专题04 基本不等式9考点（期中真题汇编，天津专用）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

专题04 基本不等式 5大高频考点概览 考点01 基本不等式“1”的妙用 考点02 基本不等式求和的最小值 考点03 基本不等式求积的最大值 考点04 基本不等式恒成立问题 考点05 基本不等式的实际应用 地 城 考点01 基本不等式“1”的妙用 1．(24-25高一上·天津朱唐庄中学·期中)设，且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2．(24-25高一上·天津第二十一中学·期中)对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 故选：C 3．(24-25高一上·天津第四十七中学·期中)已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C 4．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是 ． 【答案】9 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值即得. 【详解】由正数满足，得， 则，当且仅当时取等号， 由使恒成立，得， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 5．(24-25高一上·天津南仓中学·期中)若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可. 【详解】因为两个正实数x，y满足，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 因为有解，所以，即， 解得或，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 6．(24-25高一上·天津南开中学·期中)若两个正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解二次不等式即可. 【详解】由，故可得，则， 当且仅当，即时取得等号，故的最小值为； 由题可知，，也即，解得，即的范围为. 故答案为：. 7．(24-25高一上·天津五区县重点校联考·期中)若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是 ．当x等于 时，中等号成立． 【答案】 2 【分析】根据基本不等式1的代换，求出的最小值，结合基本不等式分析求解. 【详解】因为两个正实数x，y满足， 且恒成立，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以实数m的取值范围是，当且仅当时，等号成立. 故答案为：；2. 8．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 地 城 考点02 基本不等式求和的最小值 1．(24-25高一上·天津和平区天津益中学校·期中)若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，因为，则，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，A对C错； 对于BD选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立， 所以，即没有最小值，BD都错. 故选：A. 2．(24-25高一上·天津南开区·)已知，，则的最小值是（   ）. A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】两次利用基本不等式依次求和的最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以，当且仅当即时等号成立， 又，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是4. 故选：D. 3．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)二次函数的值域为[0,∞)，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据二次函数的值域得关系，结合基本不等式求解最值即可得结论. 【详解】因为二次函数的值域为[0,∞)， 所以，且，故， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 4．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 5．(24-25高一上·天津河西区·期中)已知函数，若，，且，则的最小值是 ；取得最小值时的值为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性以及基本不等式求得正确答案. 【详解】的定义域为，， 所以是奇函数，又函数单调递增，且， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值是，取得最小值时的值为. 故答案为：； 6．(24-25高一上·天津第一中学·期中)已知实数，则函数的最小值为 . 【答案】6 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为6. 故答案为：6. 7．(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中)已知， 且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】直接运用基本不等式： 求解即可. 【详解】∵， ， ∴，当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 8．(24-25高一上·天津第九十五中学·期中)（1）已知，求的最大值；并求出此时的值. （2）已知，求的最小值，并求出此时的值. 【答案】（1）此时；（2），此时. 【分析】根据所求函数式的特征，进行适当配凑项或系数，再运用基本不等式求解即得. 【详解】（1）因，则， 由， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最大值为； （2）因，则， 则 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最小值为7. 地 城 考点03 基本不等式求积的最大值 1．(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为2 D．最小值为2 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式即可求解A；利用乘“1”法即可求解可判断B；利用完全平方式的性质即可求解C；将“1”代换，即可由基本不等式求解D.. 【详解】对于A，，解得，当且仅当时等号成立，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，故B不正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故D错误． 故选：C. 2．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)若a、且a、，且，则ab的最大值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式求得的最大值. 【详解】依题意，当且仅当时等号成立. 故答案为： 3．(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学·期中)若且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式可得． 【详解】由题意，当且仅当时等号成立， 解得，所以且等号能取得． 故答案为：． 4．(24-25高一上·天津咸水沽第一中学·期中)已知，则的最小值为 ． 【答案】25 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：25 5．(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学·期中)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【解析】对于空1，由于a>0，b>0，直接利用基本不等式可得即可得解；对于空2，根据1的 “妙用”变形a＋2b－4＝0为，和相乘利用基本不等式即可得解. 【详解】因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0， 所以a＋2b＝4，所以， 当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立， 所以ab的最大值为2， 因为 ， 当且仅当a＝b时等号成立，所以的最小值为. 【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，考查了“1”的妙用求最值，考查了计算能力，属于简单题. 6．(24-25高一上·天津河西区·期中)若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：利用已知条件转化利用分类讨论和基本不等式求解即可； 方法二：利用已知条件转化为二次函数求解即可. 【详解】方法一：由，， 消去得到， 令，， 则，即， ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为． 当时， ，不成立， 当时，， 故的最大值为. 综上所述：的最大值为． 方法二：由，， 可消去得到， 则，令， ， 当时，， 故的最大值为． 故选：C． 地 城 考点04 基本不等式恒成立问题 1．(24-25高一上·天津第二十一中学·期中)对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 故选：C 2．(20-21高一上·天津南开中学·期中)已知，若不等式恒成立，则的最大值是 . 【答案】6 【分析】根据，，得到，利用“1”的代换转化为，再用基本不等式求解即可 【详解】因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以的最大值是. 故答案为：. 3．(24-25高一上·天津耀华中学滨城学校·期中)已知 ，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求不等式左侧的最小值，根据不等式恒成立只需右侧小于左侧的最小值，应用基本不等式求左侧最小值，再解一元二次不等式求范围. 【详解】由，， 当且仅当时取等号，故原不等式最小值为8， 由于题设不等式恒成立，则，即， 所以. 故答案为： 4．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 地 城 考点05 基本不等式的实际应用 1．(24-25高一上·天津静海区三校联考·期中)用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该矩形相邻的两边长为，列出等量关系，然后结合均值不等式求解即可. 【详解】设该矩形相邻的两边长为，则，即. 由，，则，得， 当且仅当时，等号成立. 故该矩形面积的最大值为. 故选：A. 2．(24-25高一上·天津第二十一中学·期中)某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是 . 【答案】20 【分析】设每次购买该种货物吨，则一年的总运费为（万元），一年的总存储费用为万元，从而一年的总运费与总存储费用为：（万元），利用基本不等式求出总运费与总存储费用之和最小，每次购买该种货物的吨数． 【详解】解：设每次购买该种货物吨，则需要购买次， 则一年的总运费为（万元）， 一年的总存储费用为万元， 一年的总运费与总存储费用为： （万元）， 当且仅当时取等号， 故要使一年的总运费与总存储费用之和最小， 则每次购买该种货物的吨数是20吨． 故答案为：20． 【点睛】本题考查要使一年的总运费与总存储费用之和最小时每次购买该种货物的吨数的求法，考查不等式性质在生产生活中的实际应用等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04基本不等式 ☆5大高频考点概览 考点01基本不等式“1”的妙用 考点02基本不等式求和的最小值 考点03基本不等式求积的最大值 考点04基本不等式恒成立问题 考点05基本不等式的实际应用 目目 考点01 基本不等式“1”的妙用 1.(24-25高一上·天津朱唐庄中学期中)设x>0,y>0,且芳+y=1,则袁+的最小值为() A.5 B.号 C.4 D.号 2.(24-25高一上·天津第二十一中学期中)对满足x+y=1的任意正实数x、y,不等式袁+吉>m2-3m恒 成立，则实数m的取值范围是() A.(-∞，-4)U(1,+∞) B.(-∞，-1)U(4,+∞)C.(-1,4)D.(-4,1) 3.(24-25高一上天津第四十七中学期中)已知正数，乃满足a+2b=6,则2+品的最小值为() A.司 B.9 c.最 D.号 4.(24-25高一上·天津和平区天津益中学校期中)若正数a,b满足4a+b=ab,则使a+b-m≥0恒成立的 实数m的最大值是」 5.(24-25高一上天津南仓中学期中)若两个正实数，y满足4x+y=2xy,且不等式x+左<m2-m有 解，则实数m的取值范围是_ 6.(24-25高一上·天津南开中学期中)若两个正实数x,y满足4x+y=y,且不等式 x+兰≥m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是 7.(2425高一上天津五区县重点校联考期中)若两个正实数x,y满足袁+言=2，并且x+2y≥3m-2恒 成立，则实数m的取值范围是 当x等于」 时，x+2y≥3m-2中等号成立. 8.(24-25高一上天津弘毅中学期中)已知x,y均为正数，y=4x+y,则2x+y的最小值 1/3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02 基本不等式求和的最小值 1.(24-25高一上·天津和平区天津益中学校期中)若x>0,则下列说法正确的是() A.区+在的最小值为2 B.x十克的最小值为1 c.+左的最小值为22 D.x十本克的最小值为2 2.(24-25高一上天津南开区)已知a>0,b>0,则片+吉+2√ab的最小值是() A.1 B.2 c.22 D.4 3.(24-25高一上·天津咸水沽第一中学.期中)二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+o,则 +尝的最小值为() A.6 B.8 C.10 D.12 4.(24-25高一上天津弘毅中学期中)不等式(3-m)x+3-m>-x2对于x∈「0,31恒成立，则m的取值 范围 5.(24-25高一上天津河西区·期中)已知函数f(x)=x3+2x,若a>0,b>0,且 f(2a)+f(b-1)=f(0),则后+的最小值是一；取得最小值时a的值为一 6.(2425高一上天津第一中学期中)已知实数x>1,则函数y=2x十忌的最小值为 7.(24-25高一上·天津宁河区芦台第二中学期中)已知a>0,b>0,且ab=4,则a+b的最小值 为】 8.(2425高一上·天津第九十五中学期中)(1)已知0<x<专，求y=x(1-2x)的最大值；并求出此时 x的值 (2)已知x>3,求f(x)=x十是的最小值，并求出此时x的值 目目 考点03 基本不等式求积的最大值 1.(24-25高一上·天津滨海新区塘沽第一中学期中)设正实数x,y满足2x+y=2,则() A.xy的最大值是 B.会+方的最小值为4 C.4x2+y2最小值为2 D.登+会最小值为2 2.(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学期中)若a、b∈R且a、b>0,且a+b=4,则ab的最大 值为 3.(24-25高一上·天津西青区杨柳青第四中学期中)若a>0,b>0且ab=a+b+3,则ab的取值范围 2/3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为 4.(2425高一上天津威水洁第一中学期中)已知x>0,y>0,x+2y=1,则型的最小值为 y 5.(24-25高一上·天津滨海新区大港油田第三中学期中)若a>0,b>0,且a十2b-4=0,则ab的最大值 为 一，吉十希的最小值为」 6.(24-25高一上·天津河西区·期中)若a+b+c=4,3a+2b-c=0,则ab的最大值为() A.吉 B. 烟 6 C.青 D.号 目目 考点04 基本不等式恒成立问题 1.24-25高一上天津第二十一中学期中)对满足x+y=1的任意正实数x、y,不等式支+吉>m2-3m恒 成立，则实数m的取值范围是() A.(-∞-4)U(1,+∞) B.(-∞，-1)U(4,+∞)C.(-14)D.(-4,1) 2.(20-21高一上天津南开中学期中)已知a>0,b>0,音+言=言，若不等式2a+b≥9m恒成立，则m的 最大值是 3.(2425高一上天津耀华中学滨城学校期中)已知x>2,若2x+忌>m2-2m恒成立，则实数m的取 值范围是 4.(24-25高一上天津弘毅中学期中)不等式(3-m)x+3-m>-x2对于x∈[0,3]恒成立，则m的取值 范围 目目 考点05 基本不等式的实际应用 1.(24-25高一上·天津静海区三校联考期中)用28cm长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为() A.49cm2 B.196cm2 C.36cm2 D.81cm2 2.(24-25高一上·天津第二十一中学期中)某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买， 每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值（单位：万元）恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总 运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是 3/3