专题02 有理数的运算5考点（期中真题汇编，湖南专用）七年级数学上学期湘教版2024

专题02 有理数的运算 5大高频考点概览 考点01 科学记数法 考点02 有理数的混合运算 考点03 有理数混合运算的实际应用 考点04 新定义问题 考点05 规律探究题 地 城 考点01 科学记数法 1．(24-25七上·湖南衡阳华新实验中学·期中)国家能源局数据显示，截至2024年9月底，全国累计发电装机容量约亿千瓦，同比增．将亿用科学记数法表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故选A． 2．(24-25七上·湖南永州冷水滩区第十六中学·期中)染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，1号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：依题意，用科学记数法表示为， 故选：D 3．(24-25七上·湖南常德第四中学·期中)据统计，今年国庆长假我市大小河街接待旅游人数约为1100000人，那么1100000这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 4．(24-25七上·湖南永州道县·期中)我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约为千米，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选A． 5．(24-25七上·湖南邵阳新邵县·期中)新能源汽车日益受到大众的喜爱，公安部所发布的统计数据显示截至2024年9月底，全国新注册登记新能源汽车共2821万辆，其中数据“2821万”用科学记数法可表示为，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：依题意，数据“2821万”用科学记数法可表示为， ∴的值为， 故选：C． 6．(24-25七·湖南衡阳衡东县多校联合考试·期中)中国北斗全球导航系统卫星位于距离地球的地球同步轨道上，将36000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将36000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选C． 7．(24-25七上·湖南岳阳湘阴县洞庭区联考·期中)第届亚运会将于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城将成为杭州年亚运会的主场馆，杭州奥体博览城核心区占地公顷，建筑总面积为平方米，请将数据用数学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 【详解】解：， 故 答 案 为 ：． 8．(24-25七上·湖南岳阳·期中)科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．本题考查了科学记数法． 【详解】解：依题意，数字1500万用科学记数法表示为， 故答案为：． 9．(24-25七上·湖南武冈·期中)武冈市云山景区2024年国庆期间接待游客的人数约89700人次，将89700这个数字用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 地 城 考点02 有理数的混合运算 1．(24-25七上·湖南张家界永定区·期中)根据如图所示的程序计算，若输入x的值为0，则输出的值为（   ） A． B．2 C．6 D．70 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的程序计算，根据题干给出的程序计算即可作答． 【详解】解：输入0，， 输入，， 输出为， 故选：C． 2．(24-25七上·湖南师大附中教育集团·期中)2021年7月，第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次大会会徽主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力．如图，右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，由0~7共8个基本数字组成．八进制数3745换算成十进制数是，则八进制数2024换算成十进制数是（） A．1042 B．1044 C．2024 D．3748 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：八进制数2024换算成十进制数是， 故选：B． 3．(24-25七上·湖南长沙浏阳·期中)进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法我们常用的十进制是逢十进一，如4652可以写作，数要用10个数字组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在小型机中引入了八进制，只要八个数字：0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制中174可以写作等于十进制的数124．将八进制中的数1234等于十进制中的数应为（   ） A．668 B．667 C．666 D．665 【答案】A 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据题目中八进制数换算成十进制数的计算方法列式计算即可得到答案． 【详解】解：， ∴将八进制中的数1234等于十进制中的数应为668， 故选：A． 4．(24-25七上·湖南长沙长郡教育集团·期中)利用如图1的二维码可以进行身份识别．我校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为（，表示该生为6班学生．则表示5班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含乘方的有理数的混合运算，根据变化规律计算出班级序号是解题的关键．根据题中的规律分别列式计算出四个选项所表示的班级序号即可． 【详解】解：由题知，A选项班级序号为， B选项班级序号为， C选项班级序号为， D选项班级序号为， 故选：B． 5．(24-25七上·湖南岳阳云溪区九校联考·期中)已知，互为相反数，，互为倒数，，那么的值为 【答案】或 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据，互为相反数，，互为倒数，，得出，分情况讨论，进而代入数值进行计算即可求解． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，， ∴， 当时， 当时， 故答案为：或． 6．(24-25七上·湖南长沙长沙县·期中)在二进制数中，“1101”表示十进制数的；“11000”表示十进制数的；则二进制数中的“110111”表示十进制数的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算．根据二进制转化为十进制的方法列式计算即可得解． 【详解】解：“”表示十进制数的， “”表示十进制数的， 二进制数中的“110111”表示十进制数的是： ， 故答案为：． 7．(23-24七上·湖南永州冷水滩区·期中)如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，程序流程图与有理数计算，解题关键是根据程序列出算式． 先根据程序列出算式，再计算，根据结果判断能否输出，否则进入下一轮计算． 【详解】解：当输入的x为时， ， 输入的x为， ， 最后输出的结果y是， 故答案为：． 8．(24-25七上·湖南郴州宜章县湘南红军学校·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则和运算顺序，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 9．(24-25七上·湖南永州宁远县实验中学·期中)计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)15 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）先计算绝对值和有理数的乘除，再计算有理数的加减，即得答案； （2）先计算有理数的乘方，然后计算两个括号中的加减，再计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减，即得答案． （3）先算括号，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 10．(24-25七上·湖南岳阳第十中学·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的加减进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 11．(24-25七上·湖南永州蓝山县·期中)已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据相反数，得到，倒数，得到，绝对值的意义，得到或，再根据有理数的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，， ∴，，或， ∴当时， 当时，． 12．(24-25七上·湖南长沙一中教育集团·期中)计算： 小明在做作业时，发现题中有一个数字打印成了乱码． (1)如果乱码数字是，请计算； (2)如果计算结果等于，求乱码数字． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据有理数的混合运算顺序，先算乘方和括号内的，再算乘法，最后算加减即可； （）根据有理数的混合运算顺序，先算乘方和括号内的，再算除法，最后算加减即可； 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：根据题意得， ， ∴． 13．(24-25七上·湖南祁阳浯溪第二中学·期中)已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握绝对值和平方的非负性，列项求代数式的值是解题关键． 根据绝对值和平方的非负性即可得出，，从而又可求出，，代入原式，再化为的形式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴ ． 14．(24-25七上·湖南湘潭韶山学校·期中)阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请仿照此方法完成下列问题： (1)______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以2，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 两边乘以2得：， 两式相减得：， 故答案为：； （2）解：设， 两边乘以5得：， 两式相减得：，即， 则原式． 地 城 考点03 有理数混合运算的实际应用 1．(24-25七上·湖南湘西州溶江中学·期中)“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（    ） A．181 B．182 C．183 D．184 【答案】C 【分析】本题以数学文化为载体，主要查考进位制等基础知识及含乘方的有理数的混合运算，由题意可知，采摘果实的个数的四进制数为2313，化为十进制即可，解题的关键是会将四进制转化成十进制． 【详解】解：根据题意得：捕鱼的条数的四进制数为2313， 化为十进制为（个）， 采摘果实的个数是183个， 故选：C． 2．(24-25七上·湖南麻阳苗族自治县锦江中学·期中)科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1千米，气温下降6℃．已知甲地现在的地面气温为21℃，则甲地上空10千米处的气温为 ℃． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算．用甲地现在的地面温度加上高度上升降低的温度即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 3．(24-25七上·湖南长沙一中教育集团·期中)某地区海拔高度每增加米，气温下降 ，小明在该地区的一座山的山脚处测得气温是 . (1)小明从山脚爬到海拔增加了米处，气温大约是________ ； (2)小明从山脚到海拔增加米处，气温________ (用含的代数式表示)； (3)当小明到山顶时测得气温为，请问这座山从山脚到山顶有多高？ 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】本题考查列代数式、有理数混合运算； （1）根据题意可以计算出海拔增加了米处的气温是多少； （2）根据题意可以计算出海拔增加米处的气温是多少； （3）根据题意可以求得这座山从山脚到山顶高度，本题得以解决． 【详解】（1）解：由题意可得， 2 ， （2） （3）米， 这座山从山脚到山顶有米． 4．(24-25七上·湖南邵阳新邵县·期中)喜迎杭州亚运会期间，我校体育老师为了强化训练学生快速转身跑的能力，张老师设计了折返跑训练，张老师在东西方向的操场上画了一条直线，并插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组折返跑的移动记录如下（单位：米）：，，，，，，． (1)学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)小梁同学在这一组练习过程中，每次转身平均用时秒，跑的速度是4米/秒，求他完成这一组练习需要多长时间？ 【答案】(1)学生最后到达的地方在出发点的西边，且距出发点45米 (2)他完成这一组练习需要秒 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加法运算，有理数的四则混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把移动记录相加，计算出结果，即可作答． （2）根据时间等于路程除以速度，以及考虑每次转身平均用时秒，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：（米）， 答：学生最后到达的地方在出发点的西边，且距出发点45米； （2）解：（秒）， 答：他完成这一组练习需要秒． 5．(24-25七上·湖南永州冷水滩区第十六中学·期中)为积极响应保护环境的号召，某运输公司购置了一批新能源汽车，其中编号为A01的车辆连续7天行驶路程如下表（单位：）（以为标准，多于记为正，低于记为负）． 天数 一 二 三 四 五 六 七 路程 0 (1)路程最多的一天行驶了________，行驶最多的一天比行驶最少的一天多行驶________； (2)已知新能源汽车平均每千米耗电0.2度，每度电的价格为0.6元，求该新能源汽车这七天的充电费用． 【答案】(1)32，22 (2)18元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第二天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案；（2）根据（1）的过程，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，第一天行驶了（） 第二天行驶了（） 第三天行驶了（） 第四天行驶了（） 第五天行驶了（） 第六天行驶了（） 第七天行驶了（） 所以路程最多的一天行驶了32，行驶最多的一天比最少的一天多行驶了 故答案为：32，22． （2）由（1）可知，总路程为（） 那么充电费用为：（元） 故答案为：18元． 6．(24-25七上·湖南长沙明德教育集团·期中)出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升6元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第(2)问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入＝乘客所给的总车费－油费） 【答案】(1)出租车司机在公司的东方，距离公司3千米 (2)共需元油费 (3)盈利元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）计算即可求解； （2）根据计算出总的里程数即可求解； （3）根据收费标准计算出乘客所给的总车费即可求解； 【详解】（1）解：千米， 答：出租车司机在公司的东方，距离公司3千米； （2）解：千米， （元）， 答：共需66元油费 （3）解： 元， 元， 答：盈利70元. 7．(24-25七上·湖南衡阳船山实验中学·期中)七年级某班开展“我爱我校”志愿者校园废纸清理活动，全班分成六个小组清理废纸，每组清理的纸重量均以为标准，超过的记为“+”，不足的记为“－”，六个小组的清理废纸情况如表所示，统计员小明不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得第三组清理废纸最少，且清理废纸最多与最少的小组的重量差为． 组别 一 二 三 四 五 六 超过（不足）（） (1)填空：第二小组看不清的数据应是_____； (2)若本次活动清理废纸重量排名前三的小组可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的小组清理纸的总重量； (3)若六个小组将本次活动清理的废纸集中卖出，以内的元/千克，超出的部分元/千克，求清理的废纸卖出的总收入． 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】（）根据第三组清理废纸最少，清理废纸最多最少的小组的重量差为，可得第二组清理废纸最多，由此即可求解； （）根据表中数据得出前三的小组，再列式计算即可求解； （）根据题意列式求出废纸总重量，再列式求出总收入即可； 本题考查了减法的实际应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵第三组清理废纸最少，且清理废纸最多与最少的小组的重量差为， ∴第二组清理废纸最多， ∴第二小组看不清的数据应是， 故答案为：； （2）解：根据题意可得，前三名的是：第二组，第六组，第一组， ∴获得荣誉称号的小组清理纸的总重量为； （3）解：废纸总重量为， ∴废纸卖出的总收入为元． 8．(24-25七上·湖南衡阳华新实验中学·期中)某人去水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果，这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同． 甲家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的优惠；批发数量超过1000千克，超过部分按零售价的优惠． 乙家的规定如下表： 数量范围（千克） 部分 500以上1500部分 1500以上部分 价格（元） 零售价的 零售价的 零售价的 (1)若这个人批发600千克苹果，则他在甲家批发需要_________元，在乙家批发需要_________元； (2)若这个人批发千克苹果，求他在甲、乙两家批发各需要的总费用；（用含的代数式表示） (3)若这个人要批发3000千克苹果，请你帮他选择在哪家批发更优惠？并说明理由． 温馨提示：批发价格分段计算．如：某人批发苹果2000千克，则甲家总费用为：；乙家总费用为：． 【答案】(1)； (2)甲：元；乙：元 (3)他在乙家批发更优惠，理由见解析 【分析】本题考查了根据题意列代数式，求代数式的值，理解两种分段计费方式是解题关键． （1）分别按照甲乙两种计费方式计算即可； （2）分别按照甲乙两种计费方式表示费用并计算即可求解； （3）把分别代入两种计费方式比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，他在甲家批发需要元； 他在乙家批发需要元； 故答案为：；； （2）解：由题意得，他在甲家批发需要元； 他在乙家批发需要元； （3）解：他在乙家批发更优惠，理由如下： 当时， 甲家费用为元， 乙家费用为元， ∵， ∴他在乙家批发更优惠． 地 城 考点04 新定义问题 1．(24-25七上·湖南麻阳苗族自治县锦江中学·期中)现定义新运算“”，对任意有理数，规定，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2025． 2．(24-25七上·湖南郴州宜章县湘南红军学校·期中)已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义列出算式，再计算即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 3．(24-25七上·湖南衡阳实验中学·期中)定义一种新运算“☆”，规则为，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据新定义的运算，列式计算即可； （）根据新定义的运算先计算中括号内的，再计算括号外的即可； 本题考查了含乘方的有理数混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴ ． 4．(24-25七·湖南衡阳衡东县多校联合考试·期中)a，b为有理数，若规定一种新的运算“”，，请根据新定义的运算计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)16 【分析】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型．解题的关键是弄清楚新定义的运算规则； （1）根据新定义的运算规则直接求解即可； （2）根据新定义的运算规则先求，再求即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 5．(24-25七上·湖南岳阳湘阴县岭北五校联考·期中)若，为有理数，我们定义新运算“※”使得※如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义是解答本题的关键． （1）直接根据新定义把转化为有理数的混合运算计算即可； （2）先算，再算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．(24-25七上·湖南衡阳衡阳四校·期中)对于有理数、定义一种新运算“”：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及一元一次方程的应用，理解定义的新运算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算列方程，解方程即可解答． 【详解】（1） （2）， ， ， 解得． 7．(24-25七上·湖南师大附中教育集团·期中)规定符号“*”的意义：当时，；当时，．比如，．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)7 (2)10 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据新定义，可以求得所求式子，再进行计算，本题得以解决； （2）根据新定义，可以求得所求式子，再进行计算，本题得以解决； （3）根据新定义，可以求得所求式子，再进行计算，本题得以解决． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解： ； （3）解： ． 8．(24-25七上·湖南郴州·期中)李华是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．李华把记作，记作． (1)直接写出计算结果，______，______； (2)李华深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（为正整数，，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含的式子表示） (3)请利用第（2）小问中得出的推导公式计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算．掌握除方的定义，是解题的关键． （1）根据除方的定义可得表示3个相除，表示4个3相除，再进行计算即可； （2）根据除方的定义可得：表示个相除，再列式进行计算即可； （3）结合（2）中结论：，转换为乘方再进行求解即可． 【详解】（1）解：解：； ； （2）解：； （3）解： ． 地 城 考点05 规律探究题 1．(24-25七上·湖南衡阳船山实验中学·期中)一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和，即；；；；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可得分裂中的第一个数是，据此解答即可求解，由题意找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：分裂中的第一个数是， 分裂中的第一个数是， 分裂中的第一个数是， ， ∴分裂中的第一个数是， ∴分裂中的第一个数是， ∴“分裂”出的奇数中，最大的奇数为， 故选：． 2．(23-24七上·湖南岳阳湘阴县城南区·期中)你想展示一下自己的探究能力吗？请你观察分析下列各组的大小关系，并完成下列各题：，，，… (1)上面的数量关系可用含n的式子表示为______（n为正整数） (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字规律，注意合理利用已给出的有限种情况找出规律． （1）根据题中给出的规律即可得出答案； （2）根据（1）中的规律将其各项拆开，然后进行合并即可得出答案． 【详解】（1）解：由，，，可得：， 故答案为：； （2）解： ． 3．(24-25七上·湖南郴州第三中学·期中)请观察下列算式，找出规律并填空 ，，，，则： (1)第10个算式是 ． (2)第n个算式为 ． (3)根据以上规律解答下题：的值． 【答案】(1)， (2)，； (3) 【分析】本题考查数字类规律探究、有理数的四则混合运算，找到变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式的变化规律可求解； （2）根据前几个等式的变化与序号间的变化规律可得结论； （3）根据（2）中的变化规律进行裂项，进而加减运算即可． 【详解】（1）解：根据题意， 第1个等式是， 第2个算式是， 第3个算式是， 第4个算式是 ……， 依次类推， 第10个算式是， 故答案为：，； （2）解：由（1）中依次类推，第n个算式是， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴ ． 4．(24-25七上·湖南常德芷兰实验学校等多校·期中)观察下列各式：，，． (1)猜想：______； (2)用你发现的规律计算：； (3)拓展：计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索、有理数混合运算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）观察可知两个连续的正整数的乘积的负倒数等于较小正整数的负倒数加上较大正整数的倒数，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律裂项并计算求解即可； （3）先证明，再据此规律裂项并计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 以此类推可知，， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， 以此类推可知，， 原式 ． 5．(24-25七上·湖南湘潭雨湖区·期中)观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出 ． (2)直接写出下列各式的计算结果： ① ． ② ． (3)探究并计算：（列式计算） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了规律型-数字变化类，探寻规律，掌握数字变化中的恒等变形裂项相消法是解决问题的关键． （1）由已知等式中的规律，即可得出结果； （2）①②根据规律把一项变成两项，两个互为相反的数和为0，最后所求加数的和等于首项、尾项的和，即可求出结果； （3）每个分数提后，根据（2）的方法求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：； （2）解：① ． ② ． 故答案为：①；②； （3）解：原式= ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02有理数的运算 ☆5大高频烤点概览 考点01科学记数法 考点02有理数的混合运算 考点03有理数混合运算的实际应用 考点04新定义问题 考点05规律探究题 目目 考点01 科学记数法 1.(24-25七上·湖南衡阳华新实验中学期中国家能源局数据显示，截至2024年9月底，全国累计发电装 机容量约31.6亿千瓦，同比增14.1%.将31.6亿用科学记数法表示正确的是( ) A.3.16×109B.31.6×108 C.0.316×1010 D.3.16×108 2.(24-25七上·湖南永州冷水滩区第十六中学.期中)染色体是细胞核中遗传物质DNA的载体，由于易被碱 性染料染成深色而命名.据报道，1号染色体共有超过249000000个碱基对，将249000000用科学记数 法可表示为() A.2.49×106B.249×106 C.24.9×107 D.2.49×108 3.(24-25七上·湖南常德第四中学期中)据统计，今年国庆长假我市大小河街接待旅游人数约为1100000人， 那么1100000这个数据用科学记数法表示为() A.1.1×105B.1.15 C.1.1×106 D.1.1×107 4.(24-25七上·湖南永州道县期中我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约 为118000千米，用科学记数法表示为() A.1.18×105B.11.8×103 C.118×102 D.1.18×104 5.(24-25七上·湖南邵阳新邵县·期中)新能源汽车日益受到大众的喜爱，公安部所发布的统计数据显示截至 2024年9月底，全国新注册登记新能源汽车共2821万辆，其中数据“2821万”用科学记数法可表示为 2.821×10”,则n的值为() A.5 B.6 C.7 D.8 6.(24-25七湖南衡阳衡东县多校联合考试期中)中国北斗全球导航系统卫星位于距离地球36000km的地 球同步轨道上，将36000用科学记数法表示为() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3.6×103 B.0.36×104 C.3.6×104 D.36×103 7.(24-25七上·湖南岳阳湘阴县洞庭区联考·期中)第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙 江省杭州市举行，杭州奥体博览城将成为杭州2023年亚运会的主场馆，杭州奥体博览城核心区占地 154.37公顷，建筑总面积为2720000平方米，请将数据2720000用数学记数法表示为一 8.(24-25七上·湖南岳阳期中)科学家统计，目前地球上己经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数 字1500万用科学记数法表示为 9.(24-25七上·湖南武冈期中)武冈市云山景区2024年国庆期间接待游客的人数约89700人次，将89700 这个数字用科学记数法表示为 目目 考点02 有理数的混合运算 1.(24-25七上湖南张家界永定区·期中)根据如图所示的程序计算，若输入x的值为0，则输出y的值为() 输入x 平方2☐减去2D是，输出 否 A.-2 B.2 C.6 D.70 2.(24-25七上·湖南师大附中教育集团期中)2021年7月，第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次大 会会徽主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，如图，右下方的“卦”是用我国古代 的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，由0-7共8个基本数字组成.八 进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×82+5×8°=2021，则八进制数2024换算成十进制 数是() ICME-14 三三年三 A.1042 B.1044 C.2024 D.3748 3.(24-25七上·湖南长沙浏阳·期中进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法我们常用的十 进制是逢十进一，如4652可以写作4×103+6×102+5×101+2×10°，数要用10个数字组成：0、1、 2、3、4、5、6、7、8、9.在小型机中引入了八进制，只要八个数字：0、1、2、3、4、5、6、7，如八进 制中174可以写作1×82+7×82+4×8等于十进制的数124.将八进制中的数1234等于十进制中的数 应为() A.668 B.667 C.666 D.665 / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2425七上·湖南长沙长郡教育集团·期中)利用如图1的二维码可以进行身份识别.我校建立了一个身份 识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到 右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为(a×23+b×22+c×21+d,如 图2第一行数字从左到右依次为0,1,1,0，序号为(0×22+1×22+1×22+0=6，表示该生为6班 学生.则表示5班学生的识别图案是() 器 图2 A. B. C. D 5.(24-25七上湖南岳阳云溪区九校联考期中已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，|n=6,那么 -学+婴+n的值为 6.(24-25七上湖南长沙长沙县期中)在二进制数中，“1101”表示十进制数的 1×23+1×22+0×21+1×1=13;“11000”表示十进制数的 1×24+1×23+0×22+0×22+0×1=24;则二进制数中的“110111”表示十进制数的是 7.(23-24七上·湖南永州冷水滩区·期中)如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答 问题：当输入的x为-2时，最后输出的结果y是 输入xH +4 -(3 ÷(-0.5) 结果是否大于5 是输出y 否 8.(24-25七上·湖南郴州宜章县湘南红军学校期中)计算： ((品-号-)×(-12)： (2)-14+1-2÷7×[2-(-3)2] 9.(24-25七上·湖南永州宁远县实验中学.期中)计算， ()-4+15-8+24÷(-3)×青： (2)-12024-(（1-0.5)×青×[2-（-3)2]： 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)9.6÷（2.8×号+3.6)： ④-24×(-)÷(-2)2+(-2)÷(-等) 10.(24-25七上·湖南岳阳第十中学.期中计算： (1)-(+8)+(-27)-(+5): (2)-12024-(1-0.5)×青×|1-(-5)1. 11.(24-25七上湖南永州蓝山县期中)已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m=1,求 考-2cd+m的值. 12.(24-25七上湖南长沙-一中教育集团期中)计算：8×（叠-&）+23 小明在做作业时，发现题中有一个数字打印成了乱码&· ()如果乱码数字是，请计算8×（程-）+23： (2)如果计算结果等于6，求乱码数字&· 13.(24-25七上湖南祁阳浯溪第二中学期中)已知ab-2=-|a-2，求 品+a+10+T+·.·+a+2022b+202西的值. 14.(24-25七上湖南湘潭韶山学校期中)阅读材料：求1+2+22+.+22023+22024的值. 解：设S=1+2+22+…+22023+22024 将等式两边同时乘以2，得2S=2+22+23+…+22024+22025 将下式减去上式，得S=22025-1 即1+2+22+.+22023+22024=22025-1 请仿照此方法完成下列问题： (1)1+2+22+23+24+…+210= (2)计算：1+5+52+53+…+52023+52024. 目目 考点03 有理数混合运算的实际应用 1.(24-25七上·湖南湘西州溶江中学期中)“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打 结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录当天采摘果实的个数，在从右向左 依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.181 B.182 C.183 D.184 2.(24-25七上·湖南麻阳苗族自治县锦江中学期中科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1千米，气温 下降6℃.已知甲地现在的地面气温为21℃，则甲地上空10千米处的气温为 C 3.(24-25七上·湖南长沙一中教育集团·期中某地区海拔高度每增加100米，气温下降0.6·C,小明在该 地区的一座山的山脚处测得气温是24。C (1)小明从山脚爬到海拔增加了300米处，气温大约是 C; (2)小明从山脚到海拔增加x米处，气温T= 。C(用含x的代数式表示)： (3)当小明到山顶时测得气温为16.8°C,请问这座山从山脚到山顶有多高？ 4.(2425七上·湖南邵阳新邵县·期中)喜迎杭州亚运会期间，我校体育老师为了强化训练学生快速转身跑的 能力，张老师设计了折返跑训练，张老师在东西方向的操场上画了一条直线，并插上不同的折返旗帜，如 果约定向西为正，向东为负，练习一组折返跑的移动记录如下（单位：米）：+40，一30，+50， -25,+25,-30,+15. (1)学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)小梁同学在这一组练习过程中，每次转身平均用时0.5秒，跑的速度是4米/秒，求他完成这一组练习需 要多长时间？ 5.(2425七上·湖南永州冷水滩区第十六中学期中)为积极响应保护环境的号召，某运输公司购置了一批新 能源汽车，其中编号为A01的车辆连续7天行驶路程如下表（单位：km)(以20k为标准，多于20km 记为正，低于20km记为负) 天数 三 四 五 六 七 路程 +6 +12 -10 +7 -3 -2 0 (1)路程最多的一天行驶了 km, 行驶最多的一天比行驶最少的一天多行驶 km; (2)已知新能源汽车平均每千米耗电0.2度，每度电的价格为0.6元，求该新能源汽车这七天的充电费用. 6.(2425七上·湖南长沙明德教育集团·期中)出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街 上营运.规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米)依先后次序记录如下：一1，+9，一5， +4,-8,+6,-2,-6,-4,+10. 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ()司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油02升，油价为每升6元.求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（②）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的 部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入=乘客所 给的总车费一油费) 7.(24-25七上·湖南衡阳船山实验中学期中)七年级某班开展“我爱我校”志愿者校园废纸清理活动，全班分 成六个小组清理废纸，每组清理的纸重量均以5kg为标准，超过的记为+”，不足的记为一”，六个小组的 清理废纸情况如表所示，统计员小明不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得第三组清理废纸最少，且 清理废纸最多与最少的小组的重量差为5kg 组别 匹 六 超过（不足） (kg) +1 1.5 0.5 +2 (1)填空：第二小组看不清的数据应是 (2)若本次活动清理废纸重量排名前三的小组可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的小组清理纸的总重量 (3)若六个小组将本次活动清理的废纸集中卖出，30kg以内的1.15元/千克，超出30kg的部分1,2元/千克， 求清理的废纸卖出的总收入， 8.(24-25七上湖南衡阳华新实验中学期中)某人去水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果，这 两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同. 甲家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的90%优惠；批发数量超过1000千克，超过部分按零售 价的80%优惠 乙家的规定如下表： 数量范围（千克） 0-500部分 500以上1500部分 1500以上部分 价格（元） 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75% (1)若这个人批发600千克苹果，则他在甲家批发需要 元，在乙家批发需要 兀； (2)若这个人批发x千克苹果(x>1500),求他在甲、乙两家批发各需要的总费用： (用含x的代数式表示) (3)若这个人要批发3000千克苹果，请你帮他选择在哪家批发更优惠？并说明理由， 温馨提示：批发价格分段计算.如：某人批发苹果2000千克，则甲家总费用为： 6×90%×1000+6×80%×(2000-1000)=…;乙家总费用为： 6×95%×500+6×85%×(1500-500+6×75%×(2000-1500=·. 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 新定义问题 1.(24-25七上湖南麻阳苗族自治县锦江中学期中)现定义新运算“※”，对任意有理数a,b,规定 a※b=ab-ab,则-1※2024= 2.(24-25七上·湖南郴州宜章县湘南红军学校期中)已知x,y为有理数，现规定一种新运算“※”，满足 X※y=3x-y2,如：13=3×1-32=-6，则-3※2= 3.(24-25七上湖南衡阳实验中学期中)定义一种新运算“口”，规则为m☆n=m十mn,例如： 2☆3=23+2×3=8+6=14，解答下列问题： (1)(-2)☆1： (2)(-1)☆[(-3)☆2]. 4.(24-25七湖南衡阳衡东县多校联合考试期中)，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”， a⊕b=a2一ab+1,请根据新定义的运算计算： (1)3⊕2： (2(-1⊕1)⊕(-2. 5.(24-25七上·湖南岳阳湘阴县岭北五校联考·期中)若a,b为有理数，我们定义新运算“※”使得a※ b=a2-ab,如(-2)3=(-2)2-（-2)×3=10. (1)求3※(-4)的值： (2)求(-2)※(5※4)的值. 6.(24-25七上·湖南衡阳衡阳四校期中)对于有理数a、b定义一种新运算“△”：a△b=4ab,如： 2△3=4×2×3=24. (1)求3△4的值； (2)若2△(3x)=24,求x的值， 7.(24-25七上湖南师大附中教育集团期中)规定符号“*”的意义：当a≥b时，a*b=a2一b;当a<b时， a*b=b2+a,比如3*1=32-1=8,2*3=32+2=11：求下列各式的值： (1)(-2*3: (2(-4)*(-3)+2*(-1): (3)-号×[(-3)*4]+[(-4)*(-5] 8.(24-25七上湖南郴州期中)李华是一个聪明而又富有想象力的孩子.学习了“有理数的乘方”后，他就琢 磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念.于是规定：若干个相同有理数（均不 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 能为0)的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，(-2)÷(-2)÷（一2）÷(-2)等，类比有理数的乘 方.李华把5÷5÷5记作f(3,5),(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)记作f(4,-2). (1)直接写出计算结果，f(3,)=,f(4,3)=； (②)李华深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的 运算公式f(n,a)（n为正整数，a≠0，n≥2)，要求写出推导过程将结果写成幂的形式：（结果用含 a,n的式子表示) (3)请利用第(2)小问中得出的推导公式计算：f(5,青)×f(4,3)×f(5-2)×f(6,专). 目目 考点05 规律探究题 1.(24-25七上·湖南衡阳船山实验中学·期中一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和.例如： 23,33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5： 33=7+9+11;43=13+15+17+19;;若413也按照此规律来进行“分裂”，则413“分裂”出的奇 数中，最大的奇数是() 13 Λ5 23 33 A.1719 B.1721 C.1723 D.1725 2.(23-24七上·湖南岳阳湘阴县城南区·期中)你想展示一下自己的探究能力吗？请你观察分析下列各组的大 小关系，并完成下列各题：=1-支，=支-青，=青-青，… ()上面的数量关系可用含n的式子表示为计=一 (n为正整数) (2)计算：之十安7十0十…+2012017 3.(24-25七上·湖南郴州第三中学期中)请观察下列算式，找出规律并填空 =1-,=支-有，嘉=青-寺，这=寺-青，则： (1)第10个算式是-=二 (2)第n个算式为-=_ / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)根据以上规律解答下题：十文十嘉十…十2012020的值. 4.(24-25七上湖南常德芷兰实验学校等多校期中)观察下列各式：-1×支=-1+专， -号×青=-方+青，-专×是=-青十. (①猜想：一吉×= (2)用你发现的规律计算：（-1×支)+（-支×吉)+(-青×)+…+（-0×0)： (3)拓展：计算：1×青+青×青+言×号+.十02×202· 5.(24-25七上湖南湘潭雨湖区·期中)观察下列等式2=1-克，之=方-青，之这=青-京，将以上三 个等式两边分别相加得：十安十高=1-专+寺-青+青-京=1-是=景. 1 (1)猜想并写出+南=- (2)直接写出下列各式的计算结果： ①2十扇++…十2024w2025=- ②十十嘉+…++=- (3)探究并计算：十安十十……十0242026（列式计算) /