第十五章 轴对称 检测卷-【超级考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学学业质量评估（人教版2024）

∴.△ABC≌△EDC(SAS), ∠A=∠E, ∴.AB∥DE (2)证明：由(1)可知，AB∥DE, ∴∠B=∠D 在△BCP和△DCQ中， ∠B=∠D, BC=DC. ∠BCP=∠DCQ, ∴.△BCP≌△DCQ(ASA), ∴.CP=CQ (3)1或2【解析】(3)由(2)可知，当线段PQ经过点 C时，△DCQ≌△BCP,可得DQ=BP, ∴.4-3t=t或3t-4=t, 解得t=1或2. 4第十五章检测卷 1.D2.D3.D4.C 5.B【解析】，△ABC为等边三角形， ∴.AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60. 'BD=AE,∴.△ABD≌△CAE(SAS), ∴.∠BAD=∠ACE,∴∠BCE=∠CAD, ∴.∠FGO=∠ACE+∠CAD=∠ACE+∠BCE= ∠BCA=60°， .∴.∠AGC=120° CF⊥AD,.∠CFG=90°，.∠FCG=30°，.FG= 2cG=号. O是CG的中点， 0G=2CG.0G=FG=号， ∴.△OGF是等边三角形， 0F=号，∠F0G=60. .∠BOC=120°，.∠BOC=∠AGC. 又：∠BCO=∠CAG.BC=CA, ∴.△BCO≌△CAG(AAS), B0=CG=号 ∴BF=B0-OF=号 6.D【解析】如图，在AB上取一点G,使AG=AQ,连 接PG, 过点O作OH⊥AB于点H. :AC平分∠OAB, .∠CAO=∠CAB. 在△APQ和△APG中， (AQ=AG, ∠QAP=∠GAP, AP=AP, .△APQ≌△APG(SAS), ∴.PQ=PG, ∴.OP+PQ=OP+PG. ,点O到直线AB上垂线段最短， .OP+PG的最小值为OH的长度. ·点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(4,0)， .OA=3,OB=4. SAm=2AB·0H=zA0·B0, 0H=A0:B0-3×4=12 AB 5 5 12 OP+PQ的最小值为 2 G B C. -10123456 7.两个锐角互余的三角形是直角三角形 8.139.80°10.2 11.7【解析】延长DE交AB于点F,延长CE交AB于 点G,如图所示 :∠BAD=∠D=60°， ..AF-DF. △ADF是等边三角形， AD=AF=DF,∠AFD=60. G .CA=CB,CE平分∠ACB, CGLAB,即∠CGB=90,AG=2AB=5 .∠GEF=30° 设AD=AF=DF=a. 在Rt△GEF中，∠AFD=6O°，EF=DF-DE=a -3, 则GF=号EF=合(a-3). 由AF-GF=AG.得a-之(a-3)=5, 63 上册·参考答案 解得a=7,即AD的长为7. 12.15°或120°或75°或30°【解析】如图， P 当△PAD是等腰三角形时，是轴对称 图形. :△ABC是等边三角形，D是BC边的 中点，∠DAC=30 当AP=AD时，可得∠AP1D=15°， ∠AP3D=75°： 当PA=PD时，可得∠AP2D=120°： 当DA=DP时，可得∠AP,D=30° 综上所述，∠APD的度数为15°或120°或75°或30° 13.解：(1)（答案不唯一）如图. (2),DE⊥BC,∠EDC=26°， .∠C=90°-26°=64°. .AB=AC, .∠B=∠C=64°， ∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°-64°-64°=52° 14.证明：AB=AC,∠BAC=36°， ÷∠B=∠ACB=号(180-∠BAC)=72 ,CD是∠ACB的平分线， ∠DCB=∠ACB=36 :AE∥BC, .∠EAB=∠B=72 :∠B=72°，∠DCB=36°， ∠ADE=∠BDC=180°-72°-36°=72°， ∠EAD=∠ADE, ∴.AE=DE 15.解：（作法不唯一）(1)如图①，直线1即为所求. 图① 图② (2)如图②，点P即为所求 16.解：(1)：AB=AC,AD⊥BC于点D, ∴.∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. 64 数学·8年级(RJ版) 又，∠C=42°， .∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. (2)证明：由(1)可知，∠BAD=∠CAD. :EF∥AC,∴.∠F=∠CAD, ∠BAD=∠F,∴AE=FE 17.解：(1)△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠A=∠C=60° :∠DEF=60°， ∴.∠B=∠DEF :∠1+∠B=∠2+∠DEF, .∠2=∠1=50° (2)证明：由(1)可知，∠B=∠DEF :∠B+∠1+∠DEB=∠DEF+∠3+∠FDE= 180°，∠1=∠3， .∠FDE=∠DEB, ∴.DF∥BC 18.证明：(1)AB∥DC, ∴.∠DCA=∠CAB. :AC平分∠DAB,∠DAC=∠CAB, .∠DCA=∠DAC,.DA=DC ∴△ACD是等腰三角形. (2)'AC是∠EAB的平分线，CE⊥AE,CB⊥AB, .CE=CB,∠CEA=∠CBA=90° .AC=AC, '.Rt△CEA≌Rt△CBA(HL), ..AE=AB, ·点A、点C在线段BE的垂直平分线上， .AC垂直平分BE. 19.解：(1)如图所示，四边形A1B1C1D即为所求. (2)如图所示，四边形A2B2C2D2即为所求，其中A2(0, 1),B2(3,4),C2(5,4),D2(5,1) y个 6 D月 5-7-65432101234618x B (3)Sam=?(BC+AD)·CD=号×(2+5)X3 =10.5. 20.解：(1)△PCE是等边三角形.理由如下： ,△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形， ∴.∠PCE=∠PEC=60°， .∠EPC=180°-60°-60°=60°， .∠PCE=∠PEC=∠EPC=60°， ∴△PCE是等边三角形 (2)证明：，∠PCE=∠PEC=60°， ∴.∠DEB=∠ACF=120. ,△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形， ∴.DE=AC,BC=EF, ∴.BE=CF 在△ACF和△DEB中， (AC=DE, ∠ACF=∠DEB. CF=EB. ∴.△ACF≌△DEB(SAS), ∴.AF=DB 21.解：(1)如图，过点B作BD⊥OA于点D :△AOB为等边三角形，点A的坐标为（一10,0）， ∴.OA=OB=AB=10,∠BAO=∠ABO=∠AOB=60°. BD OA, :OD-AD-0A- ×10=5, ∴点B的横坐标为一5. (2)如图，过点M作MF∥AB交OA于点F, ∴.∠MFO=∠BAO=∠AOB=60°， ∴△MOF为等边三角形， ∴.∠FMO=60°，MF=MO. :△MNE是等边三角形， ∴.∠NME=6o°，MN=ME, ∴.∠FMN+∠NMO=∠OME+∠NMO=60°， ∴.∠FMN=∠OME. 在△MFN和△MOE中， MF=MO. ∠FMN=∠OME, MN=ME. .∴.△MFN≌△MOE(SAS), ∴.∠MFN=∠MOE=60. ,∠EMO=45°， .∠MEO=180°-∠MOE-∠EM0=180°-60°- 45°=75° 22.证明：(1)：∠MBN=90°，∠M=30°， ∴.∠BNM=180°-∠MBN-∠M=180°-90°-30 =60°」 ,NO平分∠BNM ∴∠0NM=3∠BNM=30, .∠ONM=∠M,∴.OM=ON. ∴.△MON为等腰三角形. (2)如图，延长EO交CB的延长线于 点P. 由题意，得∠OAE=∠OBP=90°. :O为AB中点， ..OA=OB. P B 在△AOE和△BOP中， '∠OAE=∠OBP, OA=OB. ∠AOE=∠BOP, ∴.△AOE≌△BOP(ASA). .AE=BP,∠AEO=∠P. ,EO平分∠AEN, ∴.∠AEO=∠OEN, ∴.∠OEN=∠P, .EN=PN. 又PN=PB+BN=AE+BN, .'.EN=AE+BN. 23.解：(1)如图①，连接CE,交AD于点P,连接BP. 图① ,△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高， ∴点B,C关于AD对称， ..PB=PC, ∴当C,P,E三点共线时，BP+PE最小， 即线段EC的长度为BP+PE的最小值. ,在等边三角形ABC中，E是AB的中点， 65 上册·参考答案 ∴CE⊥AB, ..CE=AD=3, ∴.BP+PE的最小值为3. (2)如图②，分别作点P关于OA,OB的对称点D,E, 连接DE,分别交OA,OB于点Q,R,连接OD,OE. 0Q D 图② 点P关于OA的对称点为D, ∴.PQ=DQ,OP=OD,∠DOA=∠POA. ,点P关于OB的对称点为E, ∴.PR=ER,OP=OE,∠EOB=∠POB, ∴.OD=OE=OP,∠DOE=∠DOA+∠POA+ ∠POB+∠EOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=2 X30°=60°. ∴△DOE是等边三角形， ∴.DE=OD=OE ,∴.DE=OP :△PQR周长的最小值=PQ+QR+PR=DQ+QR +RE=DE, .OP=△PQR周长的最小值=5. 5期中基础检测卷 1.D2.D3.C4.C 5.D【解析】如图，过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分 别为M,N. '∠CMO=∠CNO=∠MON=90°， ∴.∠MCN=90°，∴.∠ACN+∠ACM=90. ,∠ACB=90°，∴.∠BCM+∠ACM=90°， ,∴.∠BCM=∠ACN. 在△BCM和△ACN中， ∠BCM=∠ACN, ∠BMC=∠ANC, BC=AC, ∴.△BCM≌△ACN(AAS),∴.BM=AN :点C的坐标为（一4,4）， ∴.点M的坐标为（一4,0），点V的坐标为(0,4)， ∴.BM=-4-b,AN=4-a, ∴.-4-b=4-a,∴a-b=8 6.A【解析】如题图①， 66 数学·8年级(RJ版) ,AB=AC,D为BC的中点， .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, .∠ADC=90°. 如图，AC与A'E交于点M ,把△ADC沿EF折叠， ∠A=∠A' 在四边形MCDE中， ∠1+∠C+∠D+∠CME=360°， ∴.∠1=360°-∠C-∠D-∠CME=270°-∠CME -∠C. :∠CME=∠A'MF, .∠1=270°-∠A'MF-∠C, ∴.∠1=270°-(180°-∠2-∠A)-(90°-∠A), ∠1-∠2=2∠A. 由题图①可知，2∠DAC=∠BAC, ∴∠BAC=a. 7.三角形具有稳定性8.(-1，-5)9.真10.②①③ 11.(-8,2)【解析】过点A作 AP⊥AB交l2于点P,过点P 作PM⊥x轴，如图所示. 由题意，得BO=6,AO=2. A O :△ABP是以点A为直角顶 点的等腰直角三角形， .AB=AP,∠PAB=90°， ∴∠PAM+∠BAO=∠PAM+∠APM=90°， ∴.∠BAO=∠APM .'∠PMA=∠AOB=90°， .△PMA≌△AOB(AAS), ∴.PM=AO=2,AM=BO=6, ..OM=AM+AO=8, .点P的坐标为（一8,2）. 12.30°或120°或150°【解析】如图①，当AB=AC,点C 在点A的右边时，顶角∠BAC=30°； B 309 图① 如图②，当AB=AC,点C在点A的左边时，顶角 ∠BAC=180°-30°=150°； B 309 C A 图② 如图③，当BA=BC时，∠BAC=∠BCA=30°，具h 初中同步 学业质量评估 数学·8年级上册(RJ版) 第十五章检测卷 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 题号 二 三 四 五 六 总分 得分 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列图形中，是轴对称图形的是 (D) A B C 2.在平面直角坐标系中，点P(2,一3)关于x轴对称的点P'的坐标是 (D) A.（-2,-3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(2,3) 3.若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数为 (D) A.50 B.65° C.80° D.50°或80° 4.如图，直线l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为18°，则∠α的 度数为 (C) A.30° B.36 C.42 D.60° \C, B 18 B D -10123456 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在等边三角形ABC中，D,E分别在BC,AB上，BD=AE,AD与CE相交于点G,CF⊥AD于 点F,连接BF并延长与CE交于点O.若O是CG的中点，CG=号，则BF的长度为 (B) A号 R号 c 6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(4,0)，且AB=5.若∠OAB的 平分线交x轴于点C,P,Q分别为线段AC,AO上的动点，则OP+PQ的最小值为 (D) A.2 B号 c号 n号 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形 数学·8年级上册(RJ版)7一1 8.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是13 第8题图 第9题图 9.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AC边上，且∠CDE=20°.若将△CDE 沿直线DE折叠得到△FDE,连接BF,则∠BFE的度数为80° 10.如图，在△ABC中，若∠ACB=90°，BC=6,AC=8,P是AB边上的动点（不与点B重合），连接 CP,点B关于直线CP的对称点是B',连接PB',CB',BA,则BA长度的最小值是2· BD C 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB.若∠BAD=∠D=60°，DE=3,AB=10,CE平分 ∠ACB,DE与CE相交于点E,则AD的长为7 12.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点.若点P在直线AC上，△PAD是轴对称图形，则∠APD 的度数是15或120或75或30°. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)下图所示的是由16个相同的小正方形组成的正方形网格，其中的2个小正方形已涂黑.请你用 三种不同的方法分别在下图中将2个空白的小正方形涂上阴影，使整个图形成为轴对称图形. … (2)如下图，在△ABC中，AB=AC,D是AC的中点，DE⊥BC于点E.已知∠EDC=26°，求∠A的 度数 解：(2)DE⊥BC,∠EDC=26°，∴∠C=90°-26=64°. AB=AC,.∠B=∠C=64°， ∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°-64°-64°=52°. 14.如下图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D,过点A作 AE∥BC,交CD于点E.求证：AE=DE. 证明：AB=AC,∠BAC=36°， ∠B=∠ACB=子(180°-∠BAC=72, CD是∠ACB的平分线∠DCB=∠ACB=36 AE∥BC,.∠EAB=∠B=72°. ∠B=72°，∠DCB=36,∴.∠ADE=∠BDC=180°-72°-36=72°， .∠EAD=∠ADE,.AE=DE. 数学·8年级上册(RJ版)7-2 15.已知图①和图②都是轴对称图形，仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作出该图形的对称轴. (2)在图②中，作出点P的对称点P' 图① 图② 16.如下图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D. (1)若∠C=42°，求∠BAD的度数. (2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F,求证：AE=FE. 解：(1)，AB=AC,AD⊥BC于点D, ,∴.∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. 又：∠C=42°，.∠BAD=∠CAD=90°-42°=48. (2)证明：由(1)可知，∠BAD=∠CAD. EF∥AC,.∠F=∠CAD,.∠BAD=∠F,.AE=FE. 17.已知△ABC是等边三角形，点D,E,F分别在AB,BC,AC上，且∠DEF=60°. (1)如图①，若∠1=50°，求∠2的大小. (2)如图②，连接DF.若∠1=∠3，求证：DF∥BC. 3 人2 人2 B E B E 图① 图② 解：(1)：△ABC是等边三角形， ·∠B=∠A=∠C=60°. ∠DEF=60°，.∠B=∠DEF :∠1+∠B=∠2+∠DEF,∴.∠2=∠1=50 (2)证明：由(1)可知∠B=∠DEF. '∠B+∠1+∠DEB=∠DEF+∠3+∠FDE=180°，∠1=∠3， ∴.∠FDE=∠DEB,.DF∥BC. 数学·8年级上册(RJ版)7-3 7 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如下图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AC平分∠DAB,CB⊥AB,CE⊥AD交AD的延长线于 点E (1)求证：△ACD是等腰三角形. (2)连接BE,求证：AC垂直平分BE. 证明：(1)'AB∥DC,.∠DCA=∠CAB. .AC平分∠DAB,.∠DAC=∠CAB, .∠DCA=∠DAC,.DA=DC,.△ACD是等腰三角形. (2):'AC是∠EAB的平分线，CE⊥AE,CB⊥AB, .CE=CB,∠CEA=∠CBA=90° .AC=AC: ∴.Rt△CEA≌Rt△CBA(HL),.AE=AB, 点A、点C在线段BE的垂直平分线上，，AC垂直平分BE. 19.如下图，四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,1). (1)画出四边形ABCD关于x轴对称的四边形A1B1C1D1. (2)画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A2B2C2D2,并写出点 A2,B2,C2,D2的坐标 (3)求出四边形ABCD的面积. 解：(1)如图所示，四边形A,B,CD,即为所求. 2 (2)如图所示，四边形A2BCD2即为所求，其中A2(0,1),B(3,4),C(5,4),D2(5,1). (3)Sam=子(BC+AD)GD=号X(2+5)X3=10.5 20.如下图，△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形，它们的边BC,EF重叠地放在直线I上，AC, DE相交于点P,连接BD,AF. (1)判断△PCE的形状，并说明理由. (2)求证：AF=DB. 解：(1)△PCE是等边三角形.理山如下： :'△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形，·∠PCE=∠PEC=60°， ,.∠EP℃=180°-60°-60°=60°， .∠PCE=∠PEC=∠EPC=60°，∴.△PCE是等边三角形. (2)证明：：'∠PCE=∠PEC=60°， ∴.∠DEB=∠ACF=120°. :△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形， ..DE=AC.BC=EF..'.BE=CF. AC=DE 在△ACF和△DEB中，∠ACF=∠DEB, CF=EB. '.△ACF≌△DEB(SAS),..AF=DB. 8 数学·8年级上册(RJ版)8一1 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如下图，已知点A的坐标为（一10,0），以OA为边在第二象限作等边三角形AOB. (1)求点B的横坐标 (2)若M,N分别为OB,OA边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边三角形MNE,连接OE.当 ∠EMO=45时，求∠MEO的度数： 解：(1)如图，过点B作BD⊥OA于点D △AOB为等边三角形，点A的坐标为（一10,0）， ∴.OA=OB=AB=10,∠BAO=∠AB0=∠AOB=60° :BD01六00=D=04=×10=5点B的横坐标为-5 (2)如图，过点M作MF∥AB交OA于点F, A F D NO ∴.∠MFO=∠BAO=∠AOB=60°，∴△MOF为等边三角形，∴，∠FM0=60°.MF=M0. ,△MNE是等边三角形，∴.∠NME=60°，MN=ME, ,∴.∠FMN+∠NMO=∠OME+∠NMO=60°，∴.∠FMN=∠OME. MF=MO. 在△MFN和△MOE中，∠FMN=∠OME, MN=ME. ..△MFN≌△MOE(SAS),'.∠MFN=∠MOE=60°. :∠EM0=45°，.∠ME0=180°-∠M0E-∠EM0=180°-60°-45=75. 22.如下图，已知Rt△MBN的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，∠M=30°，O为AB中点， NO平分∠BNM,EO平分∠AEN.求证： (1)△MON为等腰三角形. (2EN=AE+BN. 证明：(1)，∠MBN=90°，∠M=30°， ∴.∠BNM=180°-∠MBN-∠M=180°-90°-30°=60° N0平分∠BNM,∠ONM=号∠BNM=30, ∴∠ONM=∠M,.OM=ON,∴.△MON为等腰三角形. (2)如图，延长EO交CB的延长线于点P, 由题意，得∠OAE=∠OBP=90°. 0为AB中点，.OA=OB. ∠OAE=∠OBP, 在△AOE和△BOP中，OA=OB, ∠AOE=∠BOP. ∴.△AOE≌△BOP(ASA),.AE=BP,∠AEO=∠P. EO平分∠AEN,∠AEO=∠OEN,∴∠OEN=∠P,∴.EN=PN. .'PN=PB+BN=AE+BN..'.EN=AE+BN. 数学·8年级上(RJ版)8-2 六、解答题（本大题共12分） 23.【问题背景】 如图①，点A,B在直线1同侧，在直线1上找一点P,使AP+BP的值最小 作法如下：作点B关于直线l的对称点B',连接AB',则AB与直线l的交点就是所求的点P,线段 AB的长度即为AP十BP的最小值： 【实践应用】 (1)如图②，在等边三角形ABC中，E是AB的中点，P为高AD上一点，AD=3,连接BP,PE.求 BP十PE的最小值. 【拓展延伸】 (2)如图③，∠AOB=30°，P是四边形OACB内一定点，Q,R分别是OA,OB上的动点.当△PQR 周长的最小值为5时，求OP的长 ●R D 图① 图② 图③ 解：(1)如图①，连接CE,交AD于点P,连接BP. :△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，，点B,C关于AD对称，∴.PB=PC, .当C,P,E三点共线时，BP+PE最小， 即线段EC的长度为BP十PE的最小值. ,在等边三角形ABC中，E是AB的中点，.CE⊥AB ,.CE=AD=3,,BP十PE的最小值为3. (2)如图②，分别作点P关于OA,OB的对称点D,E,连接DE,分别交OA,OB于点Q,R,连接OD,OE 图① 点P关于OA的对称点为D,.PQ=D0,OP=OD,∠DOA=∠POA. :点P关于OB的对称点为E,.PR=ER,OP=OE,∠EOB=∠POB, ∴.OD=OE=OP,∠DOE=∠DOA+∠POA+∠POB+∠EOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=2X 30°=60°， ∴△DOE是等边三角形，.DE=OD=OE,.DE=OP 图② ,△POR周长的最小值=PO+OR+PR=DO+OR+RE=DE .OP=△POR周长的最小值=5. 数学·8年级上册(RJ版)8-3