15.1二次根式（题型专练）数学新教材冀教版八年级上册

15.1二次根式 （8大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 辨别二次根式 题型二 求二次根式的值 题型三 求二次根式中的参数 题型四 二次根式有意义的条件 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 最简二次根式的判断 题型七 化为最简二次根式 题型八 求最简二次根式中的参数 能力提升题 题型一 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式 题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型三 二次根式中的规律问题 题型一 辨别二次根式 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 2．下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 题型二 求二次根式的值 5．已知，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 根据代入求解即可． 【详解】 原式 ． 故选：D． 6.已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解． 【详解】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 7．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 8．若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 9．若实数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，， 解得， 当时，． 当，时，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键． 10．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 题型三 求二次根式中的参数 11．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 12．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 13．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 14．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出是解决此题的关键． 先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可． 【详解】因为实数满足，， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B． 15．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 16．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 题型四 二次根式有意义的条件 17．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，列式计算可得答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：B． 18．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义，即被开方数为非负数，当二次根式没有意义，则被开方数为负数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内没有意义， ∴ ∴， 故选：C 19．下列式子中无意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数判断即可． 【详解】解： A、因为，所以无意义，故此选项符合题意； B、因为，所以有意义，故此选项不符合题意； C、因为，所以有意义，故此选项不符合题意； D、因为，所以有意义，故此选项不符合题意； 故选：A． 20．使式子在实数范围内有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：B． 21．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】此题考查了分式、二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于，分母不等于列式求解即可，熟练掌握分式、二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴的取值范围是， 解得：， 故选：． 22．若分式的值为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查分式为零的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式为零的条件是且是解答的关键． 根据分式为零的条件得到且，然后解方程即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得且， ∴， 故选：B． 23．若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，用数轴表示不等式的解集，根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，求解后，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 在数轴上表示解集如图： 故选D． 24．若，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件，是解答本题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 25．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)． (2)． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了零次幂的性质，二次根式有意义的条件； （1）根据二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可； （2）根据零次幂的性质，二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：； （2）由题意，得， 解得：且． 26．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3)，且 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 对于（1），根据二次根式有意义的条件可知，可求出答案； 对于（2），根据题意可知，可得答案； 对于（3），根据二次根式和分式有意义的条件可知，且，求出答案； 对于（4），根据题意可得，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 解得． 所以当得时，原式有意义； （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义； （3）解：根据题意，得，且， 解得，且． 所以当，且时，原式有意义； （4）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义． 27．若实数满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入上式得， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b的值是关键． 题型五 利用二次根式的性质化简 28．下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的性质化简，据此相关性质内容进行分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是不符合题意； B、，故该选项是不符合题意； C、，故该选项是不符合题意； D、，故该选项是符合题意； 故选：D 29．化简或计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，逐一进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算算术平方根、零指数幂、立方根，再计算加减法即可； （2）先计算负整数指数幂、绝对值和二次根式，再去括号计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．对于任意实数，一定等于a吗？ 解 当时， 当时， 当时，则 根据以上内容，化简或计算下列各式 (1)； (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． （1）先根据判断出及的符号，进而可得出结论； （2）根据判断出与的符号，进而可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， 原式； （2）， ，， ，， 原式． 题型六 最简二次根式的判断 32．下列式子中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式需满足的两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分析各选项，判断其是否为最简二次根式． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，错误； B、，被开方数是小数（可化为分数），不是最简二次根式，错误； C、的被开方数5不含分母，且5不能开得尽方，是最简二次根式，正确； D、，被开方数9是能开得尽方的数，不是最简二次根式，错误． 故选：C． 33．在下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，对选项依次判断即可． 【详解】A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 34．下列各数，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故A不符合题意； B．是最简二次根式，故B不符合题意；     C．是最简二次根式，故C不符合题意；     D．，故不是最简二次根式，故D符合题意； 故选：D． 35．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案． 【详解】解：，，，，， 是最简二次根式的是，只有1个． 故选：A． 题型七 化为最简二次根式 36．把下列各式化为最简二次根式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简． （1）先将二次根式变形，再利用商的算术平方根的性质进行化简即可； （2）先将二次根式变形，再利用商的算术平方根的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 37．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的化简． （1）利用二次根式的性质进行化简即可； （2）利用二次根式的性质进行化简即可； （3）利用二次根式的性质进行化简即可； （4）利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型八 求最简二次根式中的参数 38．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 39．已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 【详解】根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 40．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 【答案】D 【分析】由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴23﹣a＝2时，a＝21； 23﹣a＝8时，a＝15； 23﹣a＝18时，a＝5； 23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）； ∴符合条件的正整数a的值为5、15、21． ∴a的最小值为5． 故选D． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念． ． 题型一 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式 41.在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝ ． 【答案】/ 【分析】先将x2+8x配方，然后根据平方差公式求解即可． 【详解】解：x2+8x﹣11＝x2+8x+16﹣16﹣11＝（x+4）2﹣27＝（x+4+3）（x+4﹣3）． 故答案为：（x+4+3）（x+4﹣3）． 【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握公式法分解因式是解答的关键． 42.将在实数范围内分解因式得 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解常用的方法是解题关键 43.在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先将7化为，然后利用平方差公式，即可得解； （2）首先提取公因式，将5化为，然后利用平方差公式，即可得解； （3）首先将化为，11化为，然后利用平方差公式，即可得解； （4）首先将3化为，然后利用完全平方公式，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】此题主要考查利用二次根式的性质进行分解因式，熟练掌握，即可解题． 44.在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先把当成一个整体分解一次，再利用平方差公式继续分解因式. 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，实数范围内分解因式主要利用把一个整数写成平方形式再进行分解因式. 题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 45．实数在数轴上的对应点如图，把化简后是（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式化简，涉及由数轴确定字母大小及式子符号，熟记二次根式性质及绝对值代数意义是解决问题的关键．先由实数在数轴上的对应点位置判断，进而确定，，，再由二次根式性质及绝对值代数意义化简代数式式即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 则，，， ， 故选：A． 46．若，化简的正确结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，化简绝对值，先判断，，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】， ， 故选B． 47．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 48．我们知道形如的式子叫二次根式．二次根式有性质，已知数在数轴上的位置如图所示，请化简： 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，整式的加减法，根据题意得出相应式子的符号是解题关键． 先根据数轴判断实数的符号，式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ，，， ∴ ． 49．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3）． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及绝对值的化简，三角形的三边关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式． （1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可； （2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质进行化简计算； （3）根据三角形三边关系确定和的正负性，再对二次根式进行化简计算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3），b，c为的三边长， ，， ，， ． 题型三 二次根式中的规律问题 50．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 51．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 52．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 53．已知有理数、满足等式． (1)求的平方根； (2)计算：． 【答案】(1)的平方根是； (2) 【分析】（1）利用二次根式有意义的条件求得，继而求得，代入计算即可求解； （2）代入，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：代入，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式的定义进行求解． 54．【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】（1）；；；（2）（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】本题考查数字类规律探索、分式的加减、二次根式的混合运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）将各式计算后即可求得答案； （2）根据已知等式总结规律并证明即可； （3）利用规律将原式化简后进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；；； （2）第个等式为（为正整数），证明如下： ； （3）原式 ． 55．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 56．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 57．设，求不超过的最大整数值． 【答案】2023 【分析】先对通项进行化简变形，得到的形式，再将展开，通过裂项相消的方法计算出的值，最后确定不超过的最大整数值． 本题主要考查了二次根式的化简以及裂项相消法求和，熟练掌握二次根式的性质和裂项相消的方法是解题的关键． 【详解】解：， 不超过的最大整数为2023． 58．我们定义：如果两个数或式子A与B的和为常数，且这个常数为正数，则称A，B互为“H式”，这个常数称为A与B的“H值”．如，则A，B互为“H式”，A与B的“H值”为1． (1)判断C，D是否互为“H式”．（在横线上填“是”或“不是”） ①，，______； ②，，______； ③，，______； (2)设，，，，是从1，0，这三个数中取值的一列数，若，且，则： ①，，，，中0的个数有几个？ ②，，，，中两两互为“H式”的组数是多少？ 【答案】(1)不是，是，是 (2)①有15个0②85组 【分析】本题考查新定义，分式的加减运算，二次根式的意义，三元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，分别计算出各组两式的和，进行判断即可； （2）①设有个1，个0和个，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可； ②根据新定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：①，故C，D不是互为“H式”； ②； 故C，D是互为“H式”； ③， ∵， ∴， ∴；故C，D是互为“H式”； （2）①设有个1，个0和个，由题意得： ，解得：， 故有15个0； ②当两数均为1时，，互为“H式”，共有组； 当两数为0，1时，，互为“H式”，共有组； 故共有组． 59．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1二次根式 （8大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 辨别二次根式 题型二 求二次根式的值 题型三 求二次根式中的参数 题型四 二次根式有意义的条件 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 最简二次根式的判断 题型七 化为最简二次根式 题型八 求最简二次根式中的参数 能力提升题 题型一 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式 题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型三 二次根式中的规律问题 题型一 辨别二次根式 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型二 求二次根式的值 5．已知，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6.已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 7．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 8．若求的值． 9．若实数x，y满足，求的值． 10．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 题型三 求二次根式中的参数 11．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 12．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 15．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 16．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 题型四 二次根式有意义的条件 17．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．下列式子中无意义的是（   ） A． B． C． D． 20．使式子在实数范围内有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 21．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 22．若分式的值为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．0 23．若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 24．若，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不能确定 25．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)． (2)． 26．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 27．若实数满足，求的平方根． 题型五 利用二次根式的性质化简 28．下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 29．化简或计算： (1)； (2)； (3)； 30．计算： (1)； (2)． 31．对于任意实数，一定等于a吗？ 解 当时， 当时， 当时，则 根据以上内容，化简或计算下列各式 (1)； (2) 题型六 最简二次根式的判断 32．下列式子中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 33．在下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 34．下列各数，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 35．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 化为最简二次根式 36．把下列各式化为最简二次根式． (1)； (2)． 37．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八 求最简二次根式中的参数 38．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 39．已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 40．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 ． 题型一 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式 41.在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝ ． 42.将在实数范围内分解因式得 ． 43.在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 44.在实数范围内分解因式： ． 题型二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 45．实数在数轴上的对应点如图，把化简后是（  　） A． B． C． D． 46．若，化简的正确结果为（   ） A． B．1 C． D． 47．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 48．我们知道形如的式子叫二次根式．二次根式有性质，已知数在数轴上的位置如图所示，请化简： 49．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 题型三 二次根式中的规律问题 50．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 51．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 52．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 53．已知有理数、满足等式． (1)求的平方根； (2)计算：． 54．【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 55．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 56．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 57．设，求不超过的最大整数值． 58．我们定义：如果两个数或式子A与B的和为常数，且这个常数为正数，则称A，B互为“H式”，这个常数称为A与B的“H值”．如，则A，B互为“H式”，A与B的“H值”为1． (1)判断C，D是否互为“H式”．（在横线上填“是”或“不是”） ①，，______； ②，，______； ③，，______； (2)设，，，，是从1，0，这三个数中取值的一列数，若，且，则： ①，，，，中0的个数有几个？ ②，，，，中两两互为“H式”的组数是多少？ 59．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $