七 垂线和平行线-【拔尖特训】2025-2026学年四年级上册数学（冀教版）

垂线和平行线 第1课时 习基础进阶 1.在互相垂直的两条直线下面的括号里 画“⊥” ,×二 2.★判断。 (1)如果两条直线相交成的角中有一 个角是直角，那么这两条直线一定互 相垂直。 () (2)长方形相邻的两条边互相垂直。 a (3) 直线a叫做直线b的垂 线。 ( (4) 中的点O是垂足。( 3.下面的图形中，一共有( )组互相 垂直的线段。 团能力攀升 4.选择。 (1)9时整，钟面上时针和分针()。 A.互相垂直B.不垂直C.不相交 认识垂线 (2)(学科融合)下面的汉字中，含有垂 线的有( )个。 三上木火干末 A.6 B.5 C.4 (3)如图，点P到直线1的距离是线 段( )的长。 B A.PA B.PB C.PC 5.(生话应用)如果他们的速度相同，那 么谁最有可能先抢到皮球？这个游戏 公平吗？ 小刚 小明 小丽 小红 6.（说理表达)如图，∠1=∠2，∠3= ∠4，直线a和直线b是什么位置关 系？请通过计算说明理由。 6 7 拔尖特训 数学（冀教版）四年级上 第2课时 习基础进阶 1.选择。 (1)下面垂线的画法中，不正确的是图 ()。 B C. (2)在同一平面内，能画出( )条已 知直线的垂线；过直线外一点能画出 ()条已知直线的垂线。 A.1 B.2 C.无数 2.画一个长3厘米、宽2厘米的长方形。 3.(学科融合)比萨斜塔是世界七大奇迹 之一。科学家伽利略在这里进行了著 名的自由落体实验，证明了两个质量 不同的球，同时从同一高度坠落，它们 将同时着地。请你在图中画出球下落 的路线。 5 画垂线 中能力攀升 4.(生话应用)某市交通部门规划在迎春 路和利民路上分别设置一个公交站，请 你画出公交站的位置，使得园丁小区的 居民到两个公交站的距离都最近。 园丁小区 迎春路 利民路 5.下面是红星小学的部分平面图，请你 设计一个正方形草坪和两个长方形花 坛，并给它们涂色。 操场 替 实验 教学楼 6.(社会生活)如图，直线m为某地震带发 生地震导致的灾害现场，两支救援队分 别在点A和点B的位置，他们要在灾 害现场汇合。现在要确定一个点D, 使这两支救援队到达灾害现场的距离 之和最短，以确保伤者能够及时得到 救援。请你在图中画出这个点的位置。 B m 8 第3课时 习基础进阶 1.在互相平行的两条直线下面的括号里 画“/”，在互相垂直的两条直线下面的 括号里画“⊥”。 2.填空」 (1)下图中有3条直线a、b、c。其中 ( )和( )互相平行，( )和 ( )互相垂直，( )和( )也 互相垂直。 (2)在同一个平面内，能画( )条直 线与已知直线平行；过直线外一点能 画( )条直线与已知直线平行。 3.在下图中各找出两组平行线，并用不 同颜色的笔描出来。 七垂线和平行线 平行线 团能力攀升 4.(操作探究)(1)在左下图中分别过点 A、B画直线l的平行线。 ①你画的这两条直线的位置关系是 ( ）。 ②结论：如果两条直线都平行于同一 条直线，那么这两条直线( )。 (2)在右上图的两条平行线间画3条 与平行线互相垂直的线段。 ①这3条线段不仅长度( ),而且 互相( ）。 ②结论：两条平行线之间的( )都相等。 5.(说理表达)下图是挂在天花板上的 “安全出口”指示牌。请你验证一下， 指示牌挂歪了吗？你是怎么验证的？ 安全出加 6.★（创新应用）图中共有()组平 行线。 D 拔尖特训 数学（冀教版）四年级上 第4课时 团能力攀升 1.填空。 (1)(几何直观)如图所示为学校运动 场上的双杠。两条横杠之间的位置关 系是( ),横杠和竖杠之间的位置 关系是( )。 (2)从小芳家出发有三条小路通往公 路，长度分别是125米、208米、110米， 其中有一条小路与公路是互相垂直 的，那么这条小路的长度是( )米。 (3)在两条平行线之间画两条垂直线 段，一条长3厘米，另一条长( )厘米。 2.在一个三角形的池塘里有一条小 船A,若在三边的岸上各打一个木桩， 然后用绳子来固定小船，则木桩应固定 在岸上的什么位置才能最节约绳子？ 池塘 y. 因思维拓展 3.选择 (1)一张长方形纸上下对折两次形成 的3条折痕( )。 A.互相平行 B.互相垂直 C.可能互相平行也可能互相垂直 复习课 (2)下图中互相平行的直线有() 组，互相垂直的直线有( )组。 A.3 B.4 C.5 4.(市政建设)下面是文化街区的平面示 意图。 玄武新村 中山路 白鹭湖 琅琊路 南京路 (1)新建的青山街经过玄武新村，且与 中山路垂直，请在图中画一画，并标出 街名。 (2)白鹭湖的形状是一个长方形，请你 将它补画完整。 5.(创新应用)一个正方形内一点到正方 形四条边的距离分别是2米、5米、3 米和4米，这个正方形的周长是多少 米？面积是多少平方米？ 七垂线和平行线 提分真题集训 1.填空。 3.(保定高碑店)画一画，填一填。 (1)（石家庄裕华区)如左下图，∠1 (1)过点A作直线f的垂线，标为直线c。 ()°，∠2=( )°。 (2)过点B作直线f的垂线，标为直 线d。 (3)直线c和直线d的位置关系是 A B CDE )。 (2)(保定高碑店)同学们玩“夺宝”游 戏，如右上图，他们分别站在点A、B、 B C、D、E处，同时出发抢到点O处的“宝 4.(石家庄新华区)从采石场修一条通往 贝”算赢。你会选择站在点( )处， 公路的水泥路，怎么修最短？请你把 这是因为( 最短的路线画出来。 )。 2.选择。 公路 (1)（石家庄长安区)图( )中既有 互相平行的线段，又有互相垂直的线段。 采石场 5.(保定涿州)如图，l1和12平行，ED垂 直于l2。 B. B (2)(石家庄新华区)下面的说法中，正 确的是( )。 (1)量得∠BCA的度数为()。 (2)过点B作L2的垂线，垂足标为F。 (3)过点C作AB的平行线。 (4)四边形DEBF是长方形吗？ A.直线a和b互相平行 B.直线d和f互相垂直 C.直线c和d互相平行 61 拔尖特训 数学（冀教版）四年级上 第七单元整合提升 的分类提优训练 (2)用画垂线的方法在平行线间画出 类型一认识垂直与平行 最大的正方形。 同一个平面内的两条直线的位置关系只有两 种：相交与平行。相交成直角的两条直线互 相垂直。垂直是相交的一种特例。 类型三距离最短问题 1.下图中，直线( )和直线( )互 两点之间线段最短；直线外一点到直线的所 相平行，直线( )和直线( )互 有线段中，垂线段最短。 相垂直。 4.(生活应用)如图所示为华华在跳远比 赛中留下的脚印。请你在图中画出测 量成绩时皮尺摆放的位置。（测量成 绩为起跳线至脚后跟的最短距离) 2.(几何直观)下图中，哪些线段互相垂 直？哪些线段互相平行？请写出来。 线 D 个素养拓展训练 素养点求平行线组数 类型二 过一点画已知直线的垂线、用画 5.(探索规律)在同一平面内有10条不 垂线的方法画长方形或正方形 相交的直线，一共有多少组平行线？ 用三角尺画已知直线的垂线，要注意：一条直 若有15条呢？ 角边与已知直线重合，直线上（外）一点在另 思路提示：先分别以2条、3条、4条不相 一条直角边上，最后标上直角符号。 交的直线为例，找出规律，再解决问题。 3.按要求画一画。 (1)过点A、B分别画出已知直线的 垂线。 ·B 624.081901楼层号要增加一位数字解析：根据 题中要求写出对应的门牌号码。当有2栋25层的 居民楼时，可把楼层号增加一位数字。 提分真题集训 1.(1)计数单位数位一亿十进制(2)三 亿八千四百四十万384404个百万4个十 万4(3)7千万(4)10499995000 2.(1)A(2)B(3)C(4)B(5)C 3.(1)763200200367解析：组成的数是一个 六位数，要想使组成的数最大，就要将大数放在高 位上；要想使组成的数最小，就要将小数放在高位 上，但0不能放在最高位上。 (2)答案不唯一，如230067 (3)263700367002解析：用“四舍”法求最大 数，用“五入”法求最小数。 第六单元整合提升 1.(1)十三万三千四百(2)360000000 2.360090500三亿六千零九万零五百 3.(1)250006900解析：要组成最小的一个零也 不读的九位数，0均应在每级的末尾，且数位越高， 数位上的数字就要越小。 (2)965020000解析：要组成最大的只读一个零 的九位数，四个0要放在个级，一个0放在万级的 中间，且数位越高，数位上的数字就要越大。 (3)560000029解析：要组成近似数是6亿的最 小的九位数，应采用“五入”法，即亿位上是5，千万 位上是6或9。因为求最小的九位数，所以千万位 上是6,9应在个位上，2在十位上，其余各数位上 都是0，这个数是560000029。 2 4. 993195198 989931951 951989931>931951989 5.55000000<1920000004亿<47500万 6.34711000019070619380004 7.204999175000 8.(1)8605300八百六十万五千三百 解析：算筹表示的数中，百万位是8，十万位是6，千 位是5，百位是3，其余数位上均是0，所以这个数 是8605300。 (2) 解析：根据算筹表示数字的方法，明确算筹中各个 数位上的数字是几，在相应的数位上画一画。 9.B解析：通过观察数线上涂色区域的数的范 围，根据四舍五入的方法来判断省略亿位后面的尾 数后约是多少亿。数线上59亿到60亿之间被平 均分成了2格，每格表示5000万。A选项，千万位 上小于5，省略亿位后面的尾数时，约是59亿。B 选项，千万位上都大于5，省略亿位后面的尾数时， 要向亿位进1，所以约是60亿。C选项，千万位上 都大于5，省略亿位后面的尾数时，要向亿位进1， 约是61亿，所以选项B符合题意。 垂线和平行线 第1课时认识垂线 八 2.(1)V(2)√(3)√(4)X 易错分析》 混淆相交与垂直的定义 本题容易混淆相交与垂直的定义，将两条 相交的直线看成互相垂直的直线。两条直线 互相垂直时一定相交，但两条直线相交时不一 定互相垂直，只有当两条直线相交所成的角是 直角时，两条直线才互相垂直。 3.8 4.(1)A(2)C(3)B 5.小明最有可能先抢到皮球不公平，因为小明 到皮球的距离最短 6.互相垂直理由：因为∠1=∠2，∠3=∠4， ∠1+∠2+∠3+∠4=180°，所以∠2+∠3= 180°÷2=90°，即直线a和直线b互相垂直。 第2课时画垂线 1.(1)C(2)CA 3厘米 2厘米 4.如图，点A,B即为所求 园丁小区 B 迎春路 利民路 2 5.答案不唯一，如 操场 门 花坛 草坪 花坛 教学楼 实验楼 6. B m 解析：两支救援队在灾害现场的同一侧，可以假设 点A处的救援队在灾害现场的另一侧，见上图中 点C的位置。连接点B、C,与直线m相交于点 D,这样两支救援队到灾害现场的距离之和最短。 第3课时平行线 1.(⊥)()(/)()(/)（⊥） 2.(1)b c a b a c(2)无数1 3.略 4.(1) B ①互相平行 ②互相平行 (2)画法不唯一，如 ①相等平行②垂直线段的长度 5.指示牌挂歪了测量指示牌到天花板的两条垂 直线段的长度，发现两条垂直线段长度不同，说明 2 指示牌与天花板不平行，指示牌挂歪了 6.5 方法归纳>》 判断平行的方法 判断同一个平面内一组直线是否平行，要 看这组直线是否有交点。 第4课时复习课 1.(1)平行垂直(2)110(3)3 2.如图，点B、C、D即为所求 B 池塘 3.(1)A(2)CA 4. 玄武新村 山 中山路 白鹭湖 琅琊路 南京路 5.2+5=7(米)3+4=7（米）周长：7×4=28 (米)面积：7×7=49（平方米）解析：如图，设正 方形内满足题意的点为A,观察正方形内这点到 正方形四条边的距离，会发现正方形的边长就等于 点A到相对的两条边的距离之和，因此正方形的 边长是7米。 A 提分真题集训 1.(1)5040(2)C连接直线外一点与直线 上各点的所有线段中，垂线段最短 2.(1)C(2)A 3.(1)如图所示(2)如图所示(3)互相平行 B d 4. 公路 采石场 解析：连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短，据此画出从采石场到公路的垂线 段即可。 5.(1)65°(2)如图所示(3)如图所示 D A FC (4)四边形DEBF是长方形 解析：因为11和12平行，ED垂直于12，根据一组 平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么这组 平行线中的另一条直线也垂直于第三条直线，可得 ED垂直于L1。又因为BF是过点B作的L2的垂 线，而11和l2平行，所以BF垂直于11。所以这个 四边形DEBF是长方形。 第七单元整合提升 1.acad(最后2空答案不唯一) 2.互相垂直的线段：DE与DC、DE与AB、DE与 AE、DE与BE互相平行的线段：DC与AE、DC 与BE、DC与AB、AD与BC 23 3.(1) (2) 起 线 5.10条：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（组） 15条：1十2+3十4十…+14=105（组） 解析：解决此类问题时，要先根据要求画出图形，再 分析图形间的关系，找到规律后，利用规律解决 问题。 图示 直线条数 2 3 4 5 3=1+ 6=1+ 10=1+ 平行线组数 2+3 2+3+4 八 平均数和条形统计图 第1课时认识平均数 和求平均数 1.(1)总和个数(2)92 2.(1)X(2)√(3)X 易错分析》 未掌握平均数的意义 平均数反映的是一组数据的整体水平，不 代表某个个体。 3.(1)(32+35+29+31+36+40+42)÷7= 35(支)(2)35×7=245（支） 4.小红：(136+141+138+137)÷4=138（下） 小丽：(136+141+133+129+131)÷5=134（下） 138>134应该选小红去参加比赛，因为小红的平 均成绩较好 5.(255十240-90)÷5=81（下）解析：要求平均 每人拍多少下，用全家拍球的总下数除以全家总人 数。全家拍球的总下数=明明与爸爸、妈妈合计拍 球的下数十明明与爷爷、奶奶合计拍球的下数一明 明的拍球下数。 6.53×5一60×4=25解析：通过平均数来计算 出这些数的总和。用5个数的总和减去4个数的 总和，得到的就是去掉的那个数。 第2课时 用平均数 解决问题 1.71611 2.A 3.(1)(310+290+310+410)÷12=110(吨) (2)(310十290)÷6=100（吨） 4.91×3-86-92=95(本)第2天：95本第 3天：92本解析：书店三天共售出91×3=273 (本)，第2天和第3天共售出273一86=187（本）， 再由187一92=95（本），得出被污染的十位上的数 字是9，个位上的数字是5。 5.97×4+117=505(下)505÷5=101（下） 解析：可以先用前4次跳绳的平均成绩乘4，再加 上第5次的成绩就是总成绩，最后除以5就能得到 这5次跳绳的平均成绩。也可以先将第5次的成 绩比前4次的平均成绩多的部分平均分成5份，用 每份数加上前4次的平均成绩，就能求出这5次跳 绳的平均成绩。 6.(90×3+80X2)÷(3十2)=86（千米） 解析：要求长途客车全程平均每小时行驶多少千 米，应该用这辆长途客车行驶的总路程除以行驶的 总时间。总路程包括前3小时行驶的路程(90× 3)千米和后2小时行驶的路程(80×2)千米，行驶 的总时间是(3十2)小时。 7.(90+82+86)÷2=129129÷3=43