专题06 二次函数、指对幂函数10考点（期中真题汇编，天津专用）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

专题06一元二次函数、指对幂函数 10大高频考点概览 考点01 一次函数与二次函数的图像与性质 考点02 指数运算 考点03 指数函数的单调性的应用 考点04 指对幂函数的图像 考点05 指数函数的定义域、值域 考点06 对数的概念与运算 考点07 对数函数的单调性 考点08 对数函数的定义域、值域 考点09 幂数函数的解析式 考点10 幂数函数的单调性奇偶性 地 城 考点01 一次函数与二次函数的图像与性质 1．(24-25高一上·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)若的最大值为 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可求最值. 【详解】由题意，二次函数，定义域为； 二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以当时，函数值有最大值，最大值为， 故答案为： 2．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数的性质确定递减区间. 【详解】当时，， 所以，在上函数单调递增，在上函数单调递减， 当时，，即在上函数单调递增， 综上，函数的单调减区间为. 故答案为： 3．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)函数 在区间上单调递减，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质列不等式求解即可. 【详解】由题意，二次函数的开口向上，对称轴方程为， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得. 故选：B. 4．(24-25高一上·天津南开中学·期中)已知函数 . 记，则 的最大值与 的最小值的差为 （    ） A．-4 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】先分析的正负区间，从而得出在各区间的函数解析式，结合，，利用函数的单调性求解 的最大值与 的最小值即可. 【详解】由题意，， 故当或时，，当时，， 故当或时，， 当时，. 又对称轴为，开口向上，对称轴为，开口向下， 且，. 综上有当时，为增函数， 当时，为减函数， 当时为减函数， 故最大值为； 当时，为减函数， 当时，为减函数， 当时为增函数， 故最小值为. 故 的最大值与 的最小值的差为. 故选：B 5．(24-25高一上·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中)已知二次函数 (1)求函数 的解析式； (2)若函数在区间 不单调，求 的取值范围 (3)求函数在区间 的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意可判断二次函数的对称轴满足，列不等式，求解即可； （3）根据对称轴和区间在数轴上的位置关系分类讨论即可. 【详解】（1）因为二次函数满足，且， 故函数的图象的对称轴为直线，且的最大值为16， 可设函数，根据，解得， 故． （2）函数对称轴为直线， 要使函数在区间上不单调，则， 即，得， 解得，所以t的取值范围. （3）由（1）知：函数图象的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数在上单调递减．此时最大值， 当，即时，函数在上单调递增， 此时最大值； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减； 此时最大值； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，， 因此， 6．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)设函数 (1)当时，求在[0,2]上的值域； (2)当时，求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为或． (3) 【分析】（1）代入得到二次函数解析式，由对称轴求出单调区间，从而求出值域. （2）因式分解，得到对应方程的两根，讨论两根之间的大小关系，得出对应解集； （3）建立不等式化简整理得到，求出在的最小值即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，的对称轴为． 当时，；当时，， 在上的值域为． （2），∴， 当时，即，解得．当时，即，解得． 当时，即，解得． 综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为或． （3）， ∵，∴，∴， ∵，∴，只需， 令， ， 当且仅当，∴，即时取等号，取得最小值为24， ∴． 7．(24-25高一上·天津南开中学·期中)设，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作出函数的图象，即可根据图象求解， （2）求解在上的值域，进而根据与的子集关系，求解的范围即可， （3）作出的图象，对分类讨论，求解的最值，即可根据分类讨论得解. 【详解】（1）当时，在直角坐标系中，分别作出的图象（左图），进而可得的图象（右图）， 令，解得，故 由图可知：的值域为 （2）函数， 由于，，所以，故， 当时，， 在单调递减，在单调递增， 且，故在取最大值，在取最小值 故， 当时，，在单调递增， 若对任意，总存在，使得成立，则在上的值域为的子集即可，故是的子集， 故，解得，或者，解得 综上，所求的范围为. （3）令，解得或， 故的图象如下： ，即 当时，此时在单调递减，故只需要即可，即，解得，不符合题意，舍去， 当时，，此时在上的最大值为，最小为 只需要，，解得， 当时，，此时在上的最大值为， 只需要，且且，无解， 综上可得： 【点睛】方法点睛：函数求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 8．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)已知是二次函数，且满足，. (1)求的解析式； (2)直接写出的单调区间； (3)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)答案见详解 【分析】（1）设，利用待定系数法即可求出解析式； （2）由，二次函数图象开口向上，且对称轴为，可得单调区间； （3）通过讨论，，时，即可求得二次函数在区间上的最值. 【详解】（1）因为是二次函数， 设， ∴， 所以， ∵，即， ∴，即， 又∵，∴， 所以. （2）由（1）知，， 因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在区间上单调递减， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 综上，当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为5，最小值为； 当时，的最大值为，最小值为. 9．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期中)已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）设， 又 即， ， 解得， 即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 地 城 考点02 指数运算 1．(24-25高一上·天津南开中学·期中)若，则 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 2．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)计算： . 【答案】 【分析】由指数幂、根式的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 3．(24-25高一上·天津第二十一中学·期中)计算下列各式： (1)（其中a>0，结果化为幂的形式）； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根式的运算与指数幂的运算法则化简即可； （2）根据根式的性质与指数幂的运算法则化简即可； （3）根据指数幂的运算法则化简即可. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 4．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)计算下列各式的值： (1) (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案. （2）根据指数运算求得正确答案. 【详解】（1） . （2）. 地 城 考点03 指数函数的单调性的应用 1．(24-25高一上·天津南开中学·期中)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法求解即可. 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又， 所以. 故选：D. 2．(24-25高一上·天津宁河区丰台中学·期中)已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断. 【详解】因为在内单调递减，则，即； 且在内单调递增，则，； 且在内单调递增，，即； 综上所述：. 故选：B. 3．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)设a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据平方关系以及指数运算法则即可判断得出结论. 【详解】由可得或，当时不一定推不出， 比如，即充分性不成立； 当时，可得，可以推出，即必要性成立， 即可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂指函数的单调性判断A、B；由不等式性质及特殊值法判断C、D. 【详解】因为在R上递增，所以，故A对； 因为在R上递增，所以，故B错； 若时，，故C错； 若时，，故D错. 故选：A 5．(24-25高一上·天津双港中学·期中)函数是（    ） A．偶函数，在是增函数 B．奇函数，在是增函数 C．偶函数，在是减函数 D．奇函数，在是减函数 【答案】B 【分析】利用奇偶性定义判断的奇偶性，根据解析式结合指数函数的单调性判断的单调性即可. 【详解】由且定义域为R，故为奇函数， 又是增函数，为减函数， ∴为增函数． 故选：B. 6．(24-25高一上·天津南开中学·期中)的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质可知求得函数的单调递减区间即可. 【详解】易知函数是由指数函数和二次函数复合而来， 由复合函数单调性可知求出函数的单调递减区间即可， 利用二次函数性质可知，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 7．(24-25高一上·天津南开中学·期中)解下列关于 的不等式: (1): (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化分式不等式右边为0，再转化为一元二次不等式求解. （2）利用指数函数单调性求解不等式. 【详解】（1）不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式， 则，解得或， 所以原不等式的解集为. 8．(24-25高一上·天津宁河区丰台中学·期中)已知函数是指数函数， 且， (1)求的解析式 (2)画出的图象 (3)若 求m的取值范围 【答案】(1)； (2)图象见解析； (3). 【分析】（1）设函数解析式，由计算即可求解； （2）根据指数函数的图象直接作出即可； （3）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）设指数函数为且， 则，解得， 所以； （2）作出的图象，如图， （3）指数函数在R上单调递增， 由，得， 即或，解得或， 所以实数的取值范围为. 9．(24-25高一上·天津第二十一中学·期中)已知指数函数且的图像经过点 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，,的值域. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）将点代入指数函数中求出的值，然后根据复合函数单调性同增异减求得答案； （2）换元法令，将函数化为二次函数，利用二次函数性质求出函数的值域． 【详解】（1）函数且的图像经过点， ，得，（舍， ，， 在上单调递减， 在区间,上单调递减，在区间,上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是,． （2）， 令，,，则， 则， 所以在上单调递减， 故当时，， 当时，， 故当,时，的值域为． 10．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数， (1)求a、b的值及的解析式； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)若不等式 恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质：区间对称性及求参数值即可； （2）根据单调性定义，令，应用作差法比较函数值大小，即可证结论； （3）根据不等式及（2）结论有，即可求范围. 【详解】（1）由题设，且恒成立， 所以，可得，故， 综上，，， （2）令，则 ， 由上且，故， 所以函数在上单调递增，得证. （3）由题设， 结合（2）知，可得. 11．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若函数，求在[1,3]的最小值； (3)若使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】（1）根据指数函数的性质解指数不等式即可得解集； （2）利用指数函数的性质结合基本不等式求最值即可； （3）根据指数函数与二次函数的性质，结合换元转化求函数最值即可得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，且函数在上为减函数， 所以不等式的解集为； （2） 因为，所以，则， 当且仅当，则，即时取等号，取得最小值为1． （3）因为，所以， 令，∴， 所以当时，． 因为，则只需，所以，解得或． 地 城 考点04 指对幂函数的图像 1．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由指数型函数过定点求解处m点的坐标，进而求值. 【详解】由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4, 故选：C. 2．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)函数，（且）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】指数型函数过定点，令即可得 【详解】由函数，令，则 所以函数必过点 故选：D. 3．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和进行分类讨论判断即可. 【详解】当时，与单调递增，A，B均不符合题意； 当时，与单调递减， 对于，当时，C不正确. 故选：D. 4．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)若函数的部分图象如下图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由指数函数的性质可知,函数图象恒过,进而由图象求解即可 【详解】由题,函数图象恒过点,由图象可得,即, 显然,函数单调递减,所以, 故选:A 【点睛】本题考查指数函数的图象的应用,属于基础题 5．(24-25高一上·天津第四十七中学·期中)已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】将的图象向下平移1个单位得到，再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方可得到， 将的图象向右平移1个单位得到， 所以的图象如图所示，    由图可知，当时，函数与图象有且仅有三个不同的交点. 故选：B. 6．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)函数，，，的图象如图所示，则的大小顺序是(     )    A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜b C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b 【答案】A 【分析】令4个函数取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好是，通过函数的图象从左到右依次与交于，从而得出. 【详解】令4个函数取同样的函数值1，即， 解得， 作出的图象从左到右依次与交于 ， ，故选A. 【点睛】本题主要考查对数函数的图象与性质，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 7．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)已知函数的图象恒过点A，则点A的坐标为 . 【答案】 【分析】由，令真数为，即代入求值，可得定点坐标． 【详解】∵，∴当时，，∴函数的图象恒过定点 故答案为： 8．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知函数的图象恒过点，则 ，函数的单调递增区间为 . 【答案】 8 【分析】先求得的图象所过定点的坐标，再由对数型复合函数的单调性确定单调区间． 【详解】当时，得， 所以过定点，即，所以； 函数， 令，解得或，函数在上递减，在上递增， 又在单调递增， 所以在为增函数，在为减函数， 所以函数的单调递增区间为． 故答案为：；． 地 城 考点05 指数函数的定义域与值域 1．(22-23高一上·天津滨海新区大港第一中学·期中)函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域. 【详解】令， 则， 所以 又在上单调递增， 所以 即 故选：B. 2．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)函数f(x)=的值域是（    ） A．(-∞，1) B．(0，1) C．(1，+∞) D．(-∞，1)∪(1，+∞) 【答案】B 【分析】根据的范围，利用不等式法，即可求得函数值域. 【详解】∵3x+1>1，∴0<<1， ∴函数的值域为(0，1). 故选：. 【点睛】本题考查利用不等式法求指数型复合函数值域的求解，属基础题. 3．(24-25高一上·天津第四十七中学·期中)函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 故答案为： 4．(24-25高一上·天津第四十七中学·期中)已知函数． (1)当，，时，求函数的值域； (2)若，存在，使，求的取值范围； (3)若存在，使，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元令，将函数转化为二次函数，根据二次函数求最值，即可得函数的值域； （2）存在，使，转化为含参方程有解，参变分离后得，根据函数单调性求函数的取值范围，即得的取值范围； （3）若存在，使，则得，将转化为关于的二次函数，根据二次函数求最小值为，再根据其单调性得最小值. 【详解】（1）解：，，则，， 令，则，则在上单调递增 所以，故函数的值域为； （2）解：由有 即， 所以 令，，，则单调递增 所以， （3）解：令，，     所以 令，则在上递增，所以. 所以. 地 城 考点06 对数的概念与运算 1．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)使对数有意义的的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据底大于零且不等于1，真数大于零列不等式组，解不等式组即可. 【详解】使对数有意义的需满足, 解得． 故选B． 【点睛】本题考查对数式的性质，对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0，是基础题． 2．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. 3．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对互化的运算可得，利用对数的换底公式和对数的运算性质的应用即可求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：A 4．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知国内某人工智能机器人制造厂在年机器人产量为万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到万台（参考数据：，）（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】A 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万辆， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万辆． 故选：A． 5．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)计算的值为 . 【答案】/ 【分析】由对数的运算性质求解， 【详解】原式， 故答案为： 6．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）利用换底公式与对数的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式 . 7．(24-25高一上·天津双港中学·期中)（1）若，求x的值； （2）计算. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据给定条件，利用换底公式及指数式与对数式互化求解即得. （2）利用指数、对数运算法则计算即得. 【详解】（1）由，得，整理得， 所以. （2） . 地 城 考点07 对数函数的单调性 1．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用对数函数和指数函数的单调性求解. 【详解】因为，，， 所以． 故选：． 2．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)已知，，，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，找到中间值和进行辅助判断. 【详解】根据指数函数在上递增可得，； 根据对数函数在上递增可得，， 根据指数函数在上递减和值域可得，， ∴. 故选：D 3．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系 【详解】，，， 故. 故选：B 4．(24-25高一上·天津双港中学·期中)若为奇函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为奇函数，求出的值，利用复合函数的单调性特征求的单调递增区间. 【详解】函数为奇函数，的定义域为， 由，∴， 函数的定义域为， 函数在定义域内单调递增， 当时，的单调递增区间为， 所以的单调递增区间为. 故选：D． 5．(24-25高一上·天津双港中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数， ， 则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】结合函数的奇偶性和单调性的关系，将不等式进行等价转化，进行求解即可． 【详解】解：是定义在上的偶函数，且在上是增函数，， ，在区间上单调递减， ∴不等式等价为不等式， ∴，即，可得，即不等式的解集为. 故答案为：. 6．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)函数的单调递减区间是 ． 【答案】； 【分析】利用复合函数的单调区间求解方法可得答案. 【详解】设，则，； 因为为减函数，在区间为减函数，在区间为增函数， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 7．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中)求函数的单调递减区间 ． 【答案】 【分析】先求出定义域，再根据复合函数同增异减得到单调递减区间. 【详解】令，解得或， 的定义域为， 其中在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减，可得（）的递减区间即为所求， 即即为所求. 故答案为： 8．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质求得函数在区间上的值域. （2）结合一元二次不等式、对数不等式的解法来求得不等式的解集. （3）利用换元法并分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为. （2）由题得，令，则，即，解得或， 当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或． （3）由于对于上恒成立， 令，，则即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 9．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且时，. (1)判断函数在上的单调性并利用定义证明； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据函数单调性的定义：结合作差法和对数性质计算证明. （2）利用偶函数的性质，已知时的解析式，可求出时的解析式. （3）先求出时的值，再根据函数单调性和奇偶性求解的取值范围. 【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，设，则， 根据对数运算法则，可得， 因为，所以，那么， 又因为对数函数在上单调递减， 当时，，即，所以， 所以函数在上单调递增. （2）设，则， 因为是偶函数，所以， 所以. （3）当时，令， 根据指数对数互化，则，解得， 因为在上单调递增，在上单调递减，且是偶函数， 所以等价于，则， 则或.解得或. 地 城 考点08 对数函数的定义域、值域 1．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学·期中)函数的定义域为（      ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式中真数大于零，分式中分母不为零列不等式，求解即可. 【详解】由题意，，即，解得，且， 因此，定义域为，且， 故选：B. 2．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)在中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的概念以及不等式计算求解. 【详解】要使式子有意义， 则，解得或.故A，C，D错误. 故选：B. 3．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对数型函数的定义域只需要真数大于0，解出即可 【详解】由， 即， 解得， 即函数的定义域为： 故选：A. 地 城 考点09 幂数函数的解析式 1．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)已知幂函数的图象不经过第二象限，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念求出，再由函数图象不经过第二象限得出即可． 【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意； 当时，，其图象经过第二象限，不满足题意； 综上，． 故选：D． 2．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】设幂函数，由函数过点，求出参数，即可求出函数解析式，再代入计算可得； 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故答案为： 3．(24-25高一上·天津百华实验中学·期中)已知幂函数的图象过点，则的值为 . 【答案】 【分析】设幂函数为，代入点，求得，进而即得. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象经过点， 可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 4．(24-25高一上·天津五区县重点校联考·期中)已知幂函数为偶函数则m的值为 . 【答案】2. 【分析】根据幂函数得到，计算得到或，再验证函数的奇偶性得到答案. 【详解】幂函数，则或 当时，为奇函数，舍去；当时，为偶函数，满足 故答案为： 【点睛】本题考查了幂函数，函数的奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力. 5．(24-25高一上·天津南开中学·期中)幂函数在上是减函数，则的值为 【答案】/ 【分析】根据幂函数的定义及性质求出，即可得解. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 6．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)已知幂函数的图象经过点，若，则 ． 【答案】 【分析】由求出的值，可得出函数的解析式，再由可得出的值. 【详解】因为，则，所以，， 因为，解得. 故答案为：. 7．(17-18高一上·天津耀华中学·期中)已知 是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为 【答案】2 【分析】解方程，再检验得解. 【详解】解：依题意，，得或， 当时，，幂函数在上不是减函数，所以舍去. 当时，，幂函数在上是减函数．所以. 故答案为： 8．(24-25高一上·天津第一中学滨海学校·期中)若幂函数的定义域为，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，得到，再结合条件，即可求解. 【详解】由，得.当时，的定义域不为； 当时，的定义域为，所以， 故答案为：. 地 城 考点10 幂数函数的单调性、奇偶性 1．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)已知，满足，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以在上单调递减，由得，故A错误； 对于B，因为，所以在上单调递减，由得，故B错误； 对于C，因为，所以在单调递增，由得，故C正确； 对于D，因为，所以在单调递增，由得，故D错误. 故选：C. 2．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)下列函数既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数定义排除A；再结合幂函数的单调性判断得结果. 【详解】对于A，函数的定义域为，不具奇偶性，A不对； 对于B，函数的定义域为，在定义域上不单调，B不对； 对于C，函数的定义域为R，时奇函数也是增函数，C正确； 对于D，函数的定义域为，在定义域上不单调，D不对. 故选：C 3．(24-25高一上·天津第九十五中学·期中)若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得. 【详解】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由 ， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或. 故选：C. 4．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)下列函数既是偶函数，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知函数的性质即可判断. 【详解】对于A，在上单调递增，故A错误； 对于B，在上单调递增，故B错误； 对于C，在上单调递增，故C错误； 对于D，由幂函数的性质可知是偶函数，且在上单调递减，故D正确. 故选：D. 5．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)设，则这三个数，，由小到大的排列顺序 ． 【答案】 【分析】根据的单调性得到，再根据幂函数和指数函数的单调性分别得到和即可. 【详解】因为在上单调递减，且， 所以， 因为，所以幂函数在上单调递增，由得， 因为，所以指数函数在上单调递减，由得， 所以这三个数，，由小到大的排列顺序为. 故答案为：. 6．(24-25高一上·天津第二耀华中学·期中)已知幂函数，且在上为增函数. （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）因为函数是幂函数，求出或，再分别验证是否满足函数在上是增函数； （2）由（1）知，根据函数的定义域和单调性解不等式. 【详解】（1），即，则，解得或， 当时，， 当时，， ∵在上为增函数，∴. （2）由（1）得定义域为且在上为增函数， ∴，解得：，所以的取值范围为：. 【点睛】本题考查幂函数和根据函数的性质解抽象不等式，意在考查基本概念和基本方法，属于基础题型. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06一元二次函数、指对幂函数 ☆10大高频考点概览 考点01一次函数与二次函数的图像与性质 考点02指数运算 考点03指数函数的单调性的应用 考点04指对幂函数的图像 考点05指数函数的定义域、值域 考点06对数的概念与运算 考点07对数函数的单调性 考点08对数函数的定义域、值域 考点09幂数函数的解析式 考点10幂数函数的单调性奇偶性 目目 考点01 一次函数与二次函数的图像与性质 1.(24-25高一上·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校期中)若0<x<2,则y=x(4-3x)的 最大值为 2.(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)函数y=xx-4的单调减区间是· 3.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学期中)函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间 (-∞，4)上单调递减，则a的取值范围是() A.[-3,+0∞) B.（-0∞，-3] C.(-∞，5) D.[3,+∞ 4.(24-25高一上·天津南开中学期中)已知函数 f(x)=x2-2(a+1)x+a2,g(x)=-x2+2(a-1)x-a2+2.记 H1(x)=型，H2(x)=+的型，则H,(x)的最大值与H2(x)的最小值的 差为() A.4 B.4 C.a2-a+4 D.a2+a+8 5.(24-25高一上·天津滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校·期中已知二次函数 1/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=f(x),f(0)=f(8)=0,f(4)=16. (1)求函数y=f(x)的解析式： (2)若函数f(x)在区间[t,t+2]不单调，求t的取值范围 (3)求函数f(x)在区间[t,t+2]的最大值h(t) 6.(24-25高一上·天津咸水沽第一中学.期中)设函数fx)=ax2-(2a+1)x+2 (1)当a=1时，求y=f(x)在[0,2]上的值域； (2)当a>0时，求不等式fx)>0的解集； (3)若fx)<4x3-4x2+2对Vx∈(2，+o∞恒成立，求实数a的取值范围 7.(2425高一上天津南开中学期中)设f(x)=x2-2tx+1,g(x)=-x2+4tx+1，,其中t>0,记 F(x)=min(f(x)g(x)). (1)若t=1,求Fx的值域： (2)若t>0,记函数hx)=x)+tx-1+t2对任意x∈[，t],总存在m∈[是，2t],使得hx)=m成 立，求实数t的取值范围： (3)若vx∈[0,3|Fx)-引≤，求实数t的取值范围. 8.(24-25高一上·天津百华实验中学期中)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1, f(x+1)-f(x)=4x (1)求f(x)的解析式： (2)直接写出f(x)的单调区间； (3)求f(x)在区间[-1，t]上的最大值和最小值 9.(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学期中已知f(x)是二次函数，且满足 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3. (1)求函数f(x)的解析式： (2)设函数g(x)=f(x)-(2+t)x,求g(x)在区间[1,2]上的最小值h(t)的表达式. (3)在(2)的条件下，对任意的t∈[0,6]，存在m∈[0,2]，使得|h(t)川≤mk2+mk-8+m成立，求 k的取值范围. 目目 考点02 指数运算 1.2425高一上天津南开中学期中)若2=8*19y=39,则x-y=一 2.(24-25高一上天津弘毅中学期中计算：-16+()+V(2-π)7= 2/10 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25高一上·天津第二十一中学期中)计算下列各式： a2 (1)a (其中a>0,结果化为幂的形式)； 2z3+(器)-g+√3-π) (yb(a>0,b>0）, (3) a话b 4.(24-25高一上·天津咸水沽第一中学期中计算下列各式的值： 143-m+(0)+[（-2)-g×42 (2)若10=4,10=5，求10壁的值. 目目 考点03 指数函数的单调性的应用 1.(24-25高一上天津南开中学期中)若a=1.010.8b=1.010.9c=0.608,则() A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 2.(24-25高一上天津宁河区丰台中学期中)已知a=0.32,b=201,c=30:2,则a,b,c的大小关系是 () A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 3.24-25高一上天津滨海新区塘洁第一中学期中设a,bER,则a2=b2是（传）2=（青）°的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 4.(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)若a>b,则下列不等式中正确的是() A.a3>b3B.3<3b C.吉< D.ac2 bc2 5.2425高一上天津双港中学期中)函数(8)=妥是() A.偶函数，在(0，+∞是增函数 B.奇函数，在(0，+∞)是增函数 C.偶函数，在(0，+∞)是减函数 D.奇函数，在(0，十∞是减函数 6.(24-25高一上·天津南开中学期中)f(x)=0.7的单调递增区间为 7.(24-25高一上·天津南开中学.期中)解下列关于x的不等式 3/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)器≤1： (②3*6r+6>(清) 8.(24-25高一上·天津宁河区丰台中学.期中已知函数f(x)是指数函数，且f(3)=8, (1)求f(x)的解析式 (2)画出f(x)的图象 (3)若f(m)>f(品)，求m的取值范围 9.(24-25高一上天津第二十一中学期中)已知指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)的图像经过点(2，). (1)求函数y=ax24+3的单调递减区间； (2)求函数y=a2s-4a+3,x∈[0,1的值域. 10.(2425高一上天津耀华中学滨城学校期中)已知函数f(x)=号是定义-3，b]止的奇函数， (1)求a、b的值及f(x)的解析式； (2)用定义法证明函数f(x)在-3，b]上单调递增： (3)若不等式f(m+1)+f(2-3m)<0恒成立，求实数m的取值范围. 11.24-25高一上天津咸水洁第一中学期中)已知函数8)=()广， (1)求不等式fx)<4的解集； (2)若函数g(x)=f(x-1)+f(x-3),求g(x)在1,3]的最小值： (3)若扫x∈[-1,2]使得不等式fx)-f(2x)+1+景<0成立，求实数a的取值范围. 目目 考点04 指对幂函数的图像 1.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学.期中)已知函数y=2ax-1+1(a>0且a1)恒过定点A(m,n), 则m十n=()》 A.1 B.3 C.4 D.2 2.(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校期中)函数y=a1+3,（a>0且a≠1)的图像必经过一个定点， 则这个定点的坐标是() A.(0,1) B.（1,2) C.(2,3) D.（14) 3.(24-25高一上·天津滨海新区塘沽紫云中学期中)在同一平面直角坐标系中，函数y=ax,y=1ogx- (a>0且a≠1)的图象可能是() 4/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C D 4.(24-25高一上·天津西青区张家窝中学期中若函数y=ax+b的部分图象如下图所示，则() Y A.0<a<1,-1<b<0 B.0<a<1,0<b<1 C.a>1,-1<b<0 D.a>1,0<b<1 |2x-1,x<2 5.2425商一上天津第四十七中学期中已知函数一{： x22 若函数y=f(x)图象与直线 y=k有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是() A.k>0 B.0<k<1 C.0<k<3 D.1<k<3 6.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学期中)函数y=1gx,y=1ogX,y=1gx, y=1og￥的图象如图所示，则a,b,c,d的大小顺序是() y=logx y=logx -log.x y=logax A.c<d<1<a<b B.1<d<c<a<b 5/10 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b 7.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学期中)已知函数y=1og(x-1)+6(a>0,a+1)的图 象恒过点A,则点A的坐标为」 8.(2425高一上天津滨海新区塘沽第一中学期中)已知函数y=log2(x-1)+6(a>0,a≠1)的图象恒 过点A(m,n),则m十n= 函数8(x)=log(x2-mx)的单调递增区间为 目目 考点05 指数函数的定义域与值域 1.(22-23高一上天津滨海新区大港第一中学期中)函数f(x)=2x22,x∈[-1,2]的值域是（) A.(-0∞，8] B.[8] c.[克+∞ D.(0,8] 2.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第一中学期中)函数)1的值域是() A.(-0,1) B.(0,1) C.(1,+o) D.(-0,1)U(1,+0) 3。(425高一上天津第四十七中学期中函数y=(保)42x+的值域是 4.(24-25高一上天津第四十七中学期中)已知函数f(x)=4+b·2+c. (1)当b=-2,c=2,x∈[1,2]时，求函数f(x)的值域： (2)若c=2,存在xE[0,1],使f(x)+f(-x)=0,求b的取值范围： (3)若存在x∈[0,1]，使f(x)=0,求b2+c2的最小值 目目 考点06 对数的概念与运算 1.(24-25高一上天津西青区张家窝中学期中)使对数lo82(-2a+1)有意义的a的取值范围为 A.（3,1)U(1,+o) B.(0,) C.(0,1)U(1,+∞)D (-∞支) 2.(2425高一上天津西青区张家窝中学期中)10g4(10gx)=0,则x=() A.0 B.1 C.5 D.625 3.(24-25高一上·天津滨海新区塘沽紫云中学期中)若4=3=24，则景+号=() A.2 B.10824486 C. D.1og24566 4.(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学期中)已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产 量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求， 6/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达 到900万台（参考数据：1g2≈0.30,1g30.48)() A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年 5.(24-25高一上天津耀华中学滨城学校期中)计算1ogV27+1g125+1g8+7,2的值为 6.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学期中)计算下列各式的值： 12lg2+1g25+38,2+1ogg9×1ogg54, 2(程)3-(-9.6)°()+() (3(1og43+1ogg3)(1og2+1og,2)+log1V27-25 7.(24-25高一上天津双港中学期中)(1)若1og5言·1og35·108x=2,求x的值； (2)计算0.25× 2】 +1g25+1g2-l0g,9 x10g22 考点07 对数函数的单调性 1.2425商一上天津滨海新区塘洁紫云中学期中设a=1o:2,b=(传)4，c=(佳)3，则() A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 2.(24-25高一上天津滨海新区大港油田第三中学期中)已知a=30.5,b=1og30.5,c=0.53,则a,b,c的 大小关系是() A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a 3.(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校期中)若a=108.0.6,b=1.10.6,c=10g50.6,则a,b,c的大 小关系是() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 4.(24-25高一上·天津双港中学期中)若f(x)=-1为奇函数，则g(x)=1n[(x-1)x-a]的单调递增 区间是() A.(0,1) B.(1,+∞) C.(3,+o D.(2,+∞) 5.(2425高一上·天津双港中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-0∞，0]上是增函数， f(2)=0，则不等式fogx>0的解集为 6.(24-25高一上天津滨海新区大港油田第三中学期中)函数y=10g:(x2-4)的单调递减区间是 7/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25高一上·天津滨海新区塘沽紫云中学期中)求函数y=1n(x2-6x+8)的单调递减区间」 8.(2425高一上天津耀华中学滨城学校期中)已知函数f(x)=(21og4x-2)(1og4x+支) (1)当x∈[1,16]时，求该函数的值域； (2)求不等式f(x)>2的解集； (3)若f(x)<mlog4x于x∈[4,16]恒成立，求m的取值范围. 9.(24-25高一上·天津西青区张家窝中学期中已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时， f(x)=1og:(-x+1) (1)判断函数f(x)在(-∞，0]上的单调性并利用定义证明； (2)求函数f(x)的解析式： (3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围. 目目 考点08 对数函数的定义域、值域 1.(2425高一上天津滨海新区大港油田第一中学期中)函数y=g,可的定义域为〈) A.xx>1} B.{xx>1,且x≠2} C.{xk>2} D.R 2.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学期中)在b=1o83)(4-a2)中，实数a的取值范围是() A.（-∞，青)U(2,+∞) B.(3,)U(2) c.(2) D.(2) 3.(24-25高一上·天津西青区张家窝中学期中)函数f(x)=ln(-x2+5x-6的定义域为() A.(2,3 B.(-0∞，2U(3,+∞) c.[2,3] D.(-o,2]U[3,+o0 目目 考点09 幂数函数的解析式 1.(24-25高一上·天津百华实验中学期中)已知幂函数y=(m2-m-1)xm(mE R)的图象不经过第二象限， 则m=() A.2 B.-2或1 C.-1或2 D.-1 8/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校期中)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，则 f(16)= 3.(2425高一上天津百华实验中学期中)已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2)，则f(告)的值为 4.(24-25高一上·天津五区县重点校联考期中)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm2为偶函数则m的值 为】 5.(24-25高一上天津南开中学·期中)幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm4m2在(0，+0∞)上是减函数，则 f(2m)的值为 6.(24-25高一上·天津和平区天津益中学校期中)已知幂函数f(x)=的图象经过点(2,8)，若 f(x0)=-27,则x0=_ 7.(17-18高一上·天津耀华中学期中)已知f(x)=(m2-m-1)xm22m3是幂函数，且在(0，+∞)上是减函数， 则实数m的值为 8.(24-25高一上·天津第一中学滨海学校期中)若幂函数f(x)=(|m-2)xm的定义域为R,则 m= 目目 考点10 幂数函数的单调性、奇偶性 1.(24-25高一上·天津西青区张家窝中学期中已知a,b满足0<a<b<1,则下列不等式成立的是() A.aa<ab B.b5>b C.aa<b3 D.b<ab 2.(24-25高一上·天津和平区天津益中学校期中)下列函数既是奇函数，又是增函数的是() A.y=区 B.y=是 C.y=x3 D.y=泰 3.(24-25高一上天津第九十五中学期中)若幂函数f(x)=xa图象过点（言，责），且 f(m+2)<f(2m),则实数m的取值范围是() A.(-2) B.（-2,号) C.（-∞，-号)U(2,+o) D.(-∞-2)U(-号，+∞) 4.(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学期中)下列函数既是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减的是 () A.y=2x B.y=x+1 C.y=3x2+1 D.y=点 5.(24-25高一上天津西青区张家窝中学期中)设专<（吉）°<()<1，则这三个数品，a,b由小到 9/10 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 大的排列顺序 6.(24-25高一上天津第二耀华中学期中)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm2m,且在(0，+∞)上 为增函数 (1)求函数f(x)的解析式； (2)若f(a+1)<f(3-2a),求a的取值范围. 10/10