专题04 与有理数运算有关的六大题型（高效培优专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题04 与有理数运算有关的六大题型 题型一：有理数乘除运算律的应用 题型二：倒数法 题型三：程序流程图与有理数计算 题型四：新定义 题型五：乘方规律 题型六：有理数运算的实际问题 题型一：有理数乘除运算律的应用 1．运用运算律简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1)-150 (2) 【分析】（1）根据乘法交换律和结合律简便计算； （2）根据乘法分配律简便计算. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化. 2．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数加减运算法则，结合加法交换律和结合律，进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： ； 【答案】 【分析】本题考查的是乘法分配律的应用，直接利用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】10 【分析】本题考查有理数的混合运算，先利用乘法分配律计算，然后求和，最后运算除法解答即可． 【详解】解：原式 ． 5．能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)100 (4) 【分析】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律． （1）把2024写成，然后根据乘法的分配律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可； （4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解∶ ． 6．脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【分析】此题主要考查有理数的混合运算以及运算律的综合运用，解答此题的关键是通过观察算式，再确定简便算法，要灵活运用运算律， （1）先把加法化为乘法，再用乘法交换结合律进行计算即可； （2）先去小括号，再根据乘法分配律计算即可； （3）先计算括号内的运算，再计算乘法即可； （4）先计算括号内运算，再把除法化为乘法，进而即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 7．计算，能简算的要简算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的计算： （1）按从左到右顺序计算； （2）将除法转化为乘法后，运用乘法分配律简算； （3）先算括号内加法，再按从左到右顺序计算． 【详解】解：（1） （2） （3） 8．递等式计算，怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)8 (3)58 (4)28 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运算减法，最后运算加法，即可作答． （2）结合乘法运算律进行简便运算，即可作答． （3）先整理原式，结合乘法运算律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，结合乘法运算律进行简便运算，即可作答． （5）先整理原式，然后运算乘法，最后运算除法，即可作答． （6）先运算括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 9．脱式计算下列各题，怎样简便就怎样运算， (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算；关键掌握运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算． ()先算小括号里面的减法，再算中括号里面的加法，最后算中括号外面的乘法； ()根据除法的性质 进行简算； ()根据乘法分配律进行简算； 【详解】（1）解： （2） （3） 10．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要注意使用运算律进行简便运算. （1）使用乘法交换律进行简便运算； （2）使用乘法交换律进行简便运算； （3）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； （4）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型二：倒数法4 11．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 12．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 13．请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：原式的倒数 ． ∴原式． 14．我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 【答案】(1)； (2)1； (3)． 【分析】本题主要考查了倒数的定义和运用，有理数的四则混合运算等知识． （1）利用倒数的定义即可得出答案； （2）利用倒数的定义即可得出答案； （3）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：a的倒数为： （2）解：若a、b互为倒数，则 （3）解：的倒数为： ∴ 题型三：程序流程图与有理数计算 15．定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第449次“运算”的结果是多少？ 【答案】8 【分析】本题考查的是数字的规律探究，能根据所给条件得出时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：由“运算”的含义，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数）， 需再进行F②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），…， 即第次运算结果为， 第次运算结果为， 第次运算结果为， 第次运算结果为，第次运算结果为，…， 可以发现第次运算结果为，第次运算结果为， 从第次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为，偶数次为，而第次是奇数， 这样循环计算一直到第次“运算”，得到的结果为． 16．根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 【答案】(1) (2)或11 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算： （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）分2种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：， 是正数，输出； 故输出的结果为； （2）当计算结果为时：； 当计算结果为4时：； 综上：被墨水污染的数为或11． 17．平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，列出计算式，然后计算即可； （2）①根据题意，分别计算出按顺序F→E→→和F→E→→的结果，再结合题意，即可解答本题； ②根据题意可知，当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：①若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 计算结果为， 故摸球顺序为F→E→→， 故答案为：； ②由题意可得：当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大， ． 故答案为：． 18．有一个数学游戏，如图1，一个数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置．例如：将3按照 (或)的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)小明发现将一个数按照的顺序进行第一次运算得到的结果比这个数按照的顺序进行第二次运算得到的结果永远大12．请验证这个结论． 【答案】(1)； (2)详见解析 【分析】（1）根据设定的运算法则列式，根据有理数的混合运算解答即可； （2）根据列式，去括号，合并同类项，比较结果解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 又． （2）解：设A表示的数为x根据题意，得的算式为： ． 根据题意，得的算式为：， ， 又 ． 故结论正确． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，去括号，合并同类项熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．【数学魔术】（1）魔术师请观众在心中想好一个数，然后将这个数按以下步骤计算，最后将计算结果告诉魔术师，魔术师能立刻说出观众想的那个数． 如果小明想的数是，那么他告诉魔术师的数是__________； 如果小明告诉魔术师的数是a，那么他想的数是__________． 【魔术创新】（2）小明对数学魔术很感兴趣，他对小丽说：“请你任意想一个两位数，把这个两位数的十位数字先乘2，再加3，然后把所得的和乘5，最后加上个位数字，所得的结果告诉我，我就能准确说出你想的那个数．“请用代数式的有关知识解释此魔术的奥秘 【答案】（1）；；（2）见解析 【分析】本题主要考查列代数式，整式加减的应用，并对整式的相应的运算法则的掌握． （1）根据程序框图列出算式计算即可； （2）设这个两位数为，由题意知结果为，化简即可得出答案． 【详解】解：（1）如果小明想的数是， 那么他告诉魔术师的数是 ； 如果小明告诉魔术师的数是a， 那么他想的数是 ； 故答案为：、； （2）设这个两位数为， 由题意知，， 即将所得结果减去15即为原数． 20．【问题背景】 新苏科版数学教材七上第68、81、83页分别出现了程序计算问题，这些问题直观演示了一个代数式所表示的运算过程．其实，计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是编制程序计算.根据你的学习经验，完成下列探究活动. 【课本变式】 （1）如图1中的程序计算，若小明输入a的值为，则输出的结果为______； (2）小丽设置了一个程序计算如图2．若输出结果为4，则输入的x的值为______； 【拓展延伸】 （3）小雷同学也设置了一个程序计算如图3，是数据输入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的结果由输出，此种程序完成的计算需同时满足以下三个特征： ①若由分别输入1，则输出结果3，记； ②若由输入1，由输入的自然数比原来增加1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若由输入任何固定自然数不变，由输入自然数比原来增加1，则输出结果比原来增大4，记． 回答下列问题： 问题1：计算______，______； 问题2：计算______．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）或 （3）问题1：；问题2： 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算与程序图，代数式的求值，整式的混合运算，理解程序图的计算方法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）分两种情况讨论：第一种情况：当时，；第二种情况：当时，；解方程即可求解； （3）问题1：根据材料提示可得，，由此即可求解； 问题2：由材料提示的计算可得，，共有个，由此即可求解． 【详解】解：（1）当时，，， 故答案为：； （2）第一种情况：当时，， 解得，，（不符题意，舍去）； 第二种情况：当时，， 解得，； ∴输入的的值是或； （3）问题1：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 问题2：∵， ∴，，， ∴， 同理，，，， ∴，共有个， ∴， 故答案为：． 故答案为：（1）；（2）或（3）问题1：；问题2：． 题型四：新定义 21．定义一种新运算：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目的新定义可得：；计算即可； （2）根据题目的新定义可得：，计算出括号里的数，然后再根据新定义计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，定义新运算，读懂题意，理解题目所给出的新运算是解本题的关键． 22．对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b﹣a﹣b+1． （1）计算（﹣3）⊗4的值； （2）填空：5⊗（﹣2）　 　（﹣2）⊗5（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）a⊗b与b⊗a相等吗？若相等，请说明理由． 【答案】（1） -12；（2）＝；（3）相等；理由见解析 【分析】（1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知两式利用题中新定义化简，比较即可； （3）已知两式利用题中新定义化简，比较即可． 【详解】解：（1）根据题意得：原式＝； （2）5⊗（−2）＝−10−5＋2＋1＝−12；（−2）⊗5＝−10＋2−5＋1＝−12， 则5⊗（−2）＝（−2）⊗5， 故答案为：＝； （3）相等，理由如下： a⊗b＝ab−a−b＋1，b⊗a＝ab−b−a＋1， 则a⊗b＝b⊗a． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．观察下列两个等式：①，②．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为．如：数对，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是不是“共生有理数对”． (2)若是“共生有理数对”，判断是否为“共生有理数对”，并说明理由． 【答案】(1)不是 (2)是，理由见解析 【分析】题目主要考查新定义理解，有理数的乘法运算，理解题意是解题关键． （1）根据有理数的乘法运算及新定义进行判断即可； （2）根据新定义及有理数的乘法运算即可判断． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以不是“共生有理数对”． （2）是“共生有理数对”．理由如下： 因为是“共生有理数对”， 所以， 所以， 所以是“共生有理数对”． 24．定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解新运算，熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据新定义运算进而代入求出即可． （2）根据题意确定出所求新运算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． （2）解：示例：定义新运算， 则． 25．若定义一种新的运算“⊙”，规定有理数，如．求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据题目定义的新运算转化为有理数运算是解题的关键. （1）根据，把转化为常规运算计算即可； （2）根据，先算，再算即可. 【详解】（1）解： （2）解： 26．我们定义一种新运算，规定：图形表示，图形表示，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的加、减、乘法运算，先根据新运算列出算式，然后根据有理数的加、减、乘法运算法则进行计算即可，掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． 【详解】 解： ． 27．【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0． 例如：；；；；； 【应用】 （1） ； ； ． （2）计算：． 【拓展】 （3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 【答案】（1）0，，20；（2）；（3）不成立，举例见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）按照混合运算顺序和新定义，先算括号里面的，再算括号外面的即可得； （3）举出例子，根据新定义分别算出和的值，进行判断即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：0，，20． （2） ． （3）不成立，举例如下： 当时， ， ， 所以不成立． 题型五：乘方规律 28．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 29．【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 30．观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是对数字变化规律的考查，有理数乘方的应用； （1）观察可得，后一个数是前一个数字的倍解答即可； （2）观察可得，第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，即可求解； （3）根据各行的第个数的表达式列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）第①行数的第个数是：， 故答案为； （2）由图中的数据可得， 第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，则第②行数的第个数是， 第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，则第③行数的第个数是， 故答案为：，； （3）解：取每行的第个数，这三个数的和能等于， 令， ∴ 解得，， 即取每行的第个数，这三个数的和能等于． 31．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据题意和图形解答即可； （）由图形可求出第二行、第三行的数字之和，进而求出第四行、第五行的数字之和，从而找到规律，即可得到第行的数字之和； （）设前行所有的数字之和为，可得，，用即可求解； 本题考查了数字类变化规律，有理数的加法和乘方运算，整式的加减，解题的关键是观察图形的变化，找到数字的变化规律． 【详解】（1）解：由题意得，图中第行第个数是， 故答案为：； （2）解：由图可得，第二行的数字之和是，第三行的数字之和， ∵第二行的数字之和是， 第三行的数字之和是， 第四行的数字之和是， 第五行的数字之和是， ， ∴第行的数字之和， 故答案为：，，； （3）解：设前行所有的数字之和为， 则， ∴ 得， ， 即， ∴图中前行所有的数字之和为． 32.你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从，2，3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论． (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ …（填“”或“”或“”）． (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： ． 【答案】(1)①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥ (2)当时，，当时， (3) 【分析】本题主要考查了规律型的知识．归纳所给式子的特点，得出其规律是解题的关键． （1）计算出各个数的乘方，再比较大小即可； （2）根据（1）中的运算总结，并用含n的式子表示两数的乘方，以及大小关系，并分析的取值情况； （3）根据（2）中得出的规律直接得出结论即可． 【详解】（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； ③∵，， ∴； ④∵，， ∴； ⑤∵，， ∴； ⑥∵，， ∴； … 故答案为：；；；；； （2）由（1）知，对于正整数n，当时，，当时，； （3）由（2）知，． 故答案为：． 33．探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 【答案】(1)连线见详解， (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算，连线，找出规律即可； （2）根据（1）中的规律，先展开，再根据分数的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解：连线如图所示， ∴； （2）解： ． 34．观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)55 (3) 【分析】本题主要考查数字规律及有理数的乘方运算，解题的关键是得出数字的一般规律及有理数的乘方运算； （1）根据题干所给算式可进行求解； （2）由（1）及题意可得规律，然后代入进行求解即可； （3）根据规律可进行求解 【详解】（1）解：由题意得：第⑧条算式为； 故答案为； （2）解：根据（1）中规律得： 原式 ； （3）解：由题意得： 35．观察以下等式： ； ； ； ， (1)请写出第个等式：________________； (2)根据规律，用含字母的式子表示第个等式：________________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是仔细阅读题目，根据题目所给的内容，发现规律，利用规律解决问题． 根据前三个等式中的指数的变化规律写出第个等式即可； 根据的规律写出第个等式； 首先设，则有，把两个等式的左右两边分别相减即可． 【详解】（1）解：； ； ； 第个等式应为； （2）解：由的规律可知： 第个等式为：； （3）解：设， 则有， ． 题型六：有理数运算的实际问题 36．某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆？ (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ (4)该自行车厂规定，每生产一辆自行车可得80元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖25元，少生产一辆自行车扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)星期四生产自行车212辆 (2)该厂本周实际生产1410辆 (3)产量最多的一天比产量最低的一天多26辆 (4)该厂工人这一周工资总额是113050元． 【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用．认真审题，准确的列出式子是解题的关键． （1）计算平均每天产量与周四与计划出入的和； （2）先计算出该厂每天与计划出入的和，再加上一周的自行车计划产量； （3）最高一天的产量减最少一天的产量； （4）该厂一周工资实际自行车产量超额自行车产量． 【详解】（1）解：星期四生产自行车辆数：（辆）； （2）解： （辆）． 答：该厂本周实际生产1410辆； （3）解：（辆）． 答：产量最多的一天比产量最低的一天多26辆； （4）解：（元）． 答：该厂工人这一周工资总额是113050元． 37.某宾馆餐厅购进10袋大米，若每袋以50千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： ． (1)根据记录，请求出一袋大米的平均质量； (2)若每千克大米的价格是2元，购进这10袋大米需要多少钱． 【答案】(1)一袋大米的平均质量为 (2)购进10袋大米需要998元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数四则运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）求出记录数据的代数和，得出10袋大米的总质量，再除以10即可求解； （2）将10袋大米的总质量乘以每千克大米的价格，即可解答． 【详解】（1）解： 答：一袋大米的平均质量为； （2）解：（元） 答：购进10袋大米需要998元． 38．古代数学名著《九章算术》里记载了一道很有意思的老鼠打洞问题，下面是一个类似的情境：现甲、乙两工程队需要修一条长1080米的路，甲工程队与乙工程队第一天都修64米，甲工程队以后每天修的路是前一天的2倍，乙工程队以后每天修的路是前一天的一半．当修到第几天时，两工程队正好相遇？此时甲比乙多修多少米？ 【答案】第4天相遇，840米 【分析】本题考查的是有理数混合运算的应用，依题意分别求出第二天至第四天两队每日修路长度之和，可知四天修路总长度恰好为1080米，由此得出结论． 【详解】解：第二天甲：（米）第二天乙：（米），合计160米 ； 第三天甲：（米）第三天乙：（米），合计272米； 第四天甲：（米）第四天乙：（米），合计520米； ∵（米） ∴甲乙工程队第4天相遇 ， 甲比乙多修：（米）． 39．周末，小军一家自驾从上海去黄山探望外公外婆． (1)小军家的汽车油箱容量为升，使用号汽油．那么当爸爸看到下图所示的汽车油表时，大约需要花多少钱将油箱加满？ 燃油价格表 燃油标号 价格/（元/升） 号汽油 号汽油 号汽油 号柴油 (2)汽车在高速公路上匀速行驶，右面是小军不同时刻看到的两个路牌．照这样计算，小军家的车再行几小时到达黄山？ (3)汽车在高速公路上继续匀速行驶，当距离外公外婆家千米时，舅舅正好从外公外婆家出发开车去上海．结果小军和舅舅小时后在途中恰好到达同一位置，舅舅的开车速度是多少？ 【答案】(1)元 (2)小时 (3)千米/时 【分析】（）用燃油的升数乘以价格即可求解； （）求出汽车的速度，再用路程除以速度即可求解； （）求出舅舅行驶的路程，再除以时间即可求解； 本题考查了有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：（元）， 答：大约需要花元钱将油箱加满； （2）解：（千米小时）， （小时）， 答：小军家的车再行小时到达黄山； （3）解：（千米）， （千米小时）， 答：舅舅的开车速度是千米小时． 40．出租车司机小李某天上午营运时总在东西走向的大街上行驶，规定向东方向为正，向西方向为负，从他接到的第一位乘客开始计算，他这天上午连续接位乘客的行车里程单位千米为：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李的位置在哪里？ (2)若汽车耗油量为每千米升，这天上午小李接送乘客共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为千米包括千米，超过部分不足千米的按千米计算，每千米元，问小李这天上午共获得车费多少元？ 【答案】(1)小李在第一位乘客上车点的西边的位置 (2) (3)元 【分析】（1）计算出六次行车里程的和，看其结果的正负即可判断其位置； （2）求出所记录的六次行车里程的绝对值，再计算耗油即可； （3）不超过的按元计算，超过的在元的基础上，再加上超过部分乘以元，据此求解即可． 本题主要考查有理数的运算（包括加减运算、绝对值运算 ）在实际问题中的应用，熟练掌握有理数运算规则以及出租车车费计费规则是解题的关键． 【详解】（1）解：． 故此时小李在第一位乘客上车点的西边的位置； （2）解：千米， ． 答：出租车共耗油； （3）解：根据题意可得： （元）． 答：小李这天上午共得车费元． 41．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米 (2)这七天中平均每天行驶千米 (3)估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是元 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的加减乘除法的应用，熟练掌握题意，正确列出各运算式子是解题关键． （1）用多于50千米最多的减去不足50千米最少的； （2）50加上将表格中数字的和除以7的商即可得； （3）用（2）中的结果乘以30求出一个月行驶的总里程，再乘以平均每千米耗油量，最后乘以油价8，即得小明家一个月的汽油费用． 【详解】（1）（千米）， 答：行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米； （2） （千米）， 答：这七天中平均每天行驶千米； （3）（元）， 答：小明家一个月的汽油费用约为元． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与有理数运算有关的六大题型 题型一：有理数乘除运算律的应用 题型二：倒数法 题型三：程序流程图与有理数计算 题型四：新定义 题型五：乘方规律 题型六：有理数运算的实际问题 题型一：有理数乘除运算律的应用 1．运用运算律简便计算： (1)． (2)． 2．用简便方法计算： (1) (2) 3． 计算： ； 4． 计算：． 5．能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 6．脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 7．计算，能简算的要简算． (1)； (2)； (3)． 8．递等式计算，怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) 9．脱式计算下列各题，怎样简便就怎样运算， (1) (2) (3) 10．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型二：倒数法4 11．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 12．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 13．请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： 14．我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 题型三：程序流程图与有理数计算 15．定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第449次“运算”的结果是多少？ 16．根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 17．平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 18．有一个数学游戏，如图1，一个数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置．例如：将3按照 (或)的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)小明发现将一个数按照的顺序进行第一次运算得到的结果比这个数按照的顺序进行第二次运算得到的结果永远大12．请验证这个结论． 19．【数学魔术】（1）魔术师请观众在心中想好一个数，然后将这个数按以下步骤计算，最后将计算结果告诉魔术师，魔术师能立刻说出观众想的那个数． 如果小明想的数是，那么他告诉魔术师的数是__________； 如果小明告诉魔术师的数是a，那么他想的数是__________． 【魔术创新】（2）小明对数学魔术很感兴趣，他对小丽说：“请你任意想一个两位数，把这个两位数的十位数字先乘2，再加3，然后把所得的和乘5，最后加上个位数字，所得的结果告诉我，我就能准确说出你想的那个数．“请用代数式的有关知识解释此魔术的奥秘 20．【问题背景】 新苏科版数学教材七上第68、81、83页分别出现了程序计算问题，这些问题直观演示了一个代数式所表示的运算过程．其实，计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是编制程序计算.根据你的学习经验，完成下列探究活动. 【课本变式】 （1）如图1中的程序计算，若小明输入a的值为，则输出的结果为______； (2）小丽设置了一个程序计算如图2．若输出结果为4，则输入的x的值为______； 【拓展延伸】 （3）小雷同学也设置了一个程序计算如图3，是数据输入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的结果由输出，此种程序完成的计算需同时满足以下三个特征： ①若由分别输入1，则输出结果3，记； ②若由输入1，由输入的自然数比原来增加1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若由输入任何固定自然数不变，由输入自然数比原来增加1，则输出结果比原来增大4，记． 回答下列问题： 问题1：计算______，______； 问题2：计算______．（用含的代数式表示） 题型四：新定义 21．定义一种新运算：． (1)求的值； (2)求的值． 22．对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b﹣a﹣b+1． （1）计算（﹣3）⊗4的值； （2）填空：5⊗（﹣2）　 　（﹣2）⊗5（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）a⊗b与b⊗a相等吗？若相等，请说明理由． 23．观察下列两个等式：①，②．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为．如：数对，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是不是“共生有理数对”． (2)若是“共生有理数对”，判断是否为“共生有理数对”，并说明理由． 24．定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且． 25．若定义一种新的运算“⊙”，规定有理数，如．求： (1)的值． (2)的值． 26． 我们定义一种新运算，规定：图形表示，图形表示，求的值． 27．【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0． 例如：；；；；； 【应用】 （1） ； ； ． （2）计算：． 【拓展】 （3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 题型五：乘方规律 28．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 29．【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 30．观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 31．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 32.你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从，2，3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论． (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ …（填“”或“”或“”）． (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： ． 33．探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 34．观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 35．观察以下等式： ； ； ； ， (1)请写出第个等式：________________； (2)根据规律，用含字母的式子表示第个等式：________________； (3)计算：． 题型六：有理数运算的实际问题 36．某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆？ (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆？ (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ (4)该自行车厂规定，每生产一辆自行车可得80元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖25元，少生产一辆自行车扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 37.某宾馆餐厅购进10袋大米，若每袋以50千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： ． (1)根据记录，请求出一袋大米的平均质量； (2)若每千克大米的价格是2元，购进这10袋大米需要多少钱． 38．古代数学名著《九章算术》里记载了一道很有意思的老鼠打洞问题，下面是一个类似的情境：现甲、乙两工程队需要修一条长1080米的路，甲工程队与乙工程队第一天都修64米，甲工程队以后每天修的路是前一天的2倍，乙工程队以后每天修的路是前一天的一半．当修到第几天时，两工程队正好相遇？此时甲比乙多修多少米？ 39．周末，小军一家自驾从上海去黄山探望外公外婆． (1)小军家的汽车油箱容量为升，使用号汽油．那么当爸爸看到下图所示的汽车油表时，大约需要花多少钱将油箱加满？ 燃油价格表 燃油标号 价格/（元/升） 号汽油 号汽油 号汽油 号柴油 (2)汽车在高速公路上匀速行驶，右面是小军不同时刻看到的两个路牌．照这样计算，小军家的车再行几小时到达黄山？ (3)汽车在高速公路上继续匀速行驶，当距离外公外婆家千米时，舅舅正好从外公外婆家出发开车去上海．结果小军和舅舅小时后在途中恰好到达同一位置，舅舅的开车速度是多少？ 40．出租车司机小李某天上午营运时总在东西走向的大街上行驶，规定向东方向为正，向西方向为负，从他接到的第一位乘客开始计算，他这天上午连续接位乘客的行车里程单位千米为：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李的位置在哪里？ (2)若汽车耗油量为每千米升，这天上午小李接送乘客共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为千米包括千米，超过部分不足千米的按千米计算，每千米元，问小李这天上午共获得车费多少元？ 41．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $