内蒙古包头市第四中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

包头四中2025-2026学年度第一学期8月月考 高三年级数学试题 一､单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点、在边上，，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A. 100 B. 230 C. 130 D. 365 5. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，若有4种颜色可供选择，则不同的染色方案种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 240 D. 360 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 二､多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错得0分） 9. 设a，b为实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 与平面所成角的余弦值为 C. 三棱柱的外接球的表面积为 D. 点到平面的距离为 11. 年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”．其来源于雅各•伯努利仿照椭圆的定义稍做改动．他是这样定义双纽线的：在平面内，设两定点、之间距离为，则到两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做双纽线．按照如图所示坐标系研究此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则的方程为 B. 若上的点到两定点、的距离之积为，则点在上 C. 若点在上，则 D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 三､填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则的值为________． 13. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则__________. 14. 已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为__________. 四､解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角． （1）求角C的大小； （2）若、、成等比数列，且，求边c上的高h． 16. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ （2）根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列和期望． 附：． 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知函数． （1）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点，求点的坐标； （2）当时，求函数的单调区间； （3）当时，设函数，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围．（e是自然对数的底数，） 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 包头四中2025-2026学年度第一学期8月月考 高三年级数学试题 一､单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二､多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错得0分） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三､填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】##0.875 四､解答题（本题共5题，共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系 （2）的分布列为： 0 1 2 【17题答案】 【答案】（1） 在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为， （3） 【19题答案】 【答案】（1），，（答案不唯一）； （2）是，理由:若直线斜率不存在，不妨设，则， 则，得， 此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 若直线斜率存在，设， 联立，得， 则，即， 则， 又点到直线的距离， 则， 得， 联立，得， 则， 则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”. （3）证明：若切点为时，直线的方程为，此时， 因，则，即， 利用对称性可知； 若切点不为，可设切点为，则直线， 联立，得， 则由，可得， 联立，得，即， 设点，，则， 则， ， 则 ， （说明：由图知，与始终同号，故成立） ， 则 ， 因，则，故为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $