22xV7=7, :直线PB与平面PDc所成角的正弦值为受 O 巩固训练一线面角 训练2.P3练习2]PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那 么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(C) A B9 c.3 D 6 3 1.几何法（作出线面角）2等体积法 3.坐标法 训练3.正三棱柱ABC一A,B1C,中的底面边长为a,侧棱长为V2a, 求直线AC1和平面ABB1A1所成角 30° 巩固训练一线面角 训练3.已知三棱柱ABC-A1B1C1满足AC=BC=1,∠ACB=90°， ∠A1AC=60°，J顶点A1在平面ABC上的射影为点B. (1)证明：AC⊥平面A1BC, (2)若点M为A1C1的中点，点N为BC的中点，求直线CM与平面 ANB1所成角的正弦值 解：因为AC⊥平面A1BC,A1CC平面A1BC,所以AC⊥A1C.在Rt△AA1C 中，∠A1AC=60°，所以AA1=2,故A1B=V2如图，以C为原点，CA,CB 所在直线分别为x轴，y轴，过点C且与A1B平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，