第一章 勾股定理 检测卷-【超级考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学学业质量评估（北师大版2024）

具h 初中同步 数学·8年级上册(BS版) U 学业质量评估 第一章检测卷 1 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是 (C) A.3 cm2 B.4 cm2 C.5 cm2 D.6 cm2 4 cm cm 3 cm 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC 的距离是 (A) A.3 B.4 C.5 D.6 3.课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地 中穿过.为保护草地，嘉嘉想在A处立一块标牌：“少走■m,踏之何忍？”如图，若AB=17m,BC= 8m,则标牌上“■”处的数是 (A) A.6 B.8 C.10 D.11 4.如果直角三角形的三边长分别是6,8，x,则x满足 (C) A.x2=28 B.x2=100 C.x2=28或x2=100 D.x=28 5.如图所示的是某同学自己探究勾股数的过程，观察图中每列数的规律可知，x十y的值为 (C) A.47 B.62 C.79 D.98 b 3 4 8 6 10 15 17 24 10 26 … … x y 65 第5题图 第8题图 第10题图 6.已知在△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高AH=8,则BC的长是 (D A.21 B.15 C.6 D.21或9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.在△ABC中，∠B=35°，BC2-AC2=AB2,则∠C的度数为55° 8.如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC=17。 数学·8年级上册(BS版)1-1 9.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且满足(a-b)2+|a2+b2-c2|=0,则△ABC是 等腰直角三角形. 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠D=90°，AD=18,BC=13.分别以点A,C为圆心、大于 2AC的长为半径画弧，两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若0是AC的中点， 则CD的长为12. 11.某数学兴趣小组在课后一起复习数学知识，首先他们在纸上画出Rt△ABC,然后分别以这个三角 形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，最后把这个图形剪下来，并折成如图所示的样子，DF 分别与AE,EC交于点G,H.若△ADG,△EGH,△CFH的面积分别为4,9,16，则S△ABc= 11 AD 第11题图 第12题图 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16,AB=20,动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个 单位的速度向点B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F,连接AF,CD.设点D的运 动时间为ts.当△ABF是等腰三角形时，t的值为 5或号或+ 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)已知△ABC的三边长a,b,c满足c=5,(a-3)2+(b-4)2=0,试说明：△ABC是直角三角形. 解：(1)因为(a一3)2+(b-4)2=0, 所以a=3,b=4. 因为c=5, 所以a2+b2=32+42=52=c2, 所以△ABC是直角三角形. (2)如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC+AB=24,BC=12.求AC,AB的长. 解：(2)设AC=x,则AB=24一x. 在R△ABC中，由勾股定理，得AB=AC+BC,即(24一x)2=x2十12，解得x=9,即AC=9,则ABA1 =24-9=15. 14.如下图，湖面上有一朵盛开的红莲，花朵底部高出水面30cm.大风吹过，红莲被吹至一边，花朵底 部刚好齐及水面.已知红莲移动的水平距离为60c,则水深是多少？ 解：设水深是hcm,由题意可知，(h+30)2=h+602, 解得h=45. 故水深是45cm. [30 cm 数学·8年级上册(BS版)1-2 15.如下图，在四边形ABCD中，∠C=90°，BD平分∠ABC,AD=3,E为AB上一点，EA=4,ED=5. 试说明：AD=CD. 解：因为AD=3,AE=4,ED=5 所以AD+AE=ED, 所以△ADE是直角三角形，∠A=90°. 又因为∠C=90°，BD平分∠ABC, 所以AD=CD 16.在正方形网格中，网格线的交点叫作格点，每个小正方形的边长为1.小方按下列要求作图：①在正 方形网格中的三条不同网格线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一网格线上；②连接三个格 点，使之构成直角三角形.小方在图①中作出了Rt△ABC.请你按照同样的要求，在图②、图③的正 方形网格中各作出一个直角三角形，且其中一个是等腰直角三角形，另一个不是等腰直角三角形， 并使三个网格中的直角三角形互不全等 图① 图② 图③ 17.如下图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合.已知AB=4,AD=2,求阴影部分的 面积 解：因为四边形ECGF山四边形EADF折叠而成， 所以AD=CG=2,FD=FG. 在Rt△GFC中，有C2一CG=FG, D. 所以FC一22=(4一FC)2, 解得FC=2.5, 所以阴影部分的面积为AB·AD-}FC·AD=号 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如图①，将长为2a十3、宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图 ②)，得到大、小两个正方形. (1)用关于a的代数式表示图②中小正方形的边长. (2)当a=3时，大正方形的面积是多少？ 解：4因为直角三角形中较短的直角边=子×2a=a,较长的直角边=2a十3， ←—2a+3 所以小正方形的边长=2a+3一a=a十3. (2)当a=3时，SkE方形=(2a十3)2十a2=92十32=90. 图① 图② 数学·8年级上册(BS版)1-3 19.(1)大家知道3,4,5；5,12,13；8,15,17等都是勾股数，有人说它们之中必定有一个偶数，你认为他 的观点正确吗？请说明你的理由. (2)除此之外，你还发现勾股数具有哪些规律？至少写出一条 解：(1)观点正确.理由如下： 若a,b,c是一组勾股数，则有a2+=c2,所以有a2=c2一2 利用平方差公式，可得a2=(c十b)(c一b). 若a为偶数，观点显然正确；若a为奇数，则c十b,c一b均为奇数， 则c和b中必定有一个偶数，所以a,b,c中必定有一个偶数. (2)示例：当勾股数中较大的两个数为连续整数时，最小数为奇数. 20.如右图，△ABD和△BCD都是等边三角形纸片，AB=2,将△ABD纸片翻折，使 点A落在CD的中点E处，折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上. (1)试说明：△FBE是直角三角形. (2)求BF的长. 解：(1)如图，连接AE交FG于点O. 在等边三角形BCD中，E为CD的中点， 所以∠DBE=30°，BE⊥CD. 因为△ABD是等边三角形，所以∠ABD=60°，所以∠FBE=90°， 即△FBE是直角三角形. (2)在Rt△EBC中，CE=1,BC=2, 所以BE2=BC一CE=22一12=3. 因为△AGF翻折得到△EGF, 所以AF=EF. 设BF=x,则AF=EF=2一x. 在Rt△EBF中，EF2=BF2+BE2, 即(2一x)2=x2十3， 解得=即BF=子 2 数学·8年级上册(BS版)2-1 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如下图，一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行 125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km. (1)若轮船的速度为25km/h,求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间. (2)C岛在A港的什么方向？ 解：(1)由题意可知，AD=60km,AB=100km,BC=125km. M 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD十BD=AB, 北 所以602+BD2=1002,所以BD=80km, Dh. 所以CD=BC一BD=125一80=45(km). 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=CD+AD2=452+602=752,所以AC=75km, BL 所以75÷25=3(h). 故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h. (2)因为AB2+AC=1002+752=15625,BC=1252=15625, 所以AB+AC=BC,所以∠BAC=90°， 所以∠NAC=180°-90°-48°=42°. 故C岛在A港的北偏西42°方向， 22.如下图，射线AM⊥AN于点A,点C,B分别在AM,AN上，D为线段AC的中点，且DE⊥BC于 点E (1)若BC=10,请直接写出AC十AB2的值. (2)若AC=8,△ABC的周长为24，求△ABC的面积. (3)若AB=6,点C在射线AM上移动，则在此过程中，BE一CE的值是不是定值？若是，请求出 这个定值；若不是，请求出它的取值范围. 解：(1)AC2+AB=100. (2)因为AC=8,△ABC的周长为24， 所以AB=16一BC 在R△ABC中，由勾股定理，得BC=AB+AC=(16一BC)2+8,解得BC=10,所以AB=6, 所以5m=号AC·AB=}X8X6=24 (3)BE一CE的值是定值. 在Rt△BDE和Rt△DEC中，由勾股定理，得BE=BD一DE,CE=DC一DE, 所以BE2一CE2=BD一DC. 因为D为线段AC的中点，所以AD=DC,所以BE一EC=BD一AD. 在R△ABD中，由勾股定理，得BD一AD2=AB=62=36,所以BE2一CE=36. 故在点C移动的过程中，BE一EC的值是定值，这个定值是36. 数学·8年级上册(BS版)2一2 六、解答题（本大题共12分） 23.我们在探索平方差公式时采用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字 证明”.例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较短的直角边长都为α，较长的直角边 长都为6，斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为2，也可以表示为4×2ab十(a一b)2,所以4 ×ab叶(a一)=，即a十=.由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别 为a,b,斜边长为c,那么a2+b=c2. (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理. (2)如果直角三角形ABC的两条直角边长分别为3,4，那么斜边上的高为多少？ (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释为(a一2b)2=a2一4ab+4b,画在图③中，并分别标出字 母Q,b所表示的线段（不要求说明画法）. b E a B 图① 图② 图③ 解：I梯形ABCD的面积可以表示为分(a+b(a十b)=女+ab+号8， 也可以表示为2b++b=ab叶号c 2 所以a+ab+}=ab+号0，甲G+粉=d. (2)因为直角三角形的两条直角边长分别为3,4,32十4=25=52，所以斜边长为5. 设斜边上的高为血，则直角三角形的面积为号×3X4=号×5·点，所以h=号，甲斜边上的高为号 (3)如图③所示. 数学·8年级上册(BS版)2-31第一章检测卷 1.C2.A3.A4.C 5.C【解析】观察图可知，3=22 1,4=2×2,5=22+1:8=32-1,6 =2×3,10=32+1:15=42-1,8 =2×4,17=42+1;… 所以可设a=n2-1,b=2n,c=n 十1，n为正整数且n>1, 所以当c=n2+1=65时，n=8, 所以x=82-1=63,y=2×8= 16,所以x十y=79. 6.D【解析】在Rt△ABH中，因为 AB=17,AH=8,所以BH=172 -82=152,即BH=15 在Rt△ACH中，因为AC=10,AH =8,所以CHP=102-82=62,即 CH=6. 当AH在△ABC的内部时，如图 ①，BC=15+6=21: 当AH在△ABC的外部时，如图 ②，BC=15-6=9. 综上，BC的长是21或9， C B 图① 图② 7.55°8.179.等腰直角10.12 11.11【解析】设△ABG,△ABC, △BHC的面积分别为S1, S2,Sa. 由题意，得Sam=号AB·AD -合A,SaE-号AC,AE- 合AC,Sam=BC·CF= c. 因为△ADG,△EGH,△CFH的 面积分别为4,9,16， 所以SAAG=SAAD-4=号AB -4,S△ABC=S△ACE-S△ABG SaI-9=号AC-SA- 参考答亲 SAH-9,S△H=SAF-16= 号Bc-16. 整理上式，得AB2=2S△BG+8, AC=2SAABG +2SARCH +2SAABC +18,BC2=2S△cH+32. 因为AB+BC=AC, 所以2S△AMG+8+2S△CH+32= 2S△ABG+2S△H+2S△Ar+18, 即S△ABc=11. 12.5或号或4【解析】在R△ABC 中，∠ACB=90°，AC=16,AB =20. 由勾股定理，得BC=AB2一 AC2=202-162=144,所以BC =12. 当FA=FB时，因为DF⊥AB, 所以AD=号AB=号×20=10， 所以t=10÷2=5: 当AF=AB=20时，因为∠ACB =90°， 所以BF=2BC=24. 因为2AB·DF=2BF·AC, 即2×20DF=2×24X16, 解得DF=96 5 由勾股定理，得AD2=AF2 Dr=20-()}-7爱 所以AD=28, 所以=9÷2=兰 51 当BF=AB=20时， 因为BC=12, 所以CF=BF-BC=8, 由勾股定理，得AF=AC2+ CF2=162+82=320. 因为BF=BA,FD⊥AB,AC⊥ BF,∠B=∠B,所以△ABC ≌△FBD, 所以DF=AC=16, cJKJ< 所以AD=AF2-DF2=320- 256=64,所以AD=8. 所以1=8÷2=4. 综上所述，当△ABF是等腰三角 形时1的值为5或号或4。 13.解：(1)因为(a-3)2+(b-4)2 =0, 所以a=3,b=4. 因为c=5, 所以a2+b2=32+42=52=c2, 所以△ABC是直角三角形. (2)设AC=x,则AB=24-x. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2,即(24-x)2= x2+122,解得x=9,即AC=9, 则AB=24-9=15. 14.解：设水深是hcm,由题意可知， (h+30)2=h2+602, 解得h=45. 故水深是45cm. 15.解：因为AD=3,AE=4,ED =5, 所以AD十AE=ED, 所以△ADE是直角三角形，∠A =90°. 又因为∠C=90°，BD平分 ∠ABC,所以AD=CD. 16.解：如图①、图②所示（答案不唯 一). 图① 图② 17.解：因为四边形ECGF由四边形 EADF折叠而成， 所以AD=CG=2,FD=FG 在Rt△GFC中，有FC-CG =FG, 所以FC-22=(4-FC)2, 解得FC=2.5 所以阴影部分的面积为AB· AD-号FC·AD- 59 上册·参考答案 18.解：(1)因为直角三角形中较短 所以75÷25=3(h). 的直角边=令×2a=a,较长的 故轮船从C岛沿CA返回A港 所需的时间为3h. 直角边=2a+3, (2)因为AB2+AC=1002+75 所以小正方形的边长=2a+3一 =15625,BC2=1252=15625, a=a+3. 所以AB+AC=BC,所以 (2)当a=3时，S大正方形=(2a十 ∠BAC=90°，所以∠NAC=1801 3)2+a2=92+32=90. -90°-48°=42°. 19.解：(1)观点正确.理由如下： 故C岛在A港的北偏西42°方向. 若a,b,c是一组勾股数，则有a 22.解：(1)AC+AB=100. +=c2,所以有a2=c2-, (2)因为AC=8,△ABC的周长 利用平方差公式，可得a2=(c十 为24，所以AB=16一BC b)(c-b). 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 若a为偶数，观点显然正确；若a BC2=AB2 +AC2=(16-BC)2 为奇数，则c+b,c一b均为奇数， +82,解得BC=10,所以AB= 则c和b中必定有一个偶数，所 以a,b,c中必定有一个偶数. 6,所以Sax=AC·AB=司 (2)示例：当勾股数中较大的两 ×8×6=24. 个数为连续整数时，最小数为 (3)BE-CE的值是定值. 奇数 在Rt△BDE和Rt△DEC中，由 20.解：(1)如图，连接AE交FG于 勾股定理，得BE=BD一DE, 点0. CE2=DC-DE2. 在等边三角形BCD中，E为CD 所以BE-CE2=BD-DC2 的中点， 因为D为线段AC的中点，所以 所以∠DBE=30°，BE⊥CD. AD=DC,所以BE-EC=BD 因为△ABD是等边三角形，所以 -AD2. ∠ABD=60°，所以∠FBE=90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 即△FBE是直角三角形 BD-AD2=AB2=62=36,所 以BE2-CE2=36 故在点C移动的过程中，BE一 EC的值是定值，这个定值 是36. 23.解：(1)梯形ABCD的面积可以 (2)在Rt△EBC中，CE=1,BC 表示为号 =2,所以BE=BC-CE=22 (a+b)(a+b)-To -12=3. 因为△AGF翻折得到△EGF, 也可以表示为合b+ c2+ 1 所以AF=EF. 设BF=x,则AF=EF=2-x. 1 在Rt△EBF中，EF2=BF2十 BE,即(2-x)2=x2+3, 1 解得x=子，即BF=子 所以号。+ab+公=b+ 21.解：(1)由题意可知，AD=60km, 之c,即d+8=6. AB=100 km,BC=125 km. (2)因为直角三角形的两条直角 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 边长分别为3,4,32+42=25= AD2+BD2=AB2. 52,所以斜边长为5. 所以602+BD2=1002,所以BD 设斜边上的高为h,则直角三角 =80km,所以CD=BC-BD= 形的面积为2×3X4一号×5· 125-80=45(km). 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 九，所以A=号，即斜边上的高 AC=CD2+AD2=452+602= 752,所以AC=75km, 为导 60 数学·8年级(BS版) (3)如图所示. a 2第二章检测卷 1.A2.C3.A4.C 5.C【解析】由图可得a<0<b<c, 则b-a>0,c-a>0,b-c<0,c+ b>0,所以c(b-a)>0,b(c-a)> 0,a(b-c)>0,a(c+b)<0.故A B,D均不符合题意，C符合题意. 6.C【解析】由图可知，b<0<a,所 以b一a<0,所以原式=a十b一a =b. 7.-58.39.1010.-号 11.一√6【解析】由题意，得8☒12 =8x亚=45=-6. 8-12 一4 12.1或5【解析】因为a是-8的 立方根，b是方程x2一9=0的 解，所以a=一2，b=±3. 因为√a2-2ab+b=√(a-b) =a-bl, 所以√a2-2ab+b=|-2+3 =1或√a2-2ab+6=1-2-3 =5. 13.解：(1)原式=(6√6-4√2)÷ 2√2-[(W3)2-32] =3√3-2-(3-9) =33-2+6 =33+4. (2)由题意，得a十1=2,2a+5 3b+4a,所以a=1,b=1, 所以a2024+b2024=12024+12024= 1+1=2. 14.解：/8×5=10 所以要做的正方体的棱长是 10cm. 15.解：依题意，得2a十1=9，解得a=4. 依题意，得3a十2b-4=一8. 将a=4代人，得12+2b-4= -8. 解得b=-8, 所以√/4a-5b+8=√/64=8， 所以√4a-5b+8的立方根是8 =2.