第十四章 全等三角形 检测卷-【超级考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学学业质量评估（人教版2024）

-(90°-∠B)=(∠B-∠O. :∠B-∠C=40∴∠DAE=号×40°=202 23.解：(1)是 理由：，AB⊥OM, ∴∠OAB=90°，∴.∠AB0=90°-∠0=30°， ∴∠OAB=3∠ABO, ∴.△AOB是“3倍角三角形”. (2)若△AOC是“3倍角三角形”， ∠0=60°，.3∠0=180°， ∴.∠OAC≠3∠O,∠OCA≠3∠O, .有以下四种情况： ①当∠O=3∠OAC时，：∠O=60°， ∴∠0AC=号∠0=20，∠ACB=∠0AC+∠0 =80°： ②当∠OCA=3∠OAC时，，∠O=60°， ÷∠0AC=}(180-∠0)=×(180°-60)= 30°，∴.∠ACB=∠OAC+∠O=90°： ③当∠OAC=3∠ACO时，，∠O=60°，∠OAC+∠O +∠AC0=180°， ∴∠ACO=30°，此时点C与点B重合，不符合题意， 舍去； ④当∠O=3∠OCA时，：∠0=60°，∴.∠OCA=20°， 此时点C在射线BN上，不符合题意，舍去. 综上所述，∠ACB的度数为80°或90°. (3),∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC =180°， ∴∠EFC=∠ADC,∴AD∥EF,∴.∠DEF=∠ADE ∠DEF=∠B,∠B=∠ADE,.DE∥BC, ∴∠CDE=∠BCD. DE平分∠ADC,.∠ADE=∠CDE,∴∠B =∠BCD. :△BCD是“3倍角三角形”，∴∠BDC=3∠B或 ∠B=3∠BDC. ,∠BDC+∠BCD+∠B=180°，.3∠B+∠B+ ∠B=180°或号∠B+∠B+∠B=180°，即∠B=36° 或∠B=(5) 2第十四章检测卷 1.A2.B3.D4.B 5.A【解析】如图，过点G作GH⊥AB于点H. :BG平分∠ABC,∠C=90°，即GC⊥BC, ..GH=GC=1. 根据垂线段最短可知，GP长的最小值为1. H P 6.D【解析】，∠ACB=∠ECD =90°， ∴.∠BCD=∠ACE. 在△CBD和△CAE中， (BC=AC, ∠BCD=∠ACE, DC=EC, ∴.△CBD≌△CAE(SAS),故①正确： ∴∠DBC=∠EAC,BD=AE,故③正确； ,∠EBD=∠DBC+∠EBC=38°， ∴∠EAC+∠EBC=38°，∴.∠ABE+∠EAB=90°- 38°=52°， ∴.∠AEB=180°-（∠ABE+∠EAB)=180°-52°= 128°，故②正确； 如图，延长AE交BD于点F. :∠3=∠4，∠DBC=∠EAC, ∴.∠BFE=∠ACB=90°， ∴.AE⊥BD,故④正确. 综上，正确的有4个 7.∠B=∠E答案不唯-）8.1489.号 10.4【解析】'，H是高MQ和NR的交点， .NR⊥PM,MQ⊥PN, ∴.∠PMQ+∠MHR=90°，∠HNQ+∠QHN=90. :∠MHR=∠QHN, .∠PMQ=∠HNQ 又，MQ=NQ=7,∠PQM=∠HQN=90°， .△PMQ≌△HNQ(ASA), ..PQ=HQ=3. ∴.MH=MQ-HQ=7-3=4. 11.(1,-4)【解析】过点C作CD⊥y 轴于点D,如图. :∠ABC=90°，∠AOB=90°， ∴.∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA +∠DBC=90°， 57 上册·参考答案 ∴.∠OAB=∠DBC 在△OAB和△DBC中， ∠AOB=∠BDC=90°， ∠OAB=∠DBC, AB=BC. .△OAB≌△DBC(AAS), ∴.AO=BD,OB=DC A(3,0),B(0,-1), .'BD=AO=3,DC=OB=1,..OD=OB+BD=4, ∴.点C的坐标是(1，一4). 12.5或2【解析】∠ACB=90°， ∴∠A+∠CBD=90. ,CD为AB边上的高，∴∠CDB =90°， .∠BCD+∠CBD=90°，.∠A =∠BCD. '∠BCD=∠ECF,∴∠ECF=∠A. ,过点E作BC的垂线交直线CD于点F, ∴∠CEF=90°=∠ACB. 在△CEF和△ACB中， I∠ECF=∠A, ∠CEF=∠ACB, CF=AB. ,∴.△CEF2△ACB(AAS),∴.CE=AC=7cm. ①如图，当点E在射线BC上运动时，BE=CE+BC =7+3=10(cm), “点E运动了 =5(s): ②当点E在射线CB上运动时，BE=CE一BC=7一 3=4(cm). “点E运动了号=2(s). 综上所述，当点E在直线BC上运动5s或2s时，CF =AB. 13.解：(1)△ACF≌△ADE,AD=12,AE=5, ..AF=AE=5, ∴.DF=AD-AF=12-5=7. (2)证明：：FG∥HM,∴.∠EGF=∠NHM, 在△EFG和△NMH中， I∠EGF=∠NHM, ∠E=∠N, EF=NM, ∴.△EFG≌△NMH(AAS). 58 数学·8年级(RJ版) 14.证明：如图，过点P分别作AB,AC,BC的垂线段 PD,PE,PF. :AP是∠CAM的平分线，PD⊥AD,PE⊥AC, ..PD=PE. ,CP是∠ACN的平分线，PE⊥AC,PF⊥BC, ..PE=PF,.PD=PF, .BP为∠MBN的平分线 15.解：(1)如图①、图②所示（答案不唯一）. 图① 图② (2)如图，射线AO即为所求. 16.证明：AE=BF, ∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE. ,'AC∥BD,,.∠CAF=∠DBE 在△ACF和△BDE中， AC=BD. ∠CAF=∠DBE, AF=BE .△ACF≌△BDE(SAS), ∴.CF=DE 17.解：(1)证明：，AD是BC边上的中线，∴.BD=CD. :BE∥CF,∴∠DBE=∠DCF 在△BDE和△CDF中， ∠DBE=∠DCF, BD-CD. ,∴.△BDE≌△CDF(ASA). N∠BDE=∠CDF, (2).AE=13,AF=7,.EF=AE-AF=13-7=6. .'△BDE≌△CDF,.DE=DF, ∴DE=2EF=3. 18.解：(1)①CD=BE ②DE=BE+AD. 证明：：∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90° :AD⊥CM,∴.∠ACD+∠CAD=90°，∴.∠CAD =∠BCE. 又：∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB, △CAD≌△BCE(AAS),∴.AD=CE,CD=BE DE=CD+CE,.'.DE=BE+AD. (2)AD-BE++DE. 证明：：∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90° AD⊥CM,..∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE. 又，∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB, ∴.△CAD≌△BCE(AAS), ..AD-CE.CD-BE. .CE=CD+DE,..AD=BE+DE. 19.解：(1)·AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,∠ACB =90°， ∴.∠CAD=∠BAD,∠ABP=∠FBP,∠BAC+ ∠ABC=90°， ∴∠PAB+∠PBA=(∠BAC+∠ABC)=45, .∠APB=180°-45°=135° (2)证明：∠APB=135°， .∠DPB=45° PF⊥AD,∴∠DPF=90°， ∴∠FPB=135°，∴.∠APB=∠FPB. 在△ABP和△FBP中， I∠APB=∠FPB, BP=BP, ∠ABP=∠FBP, .△ABP≌△FBP(ASA. (3)证明：：'△ABP≌△FBP, ∴.∠BAD=∠F,AP=FP,AB=FB :∠BAD=∠HAP, ∴∠F=∠HAP. 在△APH和△FPD中， I∠HAP=∠F, AP=FP, ∠APH=∠FPD=90°， .△APH≌△FPD(ASA), ..AH=FD. .BF=DF+BD,BF=AB. ∴.AH+BD=AB. 20.解：(1)S△ABD>S△ACD.理由如下： 如图，在AB上截取AF=AC,连接DF ·AD是∠BAC的平分线， ∴·∠BAD=∠CAD. 在△ADF和△ADC中， (AF=AC ∠FAD=∠CAD, AD-AD. ∴.△ADF≌△ADC(SAS),.SAADF=SAAc. :S△BD>S△ADF.SAABD>S△AD. B (2)证明：如图，连接EF. 在△AEF和△AEC中， (AF=AC ∠FAE=∠CAE, AE-AE. .△AEF≌△AEC(SAS), .:FE=CE. 在△FBE中，BF>BE-FE, BF=AB-AF=AB-AC,BE-FE=BE-CE, 即AB-AC>BE-CE. 21.解：(1)，△BEF≌△CFG,E为AB的中点，AB =12, EB=FC=2×12=6,CG=BF=8-6=2,∠BEF =∠CFG,EF=FG v=2,∴t=1. 四边形ABCD为长方形，∴.∠B=∠C=90°， ∴∠BEF+∠BFE=9O°， ∴.∠BFE+∠CFG=90°， ∴.∠EFG=90°， ∴.此时△EFG是等腰直角三角形. (2)分两种情况讨论：①当△EBF≌△FCG时，EB= FC=6.CG=BF. .BF=CG=2,∴.1=1，可得o=2; ②当△EBF≌△GCF时，EB=GC=6,BF=CF,则F 59 上册·参考答案 为BC的中点， .BF=4,.t=2,可得v=3. 综上所述，当u=2或3时，以E,B,F为顶点的三角 形与以F,C,G为顶点的三角形全等. 22.解：(1)证明：AB∥CD, .∠ABE+∠C=180°. :∠C=90°， ∴∠ABE=∠C=90 :E是BC的中点， ∴.BC=2BE. .BC=2CD, ∴.BE=CD. 在△ABE和△BCD中， (AB=BC, ∠ABE=∠C, BE=CD. .△ABE≌△BCD(SAS). (2)AE=BD,AE⊥BD.理由如下： 由(1)，得△ABE≌△BCD, ∴.AE=BD,∠BAE=∠CBD. :∠ABF+∠CBD=90°， .∠ABF+∠BAE=90°， ∠AFB=90°，∴.AE⊥BD. (3)由(1)，得△ABE≌△BCD,∴.BE=CD=1. .AB=BC=2CD..'CE=BC-BE=1. ∴.CE=CD, ,∴.△AED的面积=梯形ABCD的面积一△ABE的 面积-△CDE的面积=×(1+2)×2-号×2X1 -×1x1=2 23.解：(1)90° (2)①a+B=180° 理由：：∠BAC=∠DAE,.∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. 又，'AB=AC,AD=AE,'.△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠B=∠ACE,∴.∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB =∠BCE, 即∠B+∠ACB=B. a+∠B+∠ACB=180°，∴a+B=180 ②a+=180°或a=B. 证明：a.如图①，当点D在射线BC上时， 60 数学·8年级(RJ版) :∠BAC=∠DAE, .∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC. 图① ∠BAD=∠CAE, AD=AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.∠ABD=∠ACE. 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴.∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE =180°， 即a+B=180°： b.如图②，当点D在射线BC的 反向延长线上时，连接BE :∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAD=∠CAE. 又AB=AC,AD=AE, 图② ∴.△ABD≌△ACE(SAS), ∴.∠ABD=∠ACE, ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE, ∴.∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+ ∠BCE+∠ABC=180°， ∴.∠BCE=180°-∠ABC-∠ACB. ,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB, ∴∠BAC=∠BCE,即a=B. 综上所述，当点D在直线BC上移动时，a十B=180° 或a=B. 3阶段性检测卷（一） 1.A2.A3.D4.B 5.D【解析】，△ABC的高AD与高BE所在的直线交 于点H,点H在△ABC的外部， ∴△ABC是钝角三角形. :∠B=45°， ∴∠C是钝角或∠A是钝角. ①当∠C是钝角时，则∠A是锐角，高AD的垂足在 BC的延长线上，高BE的垂足在AC的延长线上，它 们所在的直线的交点在△ABC的外部，符合题意； ②当∠A是钝角时，则∠C是锐角，高AD的垂足在 BC上，高BE的垂足在CA的延长线上，它们所在的 直线的交点在△ABC的外部，符合题意. 综上，当∠C是钝角或锐角时，△ABC的高AD与高 BE所在直线的交点H都在△ABC的外部.具h0 初中同步 学业质量评估 数学·8年级上册(RJ版) 第十四章检测卷 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 题号 二 三 四 五 六 总分 得分 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列图形中，被虚线分成的两部分不是全等形的是 (A) 等腰梯形 正方形 正六边形 五角星 A B D 2.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是 (B) A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 a50 5872 58°50 50° 丙 E 第2题图 第3题图 3.如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C.下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是 (D) A.AD=AE B.AB=AC C.BE=CD D.∠AEB=∠ADC 4.如图，AC=BD,AO=BO,CO=DO,∠D=30°，∠A=95°，则∠AOB的度数是 (B) A.120 B.125° C.130° D.135° D 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BG平分∠ABC交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点，则 GP长的最小值为 (A) A.1 B.吉 C.2 D.无法确定 6.如图，已知AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°.现有下列结论：①△CBD≌△CAE;②若 ∠EBD=38°，则∠AEB=128°；③BD=AE;④AE⊥BD.其中正确的有 (D) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 数学·8年级上册(RJ版)3一1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.如图所示，AC=AD,∠1=∠2.要使△ABC≌△AED,应添加的一个条件是 ∠B=∠E· 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，若BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C=62°，∠BDE=75°，则∠AFE的度数为 148 9.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是42cm2.若 7 AB=10 cm,BC=14 cm,DE= cm. 10.如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ.已知PQ=3,NQ=7,则MH的长为 0 D 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB=BC,∠ABC=90°，A(3,0),B(0,一1)，点C 在第四象限，则点C的坐标是(1，一4) 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm,BC=3cm,CD为AB边上的高，点E从点B出发，在 直线BC上以2cm/s的速度运动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.当点E运动 5或2s时，CF=AB. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)如右图，△ACF≌△ADE,AD=12,AE=5.求DF的长. 解：(1)'△ACF≌△ADE,AD=12,AE=5, ..AF=AE=5. .DF=AD-AF=12-5=7. (2)如下图，H,G,E,N四点共线，∠E=∠N,FG∥HM,EF=MN.求证：△EFG≌△NMH. 证明：(2)，FG∥HM,.∠EGF=∠NHM (∠EGF=∠NHM 在△EFG和△NMH中，{∠E=∠N, EF=NM. ,∴.△EFG≌△NMH(AAS). 数学·8年级上(RJ版)3-2 14.如右图，AP,CP分别是△ABC的外角∠MAC和∠ACN的平分线，它们交于点 P.求证：BP为∠MBN的平分线. E门 证明：如图，过点P分别作AB,AC,BC的垂线段PD,PE,PF. AP是∠CAM的平分线，PD⊥AD,PE⊥AC,.PD=PE. ,CP是∠ACN的平分线，PE⊥AC,PF⊥BC, .PE=PF..'.PD=PF. ∴.BP为∠MBN的平分线。 15.(1)图①、图②展示了沿网格可以将一个4×4的正方形分割成形状、大小均相同的两部分，请你在 图③、图④中再给出两种不同的分割方案. 图① 图② 图③ 图④ (2)如下图，AB=AC,BD=CE.请仅用无刻度的直尺画出∠BAC的平分线（保留画图痕迹，不写画法）. 16.如下图，点A,E,F,B在直线l上，AE=BF,AC∥BD,且AC=BD.求证：CF=DE. 证明：AE=BF, ∴.AE+EF=BF+EF,即AF=BE 'AC∥BD,.∠CAF=∠DBE. 在△ACF和△BDE中， (AC=BD. ∠CAF=∠DBE, AF=BE. .△ACF≌△BDE(SAS), .'.CF=DE. 17.如下图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E,F是直线AD上的点，连接BE,CF,且BE∥CF. (1)求证：△BDE≌△CDF. (2)若AE=13,AF=7,求DE的长 解：(1)证明：AD是BC边上的中线，，BD=CD. 'BE∥CF,.∠DBE=∠DCF. I∠DBE=∠DCF 在△BDE和△CDF中，BD=CD, ,.△BDE≌△CDF(ASA). ∠BDE=∠CDF, (2)AE=13,AF=7,.EF=AE-AF=13-7=6 '△BDE2△CDF,DE=DF,∴DE=号EF=3 数学·8年级上册(RJ版)3-3 3 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.已知∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CM,BE⊥CM,垂足分别为D,E. (1)如图①， ①线段CD和BE的数量关系是CD=BE ； ②请写出线段AD,BE,DE之间的数量关系并证明. (2)如图②，请写出线段AD,BE,DE之间的数量关系并证明. 解：(1)②DE=BE+AD. 证明：∠ACB=90°，.∠ACD+∠BCE=90°. :AD⊥CM,∴.∠ACD+∠CAD=90°，.∠CAD=∠BCE. 又∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB,,.△CAD≌△BCE(AAS),.AD=CE,CD=BE. DE=CD+CE,.DE=BE十AD (2)AD=BE+DE. 证明：∠ACB=90°，∴.∠ACD+∠BCE=90°， :AD⊥CM,.∠CAD+∠ACD=90°，·∠CAD=∠BCE. 又：∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB, ,△CAD≌△BCE(AAS),.AD=CE,CD=BE.'CE=CD+DE,,∴.AD=BE+DE. 19.如下图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD,BE相交于点P,过点P作PF⊥ AD交BC的延长线于点F,交AC于点H. (1)求∠APB的度数， (2)求证：△ABP≌△FBP. (3)求证：AH+BD=AB. 解：(1)：AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,∠ACB=90°， ,∴，∠CAD=∠BAD,∠ABP=∠FBP,∠BAC+∠ABC=90° ∠PAB+∠PBA=∠BAC+∠ABC0=45,∠APB=180-45=13S (2)证明：：∠APB=135°，∴∠DPB=45. PF⊥AD,∠DPF=90°，∠FPB=135°，∠APB=∠FPB. I∠APB=∠FPB. 在△ABP和△FBP中，〈BP=BP, .△ABP≌△FBP(ASA) ∠ABP=∠FBP, (3)证明：△ABP≌△FBP,.∠BAD=∠F,AP=FP,AB=FB.'∠BAD=∠HAP,.∠F=∠HAP. ∠HAP=∠F, 在△APH和△FPD中，AP=FP, .∴.△APH≌△FPD(ASA),,AH=FD ∠APH=∠FPD=90°， .BF=DF+BD.BF=AB...AH+BD=AB. 20.如下图，AD是△ABC的角平分线，且AB>AC,E为线段AD上任意一点，连接BE,CE. (1)比较△ABD与△ACD面积的大小，并说明理由. 解：(1)S△n>S△D.理由如下： 如图，在AB上截取AF=AC,连接DF :AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD. AF=AC. 在△ADF和△ADC中，∠FAD=∠CAD AD=AD, △ADF≌△ADC(SAS),.S△Dr=S△w.'S△BB>S△DF.S△AsD>S△D 数学·8年级上册(RJ版)4一1 (2)求证：AB-AC>BE-CE. 证明：（2)如图，连接EF. (AF=AC. 在△AEF和△AEC中，∠FAE=∠CAE, AE=AE. ∴.△AEF≌△AEC(SAS),∴.FE=CE. 在△FBE中，BF>BE一FE, 而BF=AB-AF=AB一AC,BE一FE=BE-CE,即AB一AC>BE一CE. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如右图，在长方形ABCD中，AB=DC=12cm,BC=AD=8cm,E为AB的中点，点A F在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点G在线段CD上由点C 向点D运动.设点F的运动时间为ts,点G的速度为vcm/s. (1)若v=2,则当t为何值时，△BEF≌△CFG?此时△EFG是什么形状的三角形？ (2)当v为何值时，以E,B,F为顶点的三角形与以F,C,G为顶点的三角形全等？ 解：(1)，△BEF≌△CFG,E为AB的中点，AB=12, ÷EB=FC=3X12=6,G=BF=8-6=2∠BEF=∠CFG,EF=FG v=2,∴.1=1. ,四边形ABCD为长方形，.∠B=∠C=90°，.∠BEF+∠BFE=90°，.∠BFE+∠CFG=90,.∠EFG=90°， ∴.此时△EFG是等腰直角三角形. (2)分两种情况讨论：①当△EBF≌△FCG时，EB=FC=6,CG=BF,∴.BF=CG=2,1=1,可得v=2: ②当△EBF≌△GCF时，EB=GC=6,BF=CF,则F为BC的中点，∴.BF=4,∴.t=2,可得v=3. 综上所述，当=2或3时，以E,B,F为顶点的三角形与以F,C,G为顶点的三角形全等. 22.如下图，在四边形ABCD中，AB=BC=2CD,AB∥CD,∠C=90°，E是BC的中点，AE与BD相交 于点F,连接DE. (1)求证：△ABE≌△BCD. (2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由. (3)若CD=1,试求△AED的面积. 解：(1)证明：，AB∥CD,∠ABE+∠C=180°. :∠C=90°，∴.∠ABE=∠C=90°. ,E是BC的中点，.BC=2BE. .BC=2CD...BE=CD. (AB=BC. 在△ABE和△BCD中，∠ABE=∠C,.△ABE≌△BCD(SAS). BE=CD, (2)AE=BD,AE⊥BD.理由如下： 由(1)，得△ABE≌△BCD,,.AE=BD,∠BAE=∠CBD. :∠ABF+∠CBD=90°，.∠ABF+∠BAE=90°，.∠AFB=90°，.AE⊥BD. (3)由(1)，得△ABE≌△BCD,∴.BE=CD=1. AB=BC=2CD...CE=BC-BE=1,.'.CE=CD. “△AED的面积=梯形ABCD的面积-△ABE的面积-△CDE的面积=子×(1十2)X2-号×2X1-号X1X1 数学·8年级上册(RJ版)4-2 六、解答题（本大题共12分） 23.在△ABC中，AB=AC,D是直线BC上一点（不与点B,C重合），以AD为边，在AD的右侧作 △ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC=90°，则∠BCE=90° (2)设∠BAC=a,∠BCE=B. ①如图②，当点D在线段BC上移动时，α，3之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动时，α，3之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并给出证明. B D 图① 图② 备用图 备用图 解：(2)①a十B=180°. 理由：：∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. 又AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS), .∠B=∠ACE,.∠B十∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE, 即∠B+∠ACB=B. ,'a+∠B+∠ACB=180°，.a十B=180°. ②a十B=180°或a=B. 证明：a.如图①，当点D在射线BC上时， ∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE. (AB=AC. 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, AD=AE. ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∠ABD=∠ACE. 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ,∴.∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即a十B=180°： b.如图②，当点D在射线BC的反向延长线上时，连接BE. ∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE. 又AB=AC,AD=AE,,∴.△ABD≌△ACE(SAS),.∠ABD=∠ACE, ∴·∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE, ∴.∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，∴∠BCE=180°-∠ABC 图② -∠ACB. ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB, ∴.∠BAC=∠BCE,即a=B. 综上所述，当点D在直线BC上移动时，a+B=180°或a=B 数学·8年级上册(RJ版)4-3