专题02 绝对值常考的四大题型（高效培优专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题02 绝对值常考的四大题型 题型一：绝对值的几何意义 题型二：求一个数的绝对值 题型三：绝对值的非负性 题型四：绝对值的其它应用 题型一：绝对值的几何意义 1．在数轴上表示的点到原点的距离是（   ） A． B． C． D．不确定 2．若，则x的值是（    ） A．3 B．1 C．1或 D．3或1 3．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 4．绝对值不大于4的整数的个数是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 5．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ）    A． B． C． D． 6．在数轴上与的距离等于4的点表示的数为（   ） A． B．2或 C．或 D． 7．已知，且．若如图所示的数轴上的四个点中有一个点能表示数，则这个点是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则等于 ． 9．，，，为互不相等的有理数，且，，则 ． 10．已知为有理数，记，当的值变化时，的值随之变化，若的值最小，则 ． 11．如果一个数的绝对值为3，那么这个数为 ． 12．（1）数轴上表示3的点与原点的距离是_________，所以3的绝对值是_________，即_________； （2）数轴上表示的点与原点的距离是_________，所以的绝对值是_________，即_________； （3）数轴上表示0的点与原点的距离是_________，所以0的绝对值是_________，即_________． 13．如图，数轴上每一小段的长度为1，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d， (1)若a与d互为相反数，则 ； (2)若，则c 0（填“大于”或“小于”）；a、b、c、d中，可能互为相反数的是 ． 14．阅读理解：，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离； ，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3； 类似的，它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离． 归纳：它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示_____的点与_____的点之间的距离为1，所以a的值为__________． 15．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 16．数轴上表示有理数，，的点如图所示． (1)填空：____，____； (2)在图中的数轴上表示，，； (3)将，，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． 17．已知a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示． (1)试确定a，b的值； (2)A，B两点之间的距离为 ___ 个单位长度； (3)若点C与点B表示的两个数互为相反数，则点C表示的数是 ___ ； (4)点P从点A出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……，依次操作2025次后，求点P表示的数． 18．定义：对于一个数，我们把称作的相伴数；如果，那么就有：如果，那么．例：． (1)则_________，_________． (2)若，且，求的值． (3)若，当，试求代数式的值． 题型二：求一个数的绝对值 19．的绝对值等于（    ） A．2 B． C．2或 D． 20．的绝对值为（    ） A．2 B． C． D． 21．的相反数是（   ） A． B． C． D．2 22．的绝对值是（ ） A． B． C． D．2 23．在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，数轴上点A所表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．1 D．2 25．如图，数轴上点到原点的距离是（   ） A．3 B．－2 C．2 D．1 26．在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 27．若，则 . 28．若m与互为相反数．则m的值为 ． 29．绝对值大于且不大于3的整数有 30．已知a与互为相反数，则的值是 31．把下列各数填入相应的集合里：4，，0，，，，，． (1)正整数集：{_________...}； (2)分数集：{_________...}； (3)负有理数集：{_________...}． 32．求下列各数的绝对值： (1)； (2)0.15； (3)； (4)； (5)； (6)． 33．已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 34．已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c三数的和是多少？ 35．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 题型三：绝对值的非负性 36．，则（　　） A．3 B． C． D．2 37．若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 38．如果是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（   ） A． B． C． D． 39．如果是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 40．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．当 时，式子有最小值为 ． 42．若，则 ， ． 43．选择“”“”“”或“”填空；是任意有理数，（1） 0；（2） 0；（3） 0；（4） 0． 44．（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 45．已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 46．如果，那么 ． 47．若有理数，满足，则 ． 48．已知，求式子的值． 49．根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 50．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 51．已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 题型四：绝对值的其它应用 52．下面说法正确的有（    ） （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若，则； （4）若，则． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 53．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 54． 检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（    ） A． B． C． D． 55．若是实数，则的最小值为 ． 56．对于任意有理数x，y，都有，利用这一结论，求的最小值为 ． 57．水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 58．检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是 号． 零件编号 1 2 3 4 长度/mm 59．党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 60．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 61．如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 62．2024年9月9日受台风“摩羯”的影响，云南红河州进入Ⅱ级应急响应状态，某消防队参与救援抢险，消防员战士将消防车加满油，沿南北方向的道路抢修各种故障，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶路程记录如下：（单位：千米） (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若消防车每千米耗油升，油箱容量为150升，求当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 63．已知点是同一数轴上的不同四点，且点为线段的中点，点为线段的中点．如图，设数轴上点表示的数为，点表示的数为． (1)若数轴上点表示的数分别是，直接写出此时线段的长是_____________． (2)若四点从左到右依次在数轴上，，请结合数轴，求点表示的数． (3)若点均在点的右侧，且始终满足，求点在数轴上所表示的数． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 绝对值常考的四大题型 题型一：绝对值的几何意义 题型二：求一个数的绝对值 题型三：绝对值的非负性 题型四：绝对值的其它应用 题型一：绝对值的几何意义 1．在数轴上表示的点到原点的距离是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据绝对值的意义即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：在数轴上表示的点到原点的距离是， 故选：． 2．若，则x的值是（    ） A．3 B．1 C．1或 D．3或1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值方程的求解，解题的关键是根据绝对值的定义，绝对值符号内的值为正或为负时绝对值的结果相同，分情况讨论求解的值． 根据绝对值的定义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，所以时，或．对于，分和两种情况求解． 【详解】解：已知，根据绝对值的定义分情况讨论： 当时，方程两边同时加2，可得， 当时，方程两边同时加2，可得， 所以的值是3或1， 故选：D． 3．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 先观察数轴，然后根据绝对值的几何意义进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，，， ， 故选：C． 4．绝对值不大于4的整数的个数是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：绝对值不大于4的整数为共9个， 故选：A． 5．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的大小以及绝对值的定义，利用数轴得到与大小关系是解题的关键． 由数轴可知，；结合选项逐一分析即可． 【详解】解：由数轴可知， A、因为，所以，故A错误； B、因为，所以，故B错误； C、因为，所以，故C错误； D、由数轴可得表示的点比表示的点距离原点更远，所以，故D正确． 故选：D． 6．在数轴上与的距离等于4的点表示的数为（   ） A． B．2或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离计算，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式，通过列方程求解符合条件的数． 设数轴上与的距离等于4的点表示的数为；根据数轴上两点间距离公式列出绝对值方程；解绝对值方程得到x的值，进而确定答案． 【详解】设数轴上与的距离等于4的点表示的数为x． 根据数轴上两点间的距离公式，可得，即． 解这个绝对值方程： 当时，解得； 当时，解得． 因此，数轴上与的距离等于4的点表示的数为或． 故选：C． 7．已知，且．若如图所示的数轴上的四个点中有一个点能表示数，则这个点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与数轴上点的对应关系及绝对值相关知识，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键． 【详解】解： 又 由数轴可知小于的点只有M； 故答案为：A ． 8．已知，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义求解即可，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．，，，为互不相等的有理数，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是绝对值的几何意义，解题关键是分类讨论． 根据已知条件确定，，，之间的关系，然后利用分情况讨论得出的值． 【详解】解：、、、为互不相等的四个有理数， 且，， ，或，， 当，，时， 或， 又，，，互不相等，， ，则； 当，，时，或， 又， ，则， 综上，． 故答案为：． 10．已知为有理数，记，当的值变化时，的值随之变化，若的值最小，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义可得到表示数轴上表示数x的点，到表示数的距离之和，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：表示数轴上表示数x的点，到表示数的距离之和， 要使这个距离之和S最小，只有当时，的值最小． 故答案为：． 11．如果一个数的绝对值为3，那么这个数为 ． 【答案】3或 【分析】根据绝对值的定义，思考绝对值为的数有哪些，利用绝对值的性质来求解．本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握“绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是”是解题的关键． 【详解】解：3或的绝对值为3， 故答案为：3或． 12．（1）数轴上表示3的点与原点的距离是_________，所以3的绝对值是_________，即_________； （2）数轴上表示的点与原点的距离是_________，所以的绝对值是_________，即_________； （3）数轴上表示0的点与原点的距离是_________，所以0的绝对值是_________，即_________． 【答案】（1）3，3，3，（2），，，（3）0，0，0 【分析】本题考查的是数轴上的点与原点的距离，绝对值的含义； （1）根据数轴上两点之间的距离以及绝对值的含义解答即可； （2）根据数轴上两点之间的距离以及绝对值的含义解答即可； （3）根据数轴上两点之间的距离以及绝对值的含义解答即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3的点与原点的距离是，所以3的绝对值是，即； （2）数轴上表示的点与原点的距离是，所以的绝对值是，即； （3）数轴上表示0的点与原点的距离是，所以0的绝对值是，即． 13．如图，数轴上每一小段的长度为1，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d， (1)若a与d互为相反数，则 ； (2)若，则c 0（填“大于”或“小于”）；a、b、c、d中，可能互为相反数的是 ． 【答案】(1) (2)小于；c与d 【分析】本题考查了数轴，相反数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识并数形结合． （1）根据相反数的定义以及观察数轴即可求解； （2）根据绝对值、相反数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：a与d互为相反数，由题意可得：， ∴a在数轴上表示，d在数轴上表示4， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴c小于0， ∴a、b、c、d中，可能互为相反数的是c与d， 故答案为：小于；c与d． 14．阅读理解：，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离； ，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3； 类似的，它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离． 归纳：它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示_____的点与_____的点之间的距离为1，所以a的值为__________． 【答案】阅读理解：、、画图见详解；归纳：、；应用：、、或 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，一个数的绝对值就是这个数对应的点到原点的距离．根据题目的阅读理解，直接得出结果． 【详解】阅读理解：类似的，它在数轴上的意义表示的点与表示的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离： 归纳：它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离为1， ， 或， a的值为或． 15．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)有最小值，最小值为 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握数形结合的解题思想． （1）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离； （3）根据绝对值的几何意义，当时，取最小值，求与之间的距离即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：，． （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据绝对值的几何意义可知，表示：数轴上表示的点到表示与的点的距离之和， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：有最小值，最小值为． 16．数轴上表示有理数，，的点如图所示． (1)填空：____，____； (2)在图中的数轴上表示，，； (3)将，，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由数轴可得，，再由绝对值的意义即可得解； （2）由数轴可得，，，从而可得，，，再表示在数轴上即可； （3）根据数轴比较大小即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，； （2）解：由数轴可得：，，， ∴，，， ∴在图中的数轴上表示，，如图所示： （3）解：由数轴可得：． 17．已知a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示． (1)试确定a，b的值； (2)A，B两点之间的距离为 ___ 个单位长度； (3)若点C与点B表示的两个数互为相反数，则点C表示的数是 ___ ； (4)点P从点A出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……，依次操作2025次后，求点P表示的数． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)3 (3)2 (4)点P表示的数为 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点之间的距离，点的运动规律，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴得出，结合a和b的绝对值，即可解答； （2）根据两点间距离公式进行解答即可； （3）根据相反数定义即可解答； （4）先根据题目所给的移动方法，归纳出每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度，结合数轴上两点之间距离的表示方法，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； 由图可知， ∴，； （2）解：∵，， ∴； ∴两点相距3个单位长度； （3）解：∵点C与点B表示的两个数互为相反数， ∴点C表示的数是； （4）解：将向右平移记为正，向左平移记为负， ∴向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，可表示为：， 向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，可记为：， ∴每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度， ， ∴操作2024次后，P点表示的数为， ∴操作2025次后，P点表示的数为． 18．定义：对于一个数，我们把称作的相伴数；如果，那么就有：如果，那么．例：． (1)则_________，_________． (2)若，且，求的值． (3)若，当，试求代数式的值． 【答案】(1)，0 (2)0或 (3)代数式的值为 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是解题的关键． （1）依据题意，根据所给新定义进行列式计算可以得解； （2）依据题意，根据所给新定义进行分类讨论，求出，后代入计算可以得解； （3）依据题意，由，且，从而可分两种情形：①，②，，进而求出后即可判断得解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 或， 解得或， ，且 ， 解得， 当，时，； 当，时，， 或， （3）解：由题意，，且， 可分两种情形： ①当，时， ，， ， ； 原式； ②当，时；． ， ； 原式． 综上所述：代数式的值为． 题型二：求一个数的绝对值 19．的绝对值等于（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的概念，解题的关键是掌握绝对值的定义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）． 根据绝对值的定义，判断负数的绝对值． 【详解】解：根据绝对值的定义：负数的绝对值是它的相反数， 因为是负数，所以的绝对值是它的相反数，即． 故选：A． 20．的绝对值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．根据绝对值的意义解答即可求解， 【详解】解：的绝对值是2， 故选：A． 21．的相反数是（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，相反数，先根据绝对值求出，再求出相反数即可． 【详解】解：∵，2的相反数是， ∴的相反数是． 故选：B． 22．的绝对值是（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的绝对值是， 故选：A 23．在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查负数的判定，绝对值，相反数的化简．对各数进行化简，再判断是否为负数即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴负数有，，，共3个． 故选：C 24．如图，数轴上点A所表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．先根据数轴确定点A所表示的数，再求绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，点A所表示的数是， 的绝对值是1 数轴上点A所表示的数的绝对值是1, 故选：C． 25．如图，数轴上点到原点的距离是（   ） A．3 B．－2 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，由数轴可知，点表示的数是，根据绝对值的意义即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，点表示的数是， ∴点到原点的距离为：， 故选：C． 26．在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，数轴，掌握数轴表示数的方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及点A、点B所表示的数进行计算即可． 【详解】解：由于点A在原点左侧，点A对应整数a，a的最大值是， 又点B在原点右侧，点B对应整数b，而， ， 故选：B． 27．若，则 . 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值相等的数有两个即可解． 【详解】 或 故答案为：． 28．若m与互为相反数．则m的值为 ． 【答案】 【详解】本题考查了相反数，绝对值，关键是掌握相反数的定义，绝对值的意义．负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 解：， 与互为相反数， ． 故答案为：． 29．绝对值大于且不大于3的整数有 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的范围进行解答即可． 【详解】解：绝对值大于且不大于3的整数为． 故答案为：． 30．已知a与互为相反数，则的值是 【答案】3 【分析】本题考查了相反数和绝对值的综合运算，熟练掌握相反数和绝对值的定义是解题关键. 【详解】解：与互为相反数 故答案为： ． 31．把下列各数填入相应的集合里：4，，0，，，，，． (1)正整数集：{_________...}； (2)分数集：{_________...}； (3)负有理数集：{_________...}． 【答案】(1)4，，； (2)，； (3)，，，． 【分析】本题考查了正整数、分数、负有理数的定义，熟悉概念是解题的关键． （1）正整数，即大于0的整数，根据此定义分析即可． （2）分数，可以表示为两个整数之比的形式，包括有限小数和无限循环小数，根据此定义分析即可． （3）负有理数：小于0的有理数，有理数包括整数和分数，根据此定义分析即可． 【详解】（1）解：4是正整数， ，是正整数， ，是正整数， 故答案为：4，，． （2）解：，是负分数， 是有限小数，属于负分数． 故答案为：，． （3）解：，是负分数， 是负分数， 是负整数， 是负整数． 故答案为：，，，． 32．求下列各数的绝对值： (1)； (2)0.15； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)38； (2)0.15； (3)； (4)； (5)； (6)时，；时， ． 【分析】本题考查了绝对值的性质，准确把握“正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数”是解题的关键． （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：∵， ∴ （4）解：∵， ∴， ∴； （5）解：∵， ∴， ∴； （6）解：当时，；当时， 33．已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 【答案】(1)，； (2)的相反数为或． 【分析】本题考查了绝对值概念和绝对值非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据非负数的性质即可求出、的值； （）将与的值代入代数式进行计算，然后解出 的值，再求 的相反数即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以的相反数为或． 34．已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c三数的和是多少？ 【答案】0 【分析】本题考查有理数，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键，最小正整数是1，最大的负整数是，绝对值最小的有理数是0，然后求和计算即可． 【详解】解：∵最小正整数是1，最大的负整数是，绝对值最小的有理数是0， ∴ ， 故答案为：0． 35．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【答案】(1)①；②；③或 (2)， (3)或 【分析】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键 【详解】（1）解：①两点之间的距离为， 故答案为：； ②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为， 设与表示的点重合的点对应的数为， 则， ∴， 即表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ③设点所表示的数为，分以下两种情况： 当点在之间时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点所表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵， ∴式子表示到与到的距离之和， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴式子表示到与到的距离之和， 当时，， ∴只能在的左边或右边， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，的值是或， 故答案为：或． 题型三：绝对值的非负性 36．，则（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 37．若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的非负性逐项判断即可． 【详解】解：A．，因此的值是正数或0，该选项说法错误； B．，因此的值是负数或0，该选项说法错误； C．，因此的值是正数，该选项说法正确； D．，因此的值小于或等于1，该选项说法错误； 故选C． 38．如果是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，利用绝对值的非负性质即可完成解答． 【详解】解：A．若，则，因此不一定比0大．故本选项不合题意； B．若，则，因此不一定比0大．故本选项不合题意； C．当x为有理数时，，因此不一定比0大．故本选项不合题意； D．由可得，因此一定比0大．故本选项符合题意． 故选：D． 39．如果是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】要找到表达式的最小值，需分析绝对值的取值范围及其对表达式的影响。 【详解】解：因为当最小时，的值最小， 所以当时，的最小值是. 故选C. 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，解题的关键是理解任意一个数的绝对值都是非负数. 40．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的一般规律，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是”是解题的关键. 【详解】解：当时，，说法正确； 当时，，说法正确； 当时，可能是，也可能是，说法错误，说法正确； 当时，，既不是正数也不是负数，说法错误； ，一定是正数，说法正确； 综上，正确的有四个； 故选：D ． 41．当 时，式子有最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，理解非负性是解题的关键．由绝对值的非负性可得，从而可得当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，即， ∴的最小值为，此时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为． 故答案为：，． 42．若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据几个非负数的和为零，则每个非负数均为零，即可得出，，求解即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 43．选择“”“”“”或“”填空；是任意有理数，（1） 0；（2） 0；（3） 0；（4） 0． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，相反数的含义，根据，再进一步分析可得答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴． 故答案为：，，， 44．（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 3 4 30 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个绝对值的和为零，则它们全都为零，以及绝对值的计算. （1）根据绝对值的非负性质求a和b的值即可； （2）根据绝对值的非负性质先求出a，b，c的值再代入求解； （3）根据绝对值的非负性质得到x与y的值，代入求解. 【详解】解：（1） ； 故答案为：①3；②4； （2） 故答案为：30； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴. 故答案为： 5． 45．已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性；根据绝对值和偶次方的非负性求得x、y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 46．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据非负数的性质求出x、y的值是解题的关键，如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 47．若有理数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值．根据非负数的性质“两个非负数相加，和为，这两个非负数的值都为”列方程求出、的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 48．已知，求式子的值． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负性，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 先根据绝对值的非负性求出的值，然后把求得的的值代入计算即可． 【详解】解：，，，． ，，． ，，． ，，， ． 49．根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 50．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了绝对值非负性和解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴ 由（1）知， ， ∴与互为相反数 ∴． 51．已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 【答案】 （1）小， ，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键； （1）根据绝对值的非负性可以得到的取值范围以及最值； （2）根据绝对值的非负性可以得到的取值范围和最值，根据的取值范围可以得到的取值范围和最值； （3）根据的取值范围和最值确定的范围和最值然后就可以确定的取值范围和最值； （4）根据的取值范围和最值确定的取值范围和最值； （5）根据的取值范围和最值确定的取值范围和最值然后就可以确定的取值范围和最值. 【详解】解：（1）根据绝对值的非负性可知， 有最小值是，此时； （2） 则有最小值是，此时； （3）， ， ； 则有最大值是，此时； （4）， 则有最小值是，此时； （5） ； 则有最大值是，此时 故答案为：（1）小，，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， ． 题型四：绝对值的其它应用 52．下面说法正确的有（    ） （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若，则； （4）若，则． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】A 【分析】依次分析每个说法，根据相反数、绝对值的性质判断其正确性．本题主要考查相反数和绝对值的性质，熟练掌握“互为相反数的两数绝对值相等、正数和的绝对值等于本身、负数的绝对值等于其相反数”是解题的关键． 【详解】解：（1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，而绝对值是数在数轴上所对应点到原点的距离 互为相反数的两数的绝对值相等，（1）说法正确． （2）正数的绝对值是它本身，的绝对值是（也等于本身 ），负数的绝对值是它的相反数（不等于本身 ） 一个数的绝对值等于本身，这个数是正数或，即不是负数，（2）说法正确． （3）当时，；当时，（因为是负数，是正数，正数大于负数 ） 若，则，（3）说法正确． （4）当，时， ，但，， （4）说法错误． 故选：A ． 53．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，根据绝对值越小的数是最接近标准质量的，故先化简各个数值的绝对值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：C 54．检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义等知识．求出各数的绝对值，绝对值最小的即为最接近标准的，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴从轻重的角度来看，数据更接近标准的是为． 故选A． 55．若是实数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据，及三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出的最小值即可．此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，，，此时， ∵， ∴，即； 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∵， ∴，即， 综上，，即最小值为． 故答案为：． 56．对于任意有理数x，y，都有，利用这一结论，求的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的应用，正确掌握绝对值的意义是解题的关键，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 57．水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 58．检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是 号． 零件编号 1 2 3 4 长度/mm 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的意义，解决本题的关键求出各数的绝对值． 根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后选取绝对值最小的数即可． 【详解】解：各数的绝对值分别为，，，， 则绝对值最小的数是， 即最接近标准长度的是三号． 故答案为：． 59．党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【详解】解：，，，，，， ， 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 60．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【分析】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【详解】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 61．如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)记为的排球最接近标准质量． 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，掌握克数的绝对值越小就越接近标准是解题的关键． （1）根据题中各正负数所表示的实际意义即可解答； （2）先比较各数的绝对值，再根据克数的绝对值越小就越接近标准即可解答． 【详解】（1）解：表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示不足标准质量． （2）解：记为的排球最接近标准质量，理由如下： ∵， ∴记为的排球最接近标准质量． 62．2024年9月9日受台风“摩羯”的影响，云南红河州进入Ⅱ级应急响应状态，某消防队参与救援抢险，消防员战士将消防车加满油，沿南北方向的道路抢修各种故障，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶路程记录如下：（单位：千米） (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若消防车每千米耗油升，油箱容量为150升，求当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)地位于A地北边，距离A地3千米 (2)至少还需补充油量升 【分析】本题主要考查正负数的意义，有理数的混合运算，绝对值的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正负数的意义，有理数的加减法的运算即可求解； （2）根据行程计算当天的行程，再根据有理数的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴地位于地北边，距离地3千米； （2）解：根据题意得：（千米）， ∵每千米耗油升， ∴共耗油量为（升）， ∵油箱容量为150升，则（升）， 答：至少还需补充油量升． 63．已知点是同一数轴上的不同四点，且点为线段的中点，点为线段的中点．如图，设数轴上点表示的数为，点表示的数为． (1)若数轴上点表示的数分别是，直接写出此时线段的长是_____________． (2)若四点从左到右依次在数轴上，，请结合数轴，求点表示的数． (3)若点均在点的右侧，且始终满足，求点在数轴上所表示的数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数轴上点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上中点的计算，掌握数轴的特点是解题的关键． （1）根据题意，由中点的计算可得点表示的数为，点表示的数为，由两点之间距离的计算即可求解； （2）如图所示，点表示的数为，设表示的数为，则，所以，，由此即可求解； （3）设表示的数为，则，点表示的数为，点表示的数为，所以即，根据绝对值的性质分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点表示的数为，设表示的数为， ∴， ∴，， 解得，， ∴点表示的数为； （3）解：设表示的数为， ∴， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，即， 当时，则（不符合题意，舍去）； 当时，则； ∴， ∴点在数轴上所表示的数为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $