专题03 不等式的性质与一元二次不等式、分式不等式9考点（期中真题汇编，天津专用）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

专题03 不等式的性质与一元二次不等式、分式不等式 9大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 由不等式的性质比较大小 考点03 利用不等式的性质求值或求取值范围 考点04 解分式不等式 考点05 解不含参数的一元二次不等式 考点06 由一元二次不等式的解确定参数 考点07 解含有参数的一元二次不等式 考点08 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 考点09 一元二次不等式在某区间上的恒成立（有解）问题 地 城 考点01 不等式的性质 1．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于实数下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)若、、，，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如果，则正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 4．(24-25高一上·天津五区县重点校联考·期中)已知下列四个关系：①； ②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(24-25高一上·天津滨海育华中学、实验滨海联考·期中)下列条件中，使成立的必要而不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·天津第二南开学校·期中)已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·天津第一中学·期中)下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 地 城 考点02 由不等式的性质比较大小 1．(24-25高一上·天津静海区三校联考·期中)设为实数，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·天津静海区北师大静海实验学校·期中)下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．(24-25高一上·天津南开中学·期中)若，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)下列四个选项中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)若，，则与的大小关系为 . 6．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)已知，. (1)求函数的解析式； (2)设、，求证：； (3)若在区间上恒成立，求实数的取值范围． 地 城 考点03 利用不等式的性质求值或求取值范围 1．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)已知,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一上·天津河西区·期中)若实数，满足，则的取值范围是 ． 地 城 考点04 解分式不等式 1．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)设，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一上·天津第一中学·期中)不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)不等式 的解集为 ． 5．(24-25高一上·天津滨海育华中学、实验滨海联考·期中)不等式的解集为 6．(24-25高一上·天津南仓中学·期中)（1）解不等式：； （2）解不等式：； （3）求函数的定义域． 地 城 考点05 解不含参数的一元二次不等式 1．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)若，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)不等式 的解集为 . 3．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)已知，则关于的一元二次不等式的解集是 ． 4．(24-25高一上·天津朱唐庄中学·期中)已知函数为偶函数，则不等式的解集为 . 5．(24-25高一上·天津滨海育华中学、实验滨海联考·期中)函数 的定义域为 6．(22-23高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)设函数 (1)若不等式 的解集为 求 的值； (2)若 求不等式 的解集； 7．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)解下列不等式： (1) (2) (3) 8．(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)设函数 (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 地 城 考点06 由一元二次不等式的解确定参数 1．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 3．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)不等式的解集为，则（    ） A． B．1 C． D．3 5．(24-25高一上·天津第一中学·期中)已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是 ． 6．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围 7．(24-25高一上·天津河西区·期中)已知关于的不等式的解集为，则 ． 8．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)设函数，. (1)若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； (2)若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 地 城 考点07 解含有参数的一元二次不等式 1．(24-25高一上·天津南开中学·期中)解关于的不等式：. 2．(24-25高一上·天津第二耀华中学·期中)求下列一元二次不等式等式的解集： (1)； (2)，其中是常数； (3). 3．(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)（1）函数若的解集是或，求实数a，b的值； （2）解关于的不等式 4．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)已知不等式的解集为或 （1）求的值； （2）解关于x的不等式． 5．(24-25高一上·天津静海区三校联考·期中)已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）. （1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式f（x）＞0. 6．(24-25高一上·天津五区县重点校联考·期中)已知函数. (1)若的单调递减区间是，求a的值. (2)若关于x的不等式的解集为，求不等式的解集； (3)若，求关于x的不等式的解集. 地 城 考点08 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 1．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)已知关于x的不等式 对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 3．(24-25高一上·天津静海区三校联考·期中)已知不等式对恒成立，求实数a的取值范围 4．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 5．(24-25高一上·天津第二十一中学·期中)已知函数. (1)当时，求的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式. 6．(24-25高一上·天津河西区·期中)已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (3)对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 7．(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)已知函数 (1)时，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若对恒成立，求实数a的取值范围. 地 城 考点09 一元二次不等式在某区间上的恒成立（有解）问题 1．(24-25高一上·天津第一中学·期中)命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)已知函数，若，则该函数的零点为 ；若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式的性质与一元二次不等式、分式不等式 9大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 由不等式的性质比较大小 考点03 利用不等式的性质求值或求取值范围 考点04 解分式不等式 考点05 解不含参数的一元二次不等式 考点06 由一元二次不等式的解确定参数 考点07 解含有参数的一元二次不等式 考点08 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 考点09 一元二次不等式在某区间上的恒成立（有解）问题 地 城 考点01 不等式的性质 1．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于实数下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，或是代入特殊值，即可判断选项. 【详解】A：若，此时，与题意不相符，故A错误； B：若，则，与题意不相符，故B错误； C:若，则，但是，与题意不相符，故C错误； D:若，两边平方，则，与题意相符，故D正确. 故选：D 2．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)若、、，，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 3．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如果，则正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用赋值法可判断ABD，利用不等式性质可判断C. 【详解】对于A，若，此时，故A错误； 对于B，若，，，此时，故B错误； 对于C，因为，则，又，所以，故C正确； 对于D，若，，可得，故D错误. 故选：C. 4．(24-25高一上·天津五区县重点校联考·期中)已知下列四个关系：①； ②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①②③利用不等式的性质分别求解即可;④构造幂函数，然后利用函数单调性求解即可. 【详解】①当时，，故错误； ②当时，可知，故错误； ③当，得，因为，所以，故正确； ④构造幂函数，所以在单调递减，又因为，所以，即，故正确； 故选：B 5．(24-25高一上·天津滨海育华中学、实验滨海联考·期中)下列条件中，使成立的必要而不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据不等式的性质和必要不充分条件的定义判断． 【详解】是假命题，不是必要而不充分条件； 是正确的，但不能得出，是必要而不充分条件； 与之间不能相互推出，不是必要而不充分条件，也不充分； ，是充要条件． 故选：B． 6．(23-24高一上·天津第二南开学校·期中)已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC可以通过举出反例，D选项可以通过不等式的基本性质进行求解. 【详解】当时，，而，，而无意义，故ABC错误； 因为，所以，D正确. 故选：D 7．(24-25高一上·天津第一中学·期中)下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于A，举一个反例即可；对于B，先由得，再由得；对于C，举一个反例即可；对于D，作差，根据差值的正负即可判断. 【详解】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，，则不一定成立， 如当，时，，此时，故C错误； 对于D， ， 因为，，所以， 所以，故，故D正确. 故选：D. 地 城 考点02 由不等式的性质比较大小 1．(24-25高一上·天津静海区三校联考·期中)设为实数，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合不等式的基本性质和作差比较法，以及举反例，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，可得， 对于A中，取，则，故A错误； 对于B中，由，所以，故B正确； 对于C中，因为，所以， 由，所以，故C正确； 对于D中，因为，则，故D正确. 故选：A. 2．(23-24高一上·天津静海区北师大静海实验学校·期中)下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断A、C，利用特殊值判断B、D. 【详解】解：对于A：因为，当时，当时，故A错误； 对于B：因为，则，无法得到，如，，显然满足，但是，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，则，无法得到， 如，，，，满足，但是，，故D错误； 故选：C 3．(24-25高一上·天津南开中学·期中)若，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质计算即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于CD，因为，所以，故C正确，D错误. 故选：C. 4．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)下列四个选项中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】解：对A：因为，所以； 对B：因为，所以； 对C：因为，所以； 对D：因为，所以． 故选：A. 5．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)若，，则与的大小关系为 . 【答案】 【分析】利用差比法进行判断即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 6．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)已知，. (1)求函数的解析式； (2)设、，求证：； (3)若在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，可得出，代入题干等式，可得出的表达式，即可得解； （2）利用作差法可证得结论成立； （3）解不等式，根据题意可得出区间的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解出实数的取值范围. 【详解】（1）令，则，且， 所以， 所以. （2）对任意的、， ， 故. （3）由，可得，解得， 因为在区间上恒成立，则， 所以，，解得. 因此实数的取值范围是. 地 城 考点03 利用不等式的性质求值或求取值范围 1．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)已知,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等关系的运算法则可判断充分性，根据特值法可判断必要性. 【详解】根据不等关系的运算法则,知当时,，所以充分性成立； 当时,,但不满足，所以必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．(24-25高一上·天津河西区·期中)若实数，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质来求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，所以， 所以. 故答案为： 地 城 考点04 解分式不等式 1．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)设，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 当时，不一定成立，即充分性不成立； 当时，成立，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．(24-25高一上·天津第一中学·期中)不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分式不等式的解法，结合解一元二次不等式求解集即可. 【详解】由题设，可得，故解集为. 故选：D 4．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式化为，求解集. 【详解】由，则，解集为. 故答案为： 5．(24-25高一上·天津滨海育华中学、实验滨海联考·期中)不等式的解集为 【答案】或. 【分析】转化为一元二次不等式，进行求解. 【详解】等价于，解得或. 故答案为：或. 6．(24-25高一上·天津南仓中学·期中)（1）解不等式：； （2）解不等式：； （3）求函数的定义域． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解即可； （2）将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可； （3）使得式子有意义，确定具体函数的定义域即可. 【详解】（1）因为，即， 方程的解为：或， 所以不等式：的解集为. （2）因为，所以， 即，即， 所以， 所以不等式：的解集为. （3）因为函数， 所以，解得， 所以函数的定义域为：. 地 城 考点05 解不含参数的一元二次不等式 1．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)若，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求解，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由，可得或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 2．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)不等式 的解集为 . 【答案】R 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】由题意知，方程中，， 所以该方程无解，则不等式的解集为R. 故答案为：R 3．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)已知，则关于的一元二次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】对于不等式，， 故不等式的解集为. 故答案为：. 4．(24-25高一上·天津朱唐庄中学·期中)已知函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数为偶函数求出，再解不等式即可. 【详解】由函数（）为偶函数， 则，即， 解得， 此时， 因为， 所以函数是偶函数，符合题意， 由即，即， 解得且， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5．(24-25高一上·天津滨海育华中学、实验滨海联考·期中)函数 的定义域为 【答案】 【分析】由二次根式的被开数非负和分式的分母不为零可求得结果. 【详解】由题意可得，得，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 6．(22-23高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)设函数 (1)若不等式 的解集为 求 的值； (2)若 求不等式 的解集； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解集与对应的方程的根的关系，利用韦达定理列方程求解即可； （2）整理不等式可得，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由题意，不等式的解集为， 则和3是方程的两个根， 得，解得， 所以. （2）若，则，即， 因为，所以， ①当时，不等式的解集为， ②当时，，不等式的解集为， ③当时，解集为， ④当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 7．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)解下列不等式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解（1）（2）；根据分式不等式的解法即可求解（3）. 【详解】（1）， 又，所以， 即不等式的解集为； （2）方程中，，该方程无解， 所以不等式的解集为； （3）， 解得或，即原不等式的解集为. 8．(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)设函数 (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别令分段函数的两个表达式使得，结合分段函数范围求解； （2）写出，然后结合分段函数的两个表达式，分别解不等式，两段解集求并集即可. 【详解】（1）当，，即，解得（不符题意舍去）； 当，，解得. 故当时，或 （2）由于，则； 当，，即，整理得，结合，解得； 当，，即，解得. 于是的解集为 地 城 考点06 由一元二次不等式的解确定参数 1．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 2．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据不等式的解集求得与a的关系，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】一元二次不等式的解集为， 即为的两实数根， 故，即， 则，当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为4. 故选：D 3．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与其对应的方程之间的联系可得，结合一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】设是方程的两个根， 由题意知，，解得， 所以不等式可变为， 即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A 4．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)不等式的解集为，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得的值. 【详解】由于一元二次不等式的解集为，所以，解得，所以. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据一元二次不等式的解集求参数，属于基础题. 5．(24-25高一上·天津第一中学·期中)已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的解集可得，利用基本不等式可得的最小值为3，故，从而可得的取值范围. 【详解】因为不等式的解集为或，则， 且关于x的方程的两根分别为1、3， 由韦达定理可得，可得，由，可得， ，故， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为3， 因为恒成立，则，即，解得． 因此，实数k的取值范围是． 故答案为： 6．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围 【答案】 【分析】由题可得不等式的解集为或，由不等式有3个整数解可得答案. 【详解】. 若，则不合题意； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为2，3，4，则； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为0，1，2，则. 故答案为： 7．(24-25高一上·天津河西区·期中)已知关于的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得方程的两根为，再由韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，且方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. 故答案为： 8．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)设函数，. (1)若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； (2)若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）法1：问题化为当，只需，讨论对称轴与已知区间的位置关系，结合二次函数性质求对应最小值，即可得参数范围；法2：问题化为在上恒成立，应用对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围； （2）①根据一元二次不等式解集求参数值即可；②由，讨论已知区间与对称轴位置关系求最值. 【详解】（1）法1：由题知，任意有，即当，只需， 由的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 此时，即； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，与前提矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减， 此时，即，与前提矛盾，舍去. 综上所述：a的取值范围. 法2：由题，得对任意都成立，即， 令，则， 令，则在上单调递增， 则在上单调递减，故，即， 所以a的取值范围. （2）①，即的解集为， 则有，解得， ②由于 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，在单调递减，所以； 综上所述，所以 地 城 考点07 解含有参数的一元二次不等式 1．(24-25高一上·天津南开中学·期中)解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可化为，然后对的取值范围进行分类讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】解：原不等式可变形为， 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的解为，， （1）当时，解不等式，得； （2）当时，即当时，解不等式，得或； （3）当时，即当时，原不等式即为，即， 而不等式对任意的实数恒成立； （4）当时，即当时，解不等式，得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 2．(24-25高一上·天津第二耀华中学·期中)求下列一元二次不等式等式的解集： (1)； (2)，其中是常数； (3). 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】根据一元二次不等式，利用十字相乘法，结合不等式与方程、函数之间关系，可得答案. 【详解】（1） 因为不等式等价于， 所以解得，所以不等式的解集为． （2）， 解得，所以不等式的解集为． （3）由题意可得，令，解得或， 所以不等式的解集为． 3．(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)（1）函数若的解集是或，求实数a，b的值； （2）解关于的不等式 【答案】（1）；（2）答案见解析； 【分析】（1）由不等式解集与方程根的关系计算可得结果； （2）对参数的取值进行分类讨论，再由一元二次不等式解法求得结果. 【详解】（1）根据题意可知方程的两根为1和2； 因此可得，解得； （2）不等式可分解为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 4．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)已知不等式的解集为或 （1）求的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1），；（2）分类讨论，答案见解析． 【分析】（1）由题知，是方程的根，利用韦达定理即可求出的值. （2）由（1）知不等式为，讨论和的大小，写出对应的解集即可. 【详解】（1）不等式的解集为或， 由不等式与方程关系可知，和是方程的两个根， 由韦达定理可得，，解得. （2）将代入不等式可得，即， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为或． 综上所述， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 【点睛】（1）考查一元二次不等式的解法，主要考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系的不等式的解法； （2）考查含参不等式的解法，分类讨论为解题的关键，属于中档题. 5．(24-25高一上·天津静海区三校联考·期中)已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）. （1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式f（x）＞0. 【答案】（1）-1,6；（2）答案见详解 【分析】（1）由f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}结合韦达定理即可求解参数a，b的值； （2）原式可因式分解为，再分类讨论即可，对再细分为即可求解. 【详解】（1）由f（x）≥b得，因为f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，故满足，，解得； （2）原式因式分解可得， 当时，，解得； 当时，的解集为； 当时，， ①若，即，则的解集为； ②若，即时，解得； ③若，即时，解得. 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题. 6．(24-25高一上·天津五区县重点校联考·期中)已知函数. (1)若的单调递减区间是，求a的值. (2)若关于x的不等式的解集为，求不等式的解集； (3)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)1； (2)； (3)答案见详解. 【分析】（1）分，讨论，根据二次函数单调性可得； （2）利用韦达定理求出，然后可解； （3）根据二次系数是否为0、二次函数的开口方向、以及两根的大小关系分类求解即可. 【详解】（1）当时，的单调递减区间为R，不满足题意； 当时，由的单调递减区间是可得，解得. 综上，a的值为1. （2）若关于x的不等式的解集为， 则和3是方程的两根，且， 由韦达定理得，解得， 所以不等式， 解得或， 所以不等式的解集为. （3）若，则， 1）当时，由解得； 2）当时，方程的两根为， 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得或； 当时，，解不等式得或； 当时，由得. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 地 城 考点08 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 1．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的解集为空集，利用判别式求解即可. 【详解】∵不等式的解集为空集， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了利用不等式恒成立求解参数的问题.属于容易题. 2．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)已知关于x的不等式 对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 【答案】 【分析】根据给定条件，按分类讨论，并结合判别式求解出范围. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以k的取值范围是. 故答案为： 3．(24-25高一上·天津静海区三校联考·期中)已知不等式对恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 【分析】函数是开口向上的二次函数，只需要判别式小于等于0即可. 【详解】因为不等式对恒成立， 所以，所以. 故答案为： 4．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，原不等式显然恒成立，当，一元二次不等式对应的二次函数需要开口向上、与轴没有交点才满足题意，据此列出不等式求解即可. 【详解】当时，原不等式恒成立，满足题意； 当时，只需，解得; 综上所述：， 故答案为：. 5．(24-25高一上·天津第二十一中学·期中)已知函数. (1)当时，求的解集； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）把代入，再解一元二次不等式. （2）利用一元二次型不等式恒成立，求出的范围. （3）分类求解含参的不等式即得. 【详解】（1）当时，函数，由，得，解得， 所以的解集为. （2）对于任意，不等式恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）当时，不等式， 当时，解得；当时，解得或；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 6．(24-25高一上·天津河西区·期中)已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (3)对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）对进行分类讨论，利用二次函数的对称轴与区间的关系列不等式，由此求得的取值范围. （3）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案. 【详解】（1）当时，， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，在上单调递减，不符合题意. 当时，要使在区间上不单调， 其对称轴要满足， 即，解得， 综上所述，的取值范围是. （3）不等式恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立. 当时，要使恒成立， 则需，解得， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：利用二次函数的性质进行讨论：首先通过分析二次函数的对称轴和开口方向，对不同区间进行分类讨论，这是确定单调性和不等式成立的基础. 结合判别式判断恒成立条件：在小问3中，利用判别式判断二次不等式的恒成立条件，是确保不等式在给定区间内成立的重要方法. 7．(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)已知函数 (1)时，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若对恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) 【分析】（1）根据二次函数单调性计算可得其最值； （2）由不等式恒成立对参数进行分类讨论，再由二次函数性质即可求得结果. 【详解】（1）当时，， 因此在区间上可得在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以最大值为，最小值为. （2）若对恒成立，即恒成立， 当时，可得恒成立，符合题意； 当时，函数图象开口向下，不合题意； 当时，函数图象开口向上，且须满足，解得； 综上可得实数a的取值范围为. 地 城 考点09 一元二次不等式在某区间上的恒成立（有解）问题 1．(24-25高一上·天津第一中学·期中)命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由存在量词命题为真求得的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项. 【详解】由，可得在上能成立， 因，故得. 由题意知，是选项的范围的真子集即可. 故选：D. 2．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)已知函数，若，则该函数的零点为 ；若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 ； . 【分析】令，由求根公式即可求解；不等式，即，分离变量得对于恒成立.令，，求其最小值即可. 【详解】当时，， 令,可得， 故若, 则该函数的零点为. 不等式，即， ∵， ∴对于恒成立， 只需求的最小值， ，, 在上为增函数，则在上为减函数， ∴当时，取得最小值， ∴. ∴实数的取值范围是. 故答案为:;. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $