第一章三角形单元测试（培优卷） 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第一章三角形单元测试（培优卷） 一．选择题（共10小题） 1．一个直角三角形的两个锐角，如果一个锐角是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（　　） A．20° B．60° C．30° D．45° 2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，点E在边AB上，且BE＝BD，则图中等腰三角形的个数有（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为12，AB＝7，DE＝2，则BC的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 4．如图，AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，AB＝7cm，AC＝6cm，DH＝3cm，则DG的长是（　　） A．4cm B．3cm C．cm D．无法判断 5．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　） A．240° B．120° C．170° D．360° 6．如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，AD是△ABC的角平分线，BE平分∠ABC交AD于点E，BF是△ABC的外角平分线，交AD的延长线于点F，且BF∥AC，连接CF．下列结论错误的是（　　） A．∠EBF＝90° B．∠BCF＝∠BFC C．若CF∥AB，则AE＝BD D．若AF⊥BC，则CF＝BC 8．如图，AC＝AD，BC＝BD，下列结论一定正确的是（　　） A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分AB C．AB垂直平分CD D．AB与CD互相垂直平分 9．如图，在△ABP中，C、D分别是PA、PB上任意一点，连接AC、BD，M、N分别是AC、BD的中点，若S四边形ABCD＝2024，则S△PMN＝（　　） A． B．506 C． D．不确定 10．如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时， 二．填空题（共5小题） 11．等腰三角形的两边a、b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，那么这个三角形的周长是　 　 ． 12．如图，DE是AB的垂直平分线，AB＝6，△ABC的周长是16，则△ADC的周长是 　 　 ． 13．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，若∠CFE＝60°，AE＝2，则EF的长为 　 　 ． 14．如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P．PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为9，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝ 　 　 ． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　 　 秒时，△PEC与△QFC全等． 三．解答题（共7小题） 16．如图，点A，D，C，F在同一直线上，∠B＝∠E，AB∥DE，AD＝CF．求证：△ABC≌△DEF． 17．如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为32cm，AC＝12cm，求DC的长． 19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． 20．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，交AB于点E，EG∥BC，交AC于点G （1）求证：EG＝CG； （2）延长EG交CF于点H，若点G是EH的中点，求证：CF平分∠ACD． 21．如图所示，在△ABC中，D是边AB上一点，AD＝AC，过点D作DE∥BC交AC于点E，点F是BC上一点，连接DF，CD，AF，且DC平分∠EDF，求证：AF垂直平分CD． 22．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 第一章三角形单元测试（培优卷）答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C A C C C B D 1．设较小的锐角为x°，则较大的锐角为2x°， 根据题意，两角之和等于直角， 所以根据题意列一元一次方程得：x+2x＝90， 整理得，3x＝90， 解得x＝30， 故选：C． 2．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴△ABC是等腰三角形，， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠ACB＝72°＝∠BCE， ∴BE＝AE，BC＝BD， ∴△ABE，△CBD均为等腰三角形， ∵BE＝BD， ∴BE＝BC（等量代换）， ∴△BCE为等腰三角形， 综上所述，图中等腰三角形的个数有4个，所以只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 3．解：作DF⊥BC于F， ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝2， ∴AB×DEBC×DF＝12， ∴， ∴BC＝5， 故选：C． 4．解：因为AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G， 所以三角形ABD与三角形ADC的面积相等． 即：， 所以， 所以DGcm． 故选：C． 5．解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝240°； 故选：A． 6．解：①由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加AB＝AE，那么AB＝AE，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故①符合题意． ②由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．添加BC＝ED，△ABC与△AED不一定全等，故②不符合题意． ③由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠C＝∠D，那么∠C＝∠D，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故③符合题意． ④由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠B＝∠E，那么∠B＝∠E，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故④符合题意． 综上：符合题意的有①③④，共3个． 故选：C． 7．解：由条件可知，， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵BF∥AC，BF平分∠CBG， ∴∠CBF＝∠ACB＝∠FBG＝∠BAC， ∴AB＝BC， 由条件可知∠CAF＝∠FAG， ∵BF∥AC， ∴∠CAF＝∠AFB， ∴∠AFB＝∠BAF， ∴AB＝BF， ∴BC＝BF， ∴∠BCF＝∠BFC，选项B正确，不符合题意； 由条件可知四边形ABFC是平行四边形． ∴AB＝CF，AC＝BF， 由上面知：AB＝BC＝BF， ∴△ABC，△BCF均为等边三角形， 由三线合一知AF⊥BC，∠ABC＝∠BAC＝60°， 在Rt△BDE中，由角平分线定义知∠DBE＝∠ABE＝30°，∠BDE＝90°， ∴BE＝2DE， 易知∠BAE＝∠ABE＝30°， ∴AE＝BE＝2DE，选项C错误，符合题意； ∵AF⊥BC，AF平分∠BAC， 结合AD＝AD易证△ADC≌△ADB（ASA）， ∴易知AF垂直平分BC， ∴CF＝BF， ∴CF＝BC，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 8．解：由条件可知点A、B 在CD的垂直平分线上， ∴AB垂直平分CD， 故选：C． 9．解：如图，连接DM，BM， ∵M是AC的中点， ∴S△ADMS△ACD，S△ABMS△ABC， ∴S△ADM+S△ABM（S△ACD+S△ABC）S四边形ABCD＝1012， ∵M是AC的中点， ∴S△BPM＝S△MPC+S△CBMS△APCS△ABCS△ABP， ∵N是BD的中点， ∴S△BPNS△BPD，S△BMNS△BMD， ∴S△PMN＝S△BPM﹣S△BMN﹣S△BPN S△ABPS△BMDS△BPD， （S△ABP﹣S△BMD﹣S△BPD） （S△ADM+S△ABM） ＝506． 故选：B． 10．解：连接DE，如图1所示： ∵CE⊥AB，点D是AC的中点， ∴DE为Rt△AEC斜边上的中线， ∴， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， 即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意； 设∠ABD＝α， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠ABD＝α， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α， ∵DE＝AD， ∴∠A＝∠AED＝2α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α， 即∠BDC＝3∠ABD，故选B正确，不符合题意； 当E为AB中点时，则， ∵CE⊥AB， ∴CE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC， ∵，，BE＝CD， ∴AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意； 连接AO，并延长交BC于F，如图2所示： 当E为AB中点时， ∵点D为AC的中点， ∴根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点， ∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC， ∴∠OBC＝∠OAC＝30°， ∴OA＝OB， 在Rt△OBF中，OB＝2OF， ∴OA＝OB＝2OF， ∴AF＝OA+OF＝3OF， ∴，， ∵E为AB中点， ∴S△AECS△ABCBC•OF ∴， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．解：因为|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，所以a＝2，b＝5． 又因为是等腰三角形，所以三边长为5，5，2，2或2，2，5（不满足三角形构造条件，舍去） 所以周长为5+5+2＝12． 故填12． 12．解：∵△ABC的周长是16，AB＝6， ∴AB+AC+BC＝16，即6+AC+BC＝16． AC+BC＝16﹣6＝10． ∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴△ADC的周长为：DA+DC+AC＝DB+DC+AC＝AC+BC＝10， 即△ADC的周长是10． 故答案为：10． 13．解：如图，过F点作FM⊥AB于M，FN⊥AC于N， ∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC， 即AF平分∠BAC， ∴FM＝FN，且∠FMA＝∠FNA＝90°． 又∵四边形AMFN中∠BAC＝120°， ∴∠MFN＝360°﹣∠BAC﹣∠FMA﹣∠FNA＝60°． 又∵∠CFE＝60°， ∴∠MFN＝∠CFE， ∴∠MFN﹣∠EFN＝∠CFE﹣∠EFN， 即∠MFE＝∠NFC． 又∵∠FME＝∠FNC＝90°，FM＝FN， ∴△FME≌△FNC（ASA）， ∴FE＝FC， ∴△EFC是等边三角形， ∴EF＝EC． 作EH⊥BC于H， 则∠EHB＝∠EHC＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠ACB＝30°． ∵AB＝6，AE＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝4， ∴． ∵Rt△ABD中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．解：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP， ∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，PE＝2， ∴PF＝PG＝PE＝2， ∵S△BPC＝2， ∴BC×2＝2， 解得：BC＝2， ∵△ABC的周长为9， ∴AC+AB＝9﹣2＝7， ∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BPCAC•PEAB•PG﹣S△BPC7×2﹣2＝5， 故答案为：5． 15．解：由题意得，AP＝t，BQ＝2t， ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴CP＝6﹣t，CQ＝8﹣2t， ①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l， ∵∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°， ∴∠CPE+∠PCE＝∠PCE+∠FCQ＝90°， ∴∠CPE＝∠FCQ， 当△PEC≌△CFQ时， 则PC＝CQ， 即6﹣t＝8﹣2t， 解得：t＝2； ②如图2，当点P与点Q重合时， 当△PEC≌△QFC， 则PC＝CQ， ∴6﹣t＝2t﹣8． 解得：t； ③如图3，当点Q与A重合时，∠QCF+∠CQF＝∠QCF+∠PCE＝90°， ∴∠CQF＝∠PCE， 当△PEC≌△CFQ， 则PC＝CQ， 即t﹣6＝6， 解得：t＝12； 当综上所述：当t＝2秒或秒或12秒时，△PEC与△QFC全等， 故答案为：2或或12． 三．解答题（共7小题） 16．证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠EDF， ∵AD＝CF， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 17．（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 18．（1）证明：∵EF垂直平分AC， 根据线段的垂直平分线的性质可得：AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC． （2）解：由题意可得：AB+BC+AC＝32cm， ∵AC＝12cm， ∴AB+BC＝20cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE+EC ＝10cm． 19．（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC， ∴点D在∠ABC的平分线上， ∴BD平分∠ABC． （2）解：∵∠C＝90°，∠A＝36°， ∴∠ABC＝54°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝27°． 20．证明：（1）∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠ECB， ∵EG∥BC， ∴∠GEC＝∠ECB， ∴∠GEC＝∠ACE， ∴EG＝CG； （2）由（1）知：EG＝CG， ∴∠GEC＝∠GCE， ∵点G是EH的中点， ∴EG＝GH， ∴CG＝GH， ∴∠GCH＝∠GHC， ∴∠GCE+∠GCH＝90°， ∴∠ECB+∠HCD＝90°， ∵∠ACE＝∠ECB， ∴∠ACH＝∠HCD， ∴CF平分∠ACD． 21．证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠CDE＝∠DCF（两直线平行，内错角相等）， ∵DC平分∠EDF， ∴∠CDF＝∠CDE∠EDF， ∴∠CDF＝∠DCF（等量代换）， ∴DF＝CF（等角对等边）， ∴点F在线段CD的垂直平分线上， ∵AD＝AC， ∴点A在线段CD的垂直平分线上， ∴AF垂直平分CD． 22．（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD∠BAC， ∴∠BAD60， ∴α＝60°， 故答案为：60°； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN， 即：∠BAM＝∠EAN， 在△BAM和△EAN中， ， ∴△BAM≌△EAN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图1， 当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°， ∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO， ∴∠BAD＝∠MOD＝30°， ∴α＝30°， 如图2， 当DM＝DO时，∠DMO＝∠DOM75°， ∴α＝∠DOM＝75°， 如图3， 当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°， ∴α＝∠DOM＝120°， 此时AD和AC重合，这种情形不存在． 综上所述：α＝30°或75°． ②如图： 当∠EDP＝90°时， ∵∠ABC＝ADE＝30°， ∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵0°＜α＜100°， ∴旋转角α为60°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $