精品解析：湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试卷

衡阳市八中2023级高一入学考试 数学试卷 命题人：徐五洲 审题人：谢德斌 请注意：时量120分钟 满分120分 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 满足 的非负整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上，若AB＝5，BG＝3，则的面积为（ ） A. 10 B. 11 C. D. 4. 如图，已知双曲线 ，点P为双曲线 上的一点，且 轴交于点 分别交双曲线 于B，C两点，则的面积为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 5. 如图是抛物线 的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论： ①；② ； ③ 方程 有两个相等的实数根； ④抛物线与轴的另一个交点是； ⑤当时，有 ；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤ 6. 如图，中，，正方形的顶点分别在边上，设长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 7. 下列命题正确的有（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合 ，，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 定义集合运算：，设，，则（ ） A. 当，时， B. 可取两个值，可取两个值，有4个式子 C. 中有4个元素 D. 的真子集有7个 10. 集合 ， 是实数集 的子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知关于x的不等式组有且只有一个整数解，则a的取值范围是______. 12. 如果实数x、y满足 ，那么________ 13. 已知实数m，n满足，，且，则______ 14. 如图，在⊙O的内接五边形中，，则______ 15. 如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么 ______. 16. 在直角坐标系中，直线与y轴交于点，按如图方式作正方形、、…，、、…在直线上，点、、…，在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为、、、..，则的值为______． 四、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在直角中，，的垂直平分线分别与及的延长线相交于点，且，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接. （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求的值. 18. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝1厘米，AB＝3厘米，BC＝5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0） （1）求线段CD的长； （2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分； （3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l ①t为何值时，l经过点C？ ②求当l经过点D时t的值，并求出此时线段PQ的长. 19. 如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系. （1）求OE的长； （2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式； （3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达到B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ； （4）若点N在（2）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2023级高一入学考试 数学试卷 命题人：徐五洲 审题人：谢德斌 请注意：时量120分钟 满分120分 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 满足 的非负整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类讨论思想去绝对值，再结合因式分解法即可求解. 【详解】当时，原式变为，因为非负整数，所以，满足原式； 当时，原式变为， 又因为非负整数，此时有, 由于，所以，满足原式； 当时，原式变为， 又因为非负整数，此时有, 由于，所以，满足原式； 综上满足 的非负整数的个数是个， 故选：C. 2. 如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求解. 【详解】过点作，垂足为， 因为四边形是正方形，所以， 又，所以， 所以， 又， ，所以， 所以. 故选：D. 3. 如图，为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上，若AB＝5，BG＝3，则的面积为（ ） A. 10 B. 11 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可先求的面积，再证明，根据面积比与相似比的关系求的面积. 【详解】由题意，在中，，，， 所以. 在和中， 因为，所以， 又， 所以. 且， 所以，且相似比为. 所以. 故选：D 4. 如图，已知双曲线 ，点P为双曲线 上的一点，且 轴交于点 分别交双曲线 于B，C两点，则的面积为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设 点坐标为 ，根据题意先求出B，C两点坐标，再利用三角形面积公式计算即可求解. 【详解】设 点坐标为 ，因为 轴于点 ， 所以 点坐标为 ； 由于点 在 上且在反比例函数 的图象上， 将 代 ，可得 ，所以 点坐标为 ； 设直线 的解析式为 ，把 代入 ，可得 ，解得 ，所以直线 的解析式为 . 联立方程 ，消去 可得 ，即 ， 因为 ，所以 ，将 代入 ，可得 ， 所以 点坐标为 . 根据三角形面积公式可得 . 故选：A. 5. 如图是抛物线 的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论： ①；② ； ③ 方程 有两个相等的实数根； ④抛物线与轴的另一个交点是； ⑤当时，有 ；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可. 【详解】由抛物线的对称轴，得，故①正确； 因为抛物线开口向下，且与轴交于正半轴，所以， 又由，得，所以，故②错误； 由于抛物线的顶点坐标为，故抛物线与直线相切， 所以方程有两个相等的实数根，故③正确； 由于抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为， 故另一个交点为，故④错误； 观察图形可知在的图象中，抛物线在直线上方，故，故⑤正确. 故选：C 6. 如图，中，，正方形的顶点分别在边上，设长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知，需要分两种情况进行求解，①当时，正方形完全在三角形内，②当时，正方形有一部分在三角形外；结合已知，分别对上述两种情况进行求解，确定出与的函数解析式，再对各选项逐一分析，即可求解. 【详解】由题意有：当时，， 当时，与交于，与交于，如图： 由，则， 在中，， 所以,所以为等腰直角三角形， 所以，所以， 又，所以， 即为等腰直角三角形， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 7. 下列命题正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【详解】对A，因为，故错误； 对B，因为，故B错误； 对C，，故正确； 对D，，故正确． 故选：CD． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的交、并、补运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 8. 已知集合 ，，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先分别求出集合，再根据补集的运算和集合间的关系即可选出答案. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 所以， 因为， 所以， ， 所以BC正确， 故选：AD. 9. 定义集合运算：，设，，则（ ） A. 当，时， B. 可取两个值，可取两个值，有4个式子 C. 中有4个元素 D. 的真子集有7个 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的定义可求出，从而可判断各项的正误. 【详解】， 故中有3个元素，其真子集的个数为，故C错误，D正确. 当，时，，故A错误. 可取两个值，可取两个值，共有4个算式， 分别为： ，， 故B正确． 故选：BD． 【点睛】本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以有相同的计算结果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础题． 10. 集合 ， 是实数集 的子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次函数的性质求出集合，再由定义求与. 【详解】， ， ，. 故选：BCD 三、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知关于x的不等式组有且只有一个整数解，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式组得到且，根据整数解得到，得出答案. 【详解】由，得且，因为不等式组有且只有一个整数解，所以. 故答案为：. 12. 如果实数x、y满足 ，那么________ 【答案】## 【解析】 【分析】先将原式配方，可求的值，再代入计算即可. 【详解】由，得， 所以， 所以. 所以. 故答案为： 13. 已知实数m，n满足，，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】依题意，m，n是方程的两实数根，根据韦达定理得，，然后结合完全平方和公式代入求值即可. 【详解】因为实数，满足等式，， 所以m，n是方程的两实数根， 所以，， 所以. 故答案为： 14. 如图，在⊙O的内接五边形中，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用圆内接四边形对角互补，结合三角形内角和定理可得. 【详解】因为四边形为圆的内接四边形， 所以，即， 同理可得， 又，所以， 所以. 故答案为： 15. 如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么 ______. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角形的重心得出,由平行线分线段成比例定理得出,即可得出结果. 【详解】因为线段是的中线， 所以， 因为，， 所以. 故答案为： 16. 在直角坐标系中，直线与y轴交于点，按如图方式作正方形、、…，、、…在直线上，点、、…，在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为、、、..，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据=，=，找出规律从而得解. 【详解】 直线，当时，，当时，，则，，， 则，，于是=， 由，得，则=， 同理得：，=，…，所以=. 故答案为： 四、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在直角中，，的垂直平分线分别与及的延长线相交于点，且，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接. （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求的值. 【答案】（1）证明:因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 在和中，，所以. （2）与相切，理由如下： 如图1所示，连接， 因为，所以， 又因为，，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以与相切. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，在和中，结合“”，即可证得； （2）连接，证得，得到，证得，得到，即可得到与相切. （3）连接，求得，根据，求得的长，由是直径，得到是等腰直角三角形，求得的长，再由，列出关系式，即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 直线与相切，理由略. 【小问3详解】 如图2所示，连接， 因为，，所以， 又因为垂直平分，所以， 可得， 因为，可得，所以， 又因为平分，所以，所以，所以是直径， 所以，所以是等腰直角三角形，所以， 因为，，所以， 所以，所以. 18. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝1厘米，AB＝3厘米，BC＝5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0） （1）求线段CD的长； （2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分； （3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l ①t为何值时，l经过点C？ ②求当l经过点D时t的值，并求出此时线段PQ的长. 【答案】（1）5厘米 （2）秒 （3）①秒;②1秒,厘米 【解析】 【分析】(1)四边形ABCD中，在边上取点,使厘米，可得,根据勾股定理，可求得线段的长； (2)线段PQ将四边形ABCD分成一个三角形和一个五边形，可先求出四边形ABCD的面积，并用表示 的面积和剩余部分的面积，利用面积比为1：2，分两种情况说明，即可求出的值. (3)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由题意列出关于的方程，并求出的值，再根据勾股定理求得线段的长. 【小问1详解】 如图，四边形ABCD中，在边上取点,使厘米，则厘米，且. 因为AD∥BC，,所以四边形是矩形，所以且（厘米）. 所以(厘米). 所以线段的长为5厘米. 【小问2详解】 因为AD∥BC，∠A＝90°所以，且四边形为直角梯形，其面积为(平方厘米）. 设运动时间为t秒（t＞0）,则，, 由(1)可得,过点作边的垂线，垂足为点. 则.所以, 所以. 所以的面积. 令平方厘米，则五边形的面积为平方厘米.面积比为. 此时，，即,解得：， 因为当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，所以,所以秒. 令平方厘米,则五边形的面积为平方厘米. 此时，，则， 方程无解. 综上所述，当秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分. 【小问3详解】 线段PQ的垂直平分线上的点到两点的距离相等. ①当l经过点C时，. 由(2)知：,所以所以. 所以当秒时，经过点C. ②当l经过点D时,. 由(1)知,又, 所以,所以,解得： 或. 因为, 所以即,所以点与(1)中的点重合，所以四边形是矩形，所以 如下图，过点作边的垂线，垂足为点. 则.所以. 所以,, 所以. 所以当经过点D时秒，此时厘米. 19. 如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系. （1）求OE的长； （2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式； （3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达到B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ； （4）若点N在（2）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） （4）或或. 【解析】 【分析】（1）设，，在、中利用勾股定理即可求出； （2）设抛物线方程的两根式方程，再将点坐标代入即可； （3）分别用表示的长度，再建立方程即可； （4）分四边形为、四边形为、四边形为三种情况讨论，根据对角线互相平分即可求出. 【小问1详解】 设，，则，， 则在中有，在中有， 解得，，则； 【小问2详解】 因抛物线过，故设抛物线方程为， 将点坐标代入方程中得，，得， 故抛物线方程为； 【小问3详解】 运动t秒后，，，则， 又，， 则在中有，在中有， 因，则，得， 因，故符合题意； 【小问4详解】 抛物线的对称轴方程为：，故设， 又，设，且， ①当四边形为时，线段、的中点坐标分别为， 又四边形为平行四边形，则，得， 则，，则； ②当四边形为时，线段、的中点坐标分别为， 又四边形为平行四边形，则，得， 则，则； ③当四边形为时，线段的中点坐标分别为， 则，得， 则，则, 综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $