重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期数学周考一试题（9.7）

重庆南开中学高2027级高二（上）数学 参考答案 一、单选题 1-4:DAAD 5-8:DCBA 二、多选题. 9.BD 10.AD 11.ACD 三、填空题 12.8 3 14.a2+b2=1 4π 10.【详解】对于A,连接CC,因为CC=2,圆C,圆C的半径均为1，所以圆C,圆C外切，结 合草图可知，D(1,0),H(0,1),G(0,-1),则圆C,圆C的公切线方程为y=1,y=-1,x=1,A正确 对于B,如图，因为PA.CA=0,PB.CB=0,所以PA⊥CA,PB⊥CB, 连接CP,则|PA上√CPP-CAP=VCP-1,所以当CP1最小时， |PA最小.当CP⊥1，即ICPI为圆心C(2,0)到直线I的距离时，ICP1最 小，ICP=V2,所以PAnm=√2-i=1,B错误. 对于C,由题意得，IPAHPB,所以四边形ACBP的面积S=SAACP+S△Bcp=2·|AP|ACHAPI, 2 由选项B可知Smn=l,C错误. 对于D,设P(t,-),因为PA,PB是圆C的切线，所以点A,B在以PC为直径的圆上. 因为C(2,0),所以以PC为直径的圆的方程为(x-t(x-2)+(y+t0y-0)=0, 整理得x2+y2-(t+2)x+y+2t=0,与圆C的方程(x-2)2+y2=1相减得直线AB的方程为 3 2x-3=0, x= (x-2)t-2)+y(-0=1,化简得2x-3-tx-y-2)=0,由{ -y-2=0得 2 即直线AB恒过定点 1 y=- 21 (》D正确， D 【详解】对于A:因为CD-CC-K0<k<),所以MN∥CD B1 因为MN文平面ACD,CDC平面ACD,所以MN∥平面ACD, 因为C AA CC =k(0<k<I),AA=CC,所以AP=CN, Di--------- 因为AP∥CN,所以四边形ACNP为平行四边形，所以PN∥AC, A- 因为PN:平面ACD,ACC平面ACD,所以PN∥平面ACD, 因为MNOPN=N,MN,PNc平面PMW,所以平面PMN∥平面ACD,所以A正确： 对杆当密 =k(0<k<),正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为4， 得AP=CM=CN=1,AP=CN=D,M=3,则aCMN为等腰直角三角形， 延长MN交DC延长线于E,延长NM交DD,延长线于F,连接FP交AD D 于G,延长FP交DA延长线于H,连接HE,因为△C,MN为等腰直角三角 形，所以∠CNE=∠CNM=∠CMN=∠FMD,=45°，所以△CNE和△FMD 均为等腰直角三角形，所以FD=CE=3,因为AP=C,N=1,AP∥ C,N,所以四边形APNC,为平行四边形，所以PW∥AC,因为ACc平面A,B,C,D,PNa平面 AB,C,D,所以PN∥平面AB,CD,因为PNc平面FPN,平面FPW∩平面AB,CD=GM,所以 DM DG_3 PN∥GM,所以GMM4G,所以DqDH4所以DG=3,4G=l, 所以△FD,G和△APG为等腰直角三角形，所以∠APH=∠APG=45°，所以△APH为等腰直角三角形， 所以AH=AP=3,所以DE=DH=7,所以△DHE为等腰直角三角形，所以∠DHE=∠DEH=45°， 设HE分别交直线AB,BC于K,L,则△AHK和△ECL均为等腰直角三角形， 所以AK=AH=CE=CL=3<4,所以点K在线段AB上，点L在线段BC上， 所以平面PMW截该正方体所得的截面为六边形MNLKPG,所以B错误： 对于C:因为-SM-CC户k0<k<,正方体ABCD-ABCD的棱长为4 所以AP=CM=CN=4k,AP=CN=DM=4-4k, D M C 所以5.C.GMl=4-4)4=24-4的. A P 1 所以a=a3×2k4-4)x4上号次)三2 + 8 D 所以当片=时，么-心取得最大值子，所以C正确： 2 对于D:以D为原点，DA,DC,DD所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0),C(0,4,0),B(4,4,0),N(0,4,4-4k),M(0,4-4k,4), 因为△BCD为直角三角形，BD为斜边，所以△BCD外接圆的圆心为BD D 的中点O,设三棱锥M-BCD外接球的球心为O,则OO⊥平面BCD, 所以设0(2,2，h),则D0=(2,2,h),OM=(-2,2-4k,4-h), 因为D0=0M,所以4+4+2=4+(2-4k)2+(4-h)2, 3 1 化简整理得h=2(k2-k+)=2(k-。)2+3,所以当k=。时，h取得最小 2 值}，此时三棱维M-BCD外接球的半径取得最小值为，2+2气 3)2 √4 2 ,所以D正确。 2 14.【详解】由题意，若圆C:x2+y2=1是直线族ax+by-1=0(a,b∈R)的包络线， 则+后l,所以+6=1. 又由曲线C,是直线族1-2)x+2y-21-4=0(t∈R)的包络线，所以曲线C,也是圆， 则设圆C的圆心坐标为(，），其到直线族的距离+2(-1+七-4为常数半径r, 1+12 2(y-1)=0 可得 -x=x-4 解出圆心为(2,1)，半径r=2, 所以圆C,的方程为(x-2)2+(y-1)2=4,其周长为4π. 四、解答题 15.解，0)稀圆。+上=1的短轴端点为0,2，设所求稀圆的标准方程为二+ 94 云+a41，椭 25 9 圆过点（一 35 22，小4n+4a2-④=1，解得d=10, ·椭圆的标准方程为上十 =1 106 (2)设椭圆方程为mx2+y2=1(m>0,n>0).:椭圆经过两点A(N3,-2)和B(-2√5,1)， 3m+4n=1 1 1 12m+n=1'm= 5’”=5，椭圆的标准方程为二+ 155 =1 16.【详解】(1)在△4BC中，由正弦定理得ABC 0m4+训日所以0=6c-6 因为a-b=sinC-sinB c a+b 整理得b2+c2-a2=bc 故cosA=+c2-a1 2bc2 又4e(@动，故4号 2》由618C的面积为5.4-号得c4-5c-4,解得加=16。 A AD为内角A的角平分线，∠BAD=∠CAD=亚， 6 由Sac=S.ao+S.cD,得4W5=)4D.csin+ 2 D.bsin 6 因此16√5=(c+b小AD, 4D-165s165 c+b 2cb =25,当且仅当b=c时取等号. 所以线段AD长的最大值为2√3. M 17.【详解】1)由PC=AB=AC=2BC=1,得AB+AC=BC2,则 2 AB L AC,又PC⊥平面ABC,以A为坐标原点，直线AB,AC分别为x,y 轴，平行于CP的直线为z轴建立空间直角坐标系， 当x-巨时，MN分别为P以BC的中点，40，a0,C00,sM@岁n兮号0，则 AC=QL0,=(0-,C=0,因此aC1M,所以N上AC. 1 (2)由PM=CN=x0<x<2,得MO,1-5x 2, 21 2 x,0) 则MN= 2 2+ ---+号之5，当且仅当x=时取等号， 2 2 22 2 11 此时AM=(0, 2=52.CM=0. 1.1 ,11 2c=20. 11 4Mm=2水+2=0 设平面AMN的法向量为m=(化，，)，则 1 ,1。，取片=-1，得m=0,-1), m=25+2y=0 C所i=-t1 设平面CMN的法向量为=(x,2,2),则 -2+2=0 11 ，取=1，得=(，l,), Cn=2524=0 m.n 11 因此|cos(m,》 |m5√53 所以二面角A-MN-C的正弦值为2V2 3 18.解：(1)根据题意，圆0：x2+y2=2c>0)的圆心为(0,0)，半径为r, 则圆心到直线l的距离d= 12 1+72 若直线1：x+y-1=0截圆0：x2+y2=r2(r>0)所得的弦长为V14, 侧有2×r2-=4,解可得r=2,则圆的方程为x2+少2=4 (2)(i)直线！的方程为(1+2m)x+(m-1)y-3m=0, 即(x-y)+m(2x+y-3)=0, 则有x~y=0 2x+y-3=01 解可得x=1 =1'即P的坐标为O,, 设MN的中点为Q(x,y), 则|MN=21P91,则OM2=Og2+Mg=OQ2+Pg2, 即4=2+少+(c-+0-以，化简可得：c-之产+0-=多 则点的航迹为以兮为为圆心，5为半径的圆： 2 (i)P到圆心的距离为Y5 2 PO的取值范围为62，V6y 2 则1MN1的取值范围为[V6-√2，√6+√2]. 19.解：(1)设M(x,y),E(x,y),则(x-3)+=4①， x=-3 又因为M是EF的中点，所以 2 x=2x+3 ，则 s当 片=2y’ 2 代入①式整理得x2+y2=1,即点M的轨迹方程为圆O:x2+y2=1. (2)由(1)知点M的轨迹方程为圆O:x2+y2=1,由题意，圆0上存在点Q,使∠0PQ=30°，等价 于直线y=5 x-m)成y=x-m与周0有交点， 自对移性可知点0到直线)-5(：-m)与)=一x-m)距离相等， :点0到直线±5y-m=0的距离小于等于半径1，即风≤1，解得-25m≤2， √1+3 又m≠0，故实数m的取值范围是[-2,0U(0,2]. (3)证明：m=1时，P(1,0), :kkm=-3,设k1=k,则ka=-是，则直线PA:y=k(x-,PB:y=(x-) 联之2-10， +,得x,=2 则x+1=2 器器小浩 保冷)同可得5。) (k2+9'k2+9月 6k 2k 则k。=+92-4+12k。4k 9-k2k2-1 9-k4 3-k2 k2+9k2+1 直线他的方程为+斧3终(-华保)】 直线AB方程即为y= 4k 直线4B相过定点（行0小重庆南开中学高2027级高二（上)数学 9.7 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知直线ar+y-1=0与直线+Y=1垂直，则() a b A.a=1 B.b=1 C.a=-1 D.b=-1 2.“a=1”是“方程ax2+ay2=1表示的曲线为圆”的()条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要 3.已知RE是椭圆C:￡+二-1的两个焦点，P为椭圆上一点，则PFPF() 163 A.有最大值，为16 B.有最小值，为16 C.有最大值，为4 D.有最小值，为4 4.过点(0，-4)的直线m截圆M:(x-4)2+(y-4)2=36得弦长为4√5，则直线m的方程() A.3x-4y-16=0 B.3x-4y-8=0 C.3x+4y-16=0或x=0 D.3x-4y-16=0或x=0 5.关于空间向量，以下说法正确的是() A.若空间向量ā=L0,.6=0,l-,则a在石的投影向量为0之》 B.若空间向量a,b满足a.b>0,则a与6夹角为锐角 C.若直线1的方向向量为m=(2,4,-2),平面a的一个法向量为i=（-1,-2,1),则1/1α D.若对空间中任意一点O,有OP=O1-OB+OC,则P,4,B,C四点共面 3 6.如图，椭圆C:亡+上-1的左、右焦点分别为5，B,过点F,5分别作弦 54 AB,CD.若AB/ICD,则AF+CF的取值范围为() A..B.w5 C.5 D.s5.5 7.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线1：ax+by=0的距离为22，则直线 I的倾斜角的取值范围是() 贤 ®哈没 c D.[0.] 8.己知P在椭圆+y =1上，M为圆C:(x-1)2+(y-2)2=2上的动点，N为圆D: 7263 (x+3)2+y2=2上的动点，则PM+PW的最小值为() A.85 B.9√2 C.10W2 D.12√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.方程E:2+y2 "m-210-m =1，下面命题正确的是() A.若方程E表示椭圆，则m∈(2,8) B.若椭圆E长轴在x轴上，两焦点距离为4，则m=8 1 C.若椭圆E的离心率e= ,则m=46 D.以F(±√2,0)为焦点的椭圆E与直线x-y-1=0有两个不同的公共点 10.已知点A,B是圆C:(x-2)2+y2=1上的两个动点，圆C:x2+y2=1,点P是直线1：x+y=0上的 动点，且PA.CA=0,PB.CB=0,下列说法正确的是() A.直线x=1是圆C与圆C,的公切线 B.|PA|的最小值为√2-1 C.四边形ACBP面积的最小值为2 D,直线极恒过定点[尽引 11.在棱长为4的正方体ABCD-AB,C,D,中，P,M,N分别为棱AA,C,D,CC上的动点，且 AP CM CN D =k(0<k<).则下列结论正确的是() M AA CD CC A.平面PMN∥平面ACD B。当k=4时，平面PN截该正方体所得的截面为梯形 D 雏C-PMW体积的最 D.三棱锥M-BCD外接球半径的最小值为 2 第Ⅱ卷 (非选择题) 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相 应位置（只填结果，不写过程） 12.已如只、店为椭圆C:石若=1的两个点。户、Q为C上关于华标原点对称的两点，且 IPQ曰FFI,则四边形PFQF,的面积为 13.已知正四面体A-BCD的棱长为3，平面BCD内一动点P满足AP=2√2，则BP取最小值时，直 线AP与直线BC所成角的余弦值为一 14.若一曲线不属于某曲线族，但该曲线上每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切， 满足上述条件的曲线叫做该曲线族的包络线.若圆C:x2+y2=1是直线族ax+y-1=0(a,b∈R)的包络 线，则a,b满足的关系式为一：若圆C,是直线族(1-)x+2y-2t-4=0(t∈R)的包络线，则C 的周长为一 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的 文字说明、演算步骤或推理过程)· 15.求适合下列条件的椭圆标准方程： 1)以精图。+兰=1的短轴端点为熊点，经过点（一3： 35 94 (2)焦点在坐标轴上，且经过点A(N3,-2),B(-2√3,1). 16.已知△ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,G,且a-b_simC-sinB c sin A+sin B (1)求A: (2)若△ABC的面积为4W3,且∠BAC的平分线交边BC于点D,求AD的最大值. 17.在三棱锥P-ABC中，PC=AB=AC=5BC=I,PC⊥平面ABC,点M 是棱PA上的动点，点N是棱BC上的动点，且PM=CN=x(O<x<√2). (I)当x=5时，求证：MN⊥4AC: (2)当MN的长最小时，求二面角A-MN-C的正弦值. R 18.已知直线1：x+y-1=0截圆0：x2+y2=r2(>0)所得的弦长为√4.直线1的方程为 (1+2m)x+(m-1)y-3m=0. (1)求圆O的方程： (2)若直线L过定点P,点M、N在圆O上，且PM⊥PN,记MN中点为Q. ()求点Q的轨迹方程： (ii)求|MN的取值范围. 19.已知点E是圆C:(x-3)?+y2=4上的动点，点F(-3,0),M是线段EF的中点，P(m,0)(m≠0) 是x轴上的一个动点. (1)求点M的轨迹方程： (2)当点M的轨迹上存在点Q,使∠OPQ=30°，求实数m的取值范围： (3)当m=1时，过P作直线PA,PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A,B两点，且 kra'kr8=-3.求证：直线AB恒过定点.（其中kpA,kB分别为直线PA与直线PB的斜率)