1.3 正方形的性质与判定 同步练习 -2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.3 正方形的性质与判定 同步练习 -2025-2026学年北师大版数学九年级上册 一、选择题(共8题；共24分) 1．如图直线上有三个正方形，若正方形的面积分别为5和11，则正方形B的面积是（　　） A．4 B．6 C．16 D．55 2．如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 3．如图，正方形ABCD的边长为18，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，正方形，对角线相交于点O，过点D作的角平分线交于点G，过点C作，垂足为F，交于点E，则的比为（　　） A． B． C．2∶1 D．5∶2 5．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 6．如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接且，若，则的度数（　　） A． B． C． D． 8． 如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 二、填空题(共5题；共20分) 9．边长为2的一个正方形和一个等边三角形按如图所示的方式摆放，则的面积为　 　． 10． 如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为　 　. 11．如图所示，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG=　 　. 12．如图，正方形ABCD的边长，AB＝2点P为AB边上一点（不与小B重合），过点P、B在正方形内部作正方形PBEF，交边BC于点E，连结DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，PB的长为 　 　． 13．如图，在正方形中，E为的中点，F为的中点， 的延长线与的延长线交于点H，与相交于点G，若，则的长为　 　． 三、解答题(共5题；共56分) 14．如图，已知正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数. 15．如图，在正方形中，，点为延长线上一点，连接，且，把绕点逆时针旋转至的位置，点恰好落在边上，求线段的长． 16．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点. （1）求证：. （2）连接MQ、PN，判断四边形MPNQ的形状，并说明理由. （3）矩形ABCD的边AB与AD满足什么长度关系时，四边形MPNQ是正方形？请说明理由. 17．如图，，是正方形的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若正方形边长为，，求菱形的面积． 18．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，点E为AB的中点，DC∥AB，且DC＝AB，连接CE，DE． （1）四边形AECD是什么特殊四边形？并证明你的结论． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形？并证明你的结论． 答案 1．C 2．A 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．B 9．1 10．4 11．1 12．2-或1 13．10 14．解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°. ∵CE＝CF， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°. ∵在△BCE和△DCF中 ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠BEC＝∠DFC＝60°， ∴∠EFD＝15°. 15．解：把绕点逆时针旋转至的位置， ， ，即为等腰直角三角形． 又， ． ，即， ， ． 16．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， ∵M、N分别是AD、BC的中点，∴， ∴，∴ （2）解：四边形MPNQ是菱形，理由如下： 如图，连接MN，则四边形ABNM是矩形， ∵P是BM的中点，∴， 同理可得， ∵，∴， ∴四边形MPNQ是菱形. （3）解：当时，四边形MPNQ是正方形，理由如下： 如图：连接PQ、AP. 由（2）可知，四边形MPNQ是菱形，∴， ∵，∴， ∵P、Q分别是AN、DN的中点，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴菱形MPNQ是正方形. 17．（1）证明：如图，连接BD交AC于点O， 四边形ABCD为正方形， ，， ， ，即， 四边形BEDF为平行四边形，且， 四边形BEDF为菱形； （2）解：正方形边长为， ， ， ， ． 18．（1）解：四边形AECD是矩形， 证明：∵DC＝AB，E为AB的中点， ∴CD＝BE＝AE． 又∵DC∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AC＝BC，E为AB中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECD是矩形； （2）解：当△ABC满足∠ACB＝90°时，可使得四边形AECD为正方形， 证明：∵∠ACB＝90°，E为AB的中点， ∴AE＝CE＝AB， ∵四边形AECD是矩形， ∴四边形AECD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 学科网（北京）股份有限公司 $