第7章计数原理模拟测试卷-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

第7章　计数原理 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在(x-)4的二项展开式中,第2项的系数为(　　) A.4 B.-4 C.6 D.-6 2.要从10名女护工和5名男护工中选出6名护工组成医疗支援小组,如果按性别的比例分层抽样,则组成此医疗支援小组的方法总数为(　　) A. B. C. D. 3.算盘是中国传统的计算工具,是中国人在长期使用算筹的基础上发明的,是中国古代一项伟大的、重要的发明,是在阿拉伯数字出现前曾在许多国家或地区广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》,其中有云:“珠算控带四时,经纬三才.”北周甄鸾为此作注,大意是:把木板刻为3部分,上、下两部分是停游珠用的,中间一部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位、…,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)代表1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠,且往上拨2粒下珠,则算盘表示的数的个数为(　　) A.9 B.18 C.27 D.36 4.已知(1+ax)6=1+12x+bx2+…+a6x6,则实数b的值为(　　) A.15 B.20 C.40 D.60 5.(x+2y)5(x-2y)7的展开式中x9y3的系数为(　　) A.-160 B.-80 C.160 D.80 6.如图所示,要给①②③④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为(　　) A.320 B.160 C.96 D.60 7.中国古代著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究,设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).如9和21除以6所得的余数都是3,则记为9≡21(mod 6),若a=·2+·22+…+·222,a≡b(mod 10),则b的值可以是(　　) A.999 B.998 C.997 D.996 8.航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试,主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项,连续5天完成,且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试,超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试,则选拔测试的安排方案有(　　) A.24种 B.36种 C.48种 D.60种 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.某学生想在物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理、信息技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是(　　) A.若任意选择三门课程,选法种数为 B.若物理和化学至少选一门,选法种数为 C.若物理和历史不能同时选,选法种数为 D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为 10.如图,用4种不同的颜色,对四边形中的四个区域进行着色,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,则不同的着色方法数为(　　) A. B. C.×()2 D.×()2 11.已知(ax2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是(　　) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15的项的系数为45 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有　　　　　种.  13.二项式(1+2x)4展开式的各项系数的和为. 14.(2022浙江)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　　.(本题第一空2分,第二空 3分)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10,x∈R.求: (1)a3的值; (2)a1+a2+a3+…+a10的值; (3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|的值. 16.(15分)我们曾用组合模型发现了组合恒等式:.这里所使用的方法,实际上是将一个量用两种方法分别算一次,由结果相同来得到等式,这是一种非常有用的思想方法,叫作“算两次”,对此,我们并不陌生,如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式. (1)某医院有内科医生8名、外科医生x(x≥3)名,现要派3名医生参加某医疗队,已知某内科医生必须参加的选法有66种,求x的值; (2)化简:+…+. 17.(15分)某校举行劳动技术比赛,该校高二(1)班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛,并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法? (1)男选手甲必须参加,且第4位出场; (2)男选手甲和女选手乙都参加,且出场的顺序不相邻; (3)男选手甲和女选手乙至少有一人参加. 18.(17分)已知(+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992.求2x-2n的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 19.(17分)(1)如图1所示,某地有南北街道5条、东西街道6条,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法? (2)如图2所示,某地有南北街道5条、东西街道6条,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,已知C地(十字路口)在修路,无法通行,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法? (3)如图3所示,某地有南北街道5条、东西街道6条(注意有一段DE不通),一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法? (4)如图4所示,某地有南北街道5条、东西街道6条,已知C地(十字路口)在修路,无法通行,且有一段路程DE无法通行,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,有多少种不同的走法? 参考答案 1.B　由题意可得展开式的第2项为T2=x3(-)=-4x2,所以第2项的系数为-4.故选B. 2.A　一共15人,选出6人,根据分层抽样的方法,女护工抽取10=4(人),男护工抽取5=2(人), 所以组成此小组的方法总数为故选A. 3.B　从个位、十位、百位的上珠中选1粒往下拨,则有种; 下珠往上拨分两种情况,全部来自个位、十位、百位,有种,或者来自个位、十位、百位中的两个,有种. 故算盘表示的数的个数为)=18.故选B. 4.D　(1+ax)6的展开式的通项为arxr,令r=1,则a=12,解得a=2,则b=22=60. 5.D　二项式可以化为[(x+2y)(x-2y)]5(x-2y)2=(x2-4xy+4y2)(x2-4y2)5, 则展开式中含x9y3的项为-4xy(x2)4(-4y2)=80x9y3,所以x9y3的系数为80.故选D. 6.A　根据分步计数原理,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故都有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320(种). 7.A　∵a=2+22+…+222 =(1+2)22=322=911 =(10-1)11 =1011+1010×(-1)1+109×(-1)2+…+10×(-1)10+(-1)11, ∴a被10除所得余数为9, 故999,998,997,996这四个数中被10除余9的是999.故选A. 8.B　①若失重飞行安排在第一天,则前庭功能安排在第二天,则后面三天安排其他三项测试有=6种安排方案,此情况跟失重飞行安排在第五天,前庭功能安排在第四天安排方案种数相同; ②若失重飞行安排在第二天,则前庭功能有种选择,超重耐力在第四、第五天有种选择,剩下两种测试全排列为,共有=8种安排方案,此情况与失重飞行安排在第四天安排方案种数相同; ③若失重飞行安排在第三天,则前庭功能有种选择,超重耐力在第一、第五天有种选择,剩下两种测试全排列为,则有=8种安排方案. 故选拔测试的安排方案有6×2+8×2+8=36(种).故选B. 9.ABD　若任意选择三门课程,选法种数为,故A错误; 若物理和化学至少选一门,选法种数为,故B错误; 若物理和历史不能同时选,选法种数为,故C正确; 若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为,故D错误.故选ABD. 10.ACD　如图,设四个区域依次为A,B,C,D. (方法一)根据题意,分2步进行分析: ①对于区域A,B,C,两两相邻,有种涂色方法;②区域D与区域B,C相邻,有种涂色方法,则有种涂色方法. (方法二)①对于区域B,C,有种涂色方法;②对于A,D区域各有种涂色方法,则有()2种涂色方法. (方法三)分两种情况,若A,D同色,有种涂色方法;若A,D不同色,先将B,C涂色,有种,然后A,D区域有种涂色方法,总共有()2种涂色方法. 故选ACD. 11.BCD　由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,得,则n=10. 因为展开式的各项系数之和为1 024,即当x=1时,(a+1)10=1 024,a>0,所以a=1, 所以二项式为(x2+)10=(x2+)10. 二项式系数和为210=1 024,则奇数项的二项式系数和为1 024=512,故A错误; 由n=10可知展开式共有11项,故第6项的二项式系数最大. 因为x2与的系数均为1,则该二项展开式的二项式系数与相应各项的系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确; 若展开式中存在常数项,由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=0,解得k=8,故C正确; 由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=15, 解得k=2, 所以该项的系数为=45,故D正确.故选BCD. 12.90　先分组,有种分法,再把三组分配到三个不同场馆服务,共有不同的分配方案有=90(种). 13.81　令x=1,则二项式的展开式的各项的系数和为(1+2)4=81. 14.8　-2　(x-1)4展开式的通项为Tk+1=x4-k(-1)k, 故a2=1(-1)3+2(-1)2=8. 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0, 令x=0,得a0=2, 所以a1+a2+a3+a4+a5=-2. 15.解 (1)二项式(2x-1)10展开式的通项为Tk+1=(2x)10-k(-1)k(0≤k≤10,且k∈N), 所以T8=(2x)3(-1)7=-960x3, 所以a3=-960. (2)令x=0,得a0=1, 令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+a10=(2-1)10=1, 所以a1+a2+a3+…+a10=0. (3)因为展开式的通项为Tk+1=(2x)10-k(-1)k(0≤k≤10,且k∈N), 所以当k为奇数时,项的系数为负数. 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=a0-a1+a2-…+a10, 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=(-3)10=310, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=310. 16.解 (1)内科医生8名、外科医生x(x≥3)名,现要派3名医生参加某医疗队,某内科医生必须参加,该事件等同于从剩下7名内科医生、x(x≥3)名外科医生中,派2名医生参加某医疗队,即=66,=66,即x2+13x-90=0,解得x=5(x=-18舍去). (2)∵(1+x)n(1+x)n=(x+x2+…+xn)·(x+x2+…+xn), ∴xn+1的系数为+…+, ∴原式可以看作(1+x)n(1+x)n的展开式中xn+1的系数减,即+…+-n. 17.解 (1)完成该件事情可分两步进行: 第一步,选出选手,有种方法; 第二步,排好出场顺序,有种方法, 所以,共有=144种不同的安排方法. (2)完成该件事情可分两步进行: 第一步,选出选手,有种方法; 第二步,排好出场顺序,有种方法, 所以,共有=144种不同的安排方法. (3)完成该件事情可分两步进行: 第一步,选出选手,“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为;“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为;“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为; 第二步,排好出场顺序,有种排法, 所以,共有(=1 008种不同的安排方法. 18.解 (1)由题意知22n-2n=992,解得n=5. 则(2x-)10的展开式中第6项的二项式系数最大, 即T6=T5+1=(2x)5·(-)5=-8 064. (2)Tk+1=(2x)10-k·(-)k=(-1)k210-k·x10-2k, 设第k+1项的系数的绝对值最大, 则 即 解得k, 故k=3. 故系数的绝对值最大的项为T4=(2x)7(-)3=-15 360x4.　 19.解 (1)由题意可知,由A到B的最短距离需要9步完成,其中向下走5步,向左走4步, 故不同的走法共有=126(种). (2)若先从A到C,需向下走3步,向左走2步,共种走法, 再从C到B,需向下运动2步,向左运动2步,共种走法,故先经过C再到B共有种走法,故不经过C的走法共有=66(种). (3)经过ED,由A到D,需要向下走2步,向左走1步,共有种走法,再由E到B,需要向下走3步,向左走2步,共有种走法,所以经过ED的走法共有种,故不经过ED的走法共有=96(种). (4)由A经过DE到C的走法共有种,再由C到B需要向下、向左各2步,共有种走法,故经过DE到C再到B的走法共有种,故不经过DE也不经过C的走法共有=54(种). 11 学科网（北京）股份有限公司 $