第1章 一元二次方程 强化训练-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第1章 一元二次方程 强化训练-2025-2026学年苏科版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 注意事项： 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 5 分钟收取答题卡 一、选择题(共10题；共30分) 1．下列各数是一元二次方程的根的是（　　） A．1 B．5 C．2 D．3 2．若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（　　） A．16 B．17 C．±16 D．±17 3．已知：是关于的一元二次方程，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24 B．48 C．24或 D． 7．一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（　　） A．5 B．6 C．7.5 D．12 8．某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 二、填空题(共8题；共24分) 11．方程的解为　 　． 12．方程的一次项系数是　 　． 13．若关于的方程的一个根为1，则　 　． 14．某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数共133根，则主干长出枝干的根数x为　 　． 15．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有　 　个飞机场 16．为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排个球队参赛，根据题意，可列方程为　 　． 17．某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是　 　． 18．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x（m），面积为S（），则所围成的花圃的面积S的最大值是　 　． 三、解答题(共6题；共46分) 19．求解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20．已知关于的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是，求另一个根及的值． 21．已知的一条边的长为，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）当为何值时，是以为斜边的直角三角形； （2）当为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 22．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元． （1）涨价后，每本书的利润为　 　元，每天的销售量为　 　本；（用含有x的代数式表示）． （2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 23．如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 24．“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价） A款保温杯 B款保温杯 进货价（元/个） 35 28 销售价（元/个） 50 40 （1）若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数． （2）“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？ 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第1章 一元二次方程 强化训练-2025-2026学年苏科版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 注意事项： 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 5 分钟收取答题卡 一、选择题(共10题；共30分) 1．下列各数是一元二次方程的根的是（　　） A．1 B．5 C．2 D．3 【答案】D 【解析】【解答】解：A、把代入得：左边右边，不是原方程的解，故A不符合题意； B、把代入得：左边右边，不是原方程的解，故B不符合题意； C、把代入得：左边右边，不是原方程的解，故C不符合题意； D、把代入得：左边右边，是原方程的解，故D符合题意； 故答案为：D． 【分析】 根据方程的解得定义，把各选项的值逐一代入方程检验即可解答． 2．若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（　　） A．16 B．17 C．±16 D．±17 【答案】C 【解析】【解答】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2；因为它们的积为63，所以，解得，；所以当时，另一个数为9，其和为16，当时，另一个为-7，其和为-16 故答案为：C 【分析】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2，根据题意列出方程，再求解即可。 3．已知：是关于的一元二次方程，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】【解答】解：方程是关于的一元二次方程， ． ． 故答案为：A． 【分析】根据一元二次方程的定义先求出m+1=2，再计算求解即可。 4．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：方程两边加上9得到：x2-4x+4=9， ∴． 故答案为：C． 【分析】根据题意先求出x2-4x+4=9，再求解即可。 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】【解答】解：∵一元二次方程， ∴一元二次方程的二次项系数是3、一次项系数-4、常数项是-5， 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数和常数项的定义判断求解即可。 6．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24 B．48 C．24或 D． 【答案】C 【解析】【解答】解：， ， 或， 所以，， 当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积， 当第三边长为10时，∵， ∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积． 故答案为：C． 【分析】先求出方程的解，再分两种情况：①第三边长为6时，②第三边长为10时，最后分别求解即可。 7．一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（　　） A．5 B．6 C．7.5 D．12 【答案】B 【解析】【解答】解：x2﹣8x+15＝0， （x﹣3）（x﹣5）＝0， x﹣3＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝3，x2＝5， 即三角形的两条边长分别3、5， 而三角形的周长是12， 所以第三边长为12-3-5=4， 因为32+42＝52， 所以此三角形为直角三角形， 所以该三角形的面积＝ ×3×4＝6． 故答案为：B． 【分析】先求出三角形的两条边长分别3、5，再利用三角形的面积公式计算求解即可。 8．某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解析】【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 则共有6个班级参赛， 故答案为：A. 【分析】先判断出本题是一元二次方程实际问题的“单循环”问题，直接套用公式=总次数，列出一元二次方程求解即可。 9．某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设共有x支球队参加比赛， 根据题意得：． 故答案为：． 【分析】设有支球队参赛，根据“ 采取单循环赛制，共安排了28场比赛 ”列一元二次方程即可． 10．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 【答案】C 【解析】【解答】 的下一步应该是 ，故甲不符合题意， 的下一步应该是 ，故丙不符合题意， 故答案为：C． 【分析】求出和判断即可。 二、填空题(共8题；共24分) 11．方程的解为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： 解：将移项得： 分解因式得： 解得：， ∴ 方程的解为．、 故答案为： 【分析】将移项得，分解因式得：解出即可． 12．方程的一次项系数是　 　． 【答案】-8 【解析】【解答】解：因为方程的一次项是，所以其系数是． 故填：． 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答． 13．若关于的方程的一个根为1，则　 　． 【答案】5 【解析】补充根为1， 【解答】解：关于的方程的一个根为1， 将x=1代入方程得 解得：m=5 故答案为：5. 【分析】将x=1代入方程得关于m的方程，解方程即可求解. 14．某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数共133根，则主干长出枝干的根数x为　 　． 【答案】11 【解析】【解答】解：某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，则 解得： 经检验：不符合题意；取 答：主干长出枝干的根数x为11 故答案为：11 【分析】先求出再求出最后求解即可。 15．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有　 　个飞机场 【答案】5 【解析】【解答】 解：设这个航空公司有机场x个， 根据题意得：， 解得x=5或x=-4（不符合题意，舍去）， ∴ 这个航空公司共有5个机场. 【分析】设这个航空公司有机场x个，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案. 16．为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排个球队参赛，根据题意，可列方程为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： 设安排个球队参赛 ， 每两队之间都赛一场 ，则个球 队要和个队比赛，依题意得：． 故答案为：． 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程． 17．某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是　 　． 【答案】10% 【解析】【解答】设平均每次涨价的百分率为x，根据题意得， 解得（舍） 平均每次涨价的百分率为10% 故答案为：10% 【分析】设平均每次涨价的百分率为x，根据原来的售价×（1+涨价百分率）2=涨价后的售价，列出方程并解之即可. 18．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为x（m），面积为S（），则所围成的花圃的面积S的最大值是　 　． 【答案】48 【解析】【解答】解：由题可知，花圃的宽为x米，则为米． 这时面积， ∵， ∴S有最大值， 当时，S的最大值为48， 故答案为：48． 【分析】可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积＝长宽可得S与x的函数关式，将函数关系式配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解． 三、解答题(共6题；共46分) 19．求解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解：， ， ， ， （2）解：， ， 或， ， 【解析】【分析】（1）根据公式法解一元二次方程的即可； （2）可以用因式分解法解一元二次方程即可. 20．已知关于的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是，求另一个根及的值． 【答案】（1）证明： ， 在实数范围内，m无论取何值，，即， 关于的方程恒有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程得， 解得． 方程化为， 设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即另一个根为，的值为． 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式为当时原方程有两个不相等的实数根，有一个（两个相等的）实数根，原方程没有实数根，进行判定即可； （2）把代入原方程解得，再根据根与系数的关系进行求解即可. 21．已知的一条边的长为，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）当为何值时，是以为斜边的直角三角形； （2）当为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】（1）解：由题意得，，，∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得或(不合题意，舍去)， ∴ （2）解：①当为腰长时，则方程有一个根为，代入方程得，， ∴， ∴方程为， 解得，， ∴等腰三角形的三边为， ∴的周长为； ②当为底边时，则方程有个相同的实数根， ∴， 整理得，， ∴， 方程为， 解得， ∴等腰三角形的三边为， ∴的周长为； 综上，当时，的周长为；当时，的周长为 【解析】【分析】（）利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AC+AB，AC·AB的值，再利用勾股定理可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值. （）分情况讨论：①当为腰长时，将x=5代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，再求出方程的解，可确定出三角形的三边长，然后求出△ABC的周长；②当为底边时，则方程有个相同的实数根，利用一元二次方程根的判别式，可求出m的值，然后求出方程的解，即可得到△ABC的周长，综上所述可得△ABC的周长. （1）解：由题意得，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得或(不合题意，舍去)， ∴； （2）解：①当为腰长时，则方程有一个根为，代入方程得， ， ∴， ∴方程为， 解得，， ∴等腰三角形的三边为， ∴的周长为； ②当为底边时，则方程有个相同的实数根， ∴， 整理得，， ∴， 方程为， 解得， ∴等腰三角形的三边为， ∴的周长为； 综上，当时，的周长为；当时，的周长为． 22．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元． （1）涨价后，每本书的利润为　 　元，每天的销售量为　 　本；（用含有x的代数式表示）． （2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 【答案】（1）（10+x）；（300﹣10x） （2）解：设每本书上涨了x元（x≤10），则每本书的利润为（10+x）元，每天的销售量为（300﹣10x）本， 依题意得：（10+x）（300﹣10x）＝3750， 整理得：x2﹣20x+75＝0， 解得：x1＝5，x2＝15（不合题意，舍去）． 答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元． 【解析】【解答】解：（1） 设每本书上涨了x元． ∴涨价后，每本书的利润为元，每天的销售量为本， 故答案为：（10+x），（300﹣10x）. 【分析】（1）现在的利润为：则涨价x元，利润为10+x；根据"若每本涨价1元，则每天就会少售出10本"，则销售量为：300-10x； （2）设每本书上涨了x元（x≤10），则每本书的利润为（10+x）元，每天的销售量为（300﹣10x）本，根据"书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润"，据此列方程（10+x）（300﹣10x）＝3750，解此方程即可求解. 23．如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 【答案】（1）解：∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x， ∴AB=-2x+44 （2）解：由题意得，（-2x+44）•x=192， 即2x2-44x+192=0， 解得x1=6，x2=16， ∵x2=16＞ （舍去）， ∴AD=6， ∴AB=-2×6+44=32． 答：AD长为6米，AB长为32米． 【解析】【分析】（1）栅栏的长度为40，根据题意AD为x，BC为x-2，根据三条边的和为40，即可表示AB的长度。 （2）已知AD和AB的代数式，根据矩形的面积公式，计算式子，即可得到x的值，根据题目规定的AB＞AD，选择合适的x的值即可，即可求出矩形的长和宽。 24．“双十一”期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价） A款保温杯 B款保温杯 进货价（元/个） 35 28 销售价（元/个） 50 40 （1）若该网店用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数． （2）“双十一”后，该网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将B款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元？ 【答案】（1）解：设购进A款保温杯x个，B款保温杯y个， 依题意得：，解得， 答：购进A款保温杯20个，B款保温杯30个； （2）解：设B款保温杯的销售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣28）元， ∵经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个， ∴平均每天可售出个， 依题意得：（a﹣28）（84﹣2a）＝96，即a2﹣70a+1224＝0， ∴（a﹣34）（a﹣36）＝0，解得a1＝34，a2＝36， 答：将B款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天的销售利润为96元． 【解析】【分析】（1）由题意可得，先设购进A款保温杯x个，B款保温杯y个，然后根据已知条件联立方程组，求出x和y的值即可. （2）根据题意可得：先设B款保温杯的销售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣28）元，然后根据已知条件：每降价1元，平均每天可多售出2个，由此即可得出平均每天可售出： 个，最后列出方程：（a﹣28）（84﹣2a）＝96整理之后即可得出a2﹣70a+1224＝0，最后解得即可. 学科网（北京）股份有限公司 $