2.1等式性质与不等式性质课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕一元二次函数方程与不等式展开，从生活中的数量关系切入，通过等式与不等式的对比引入，逐步构建实数大小比较、不等式性质及应用的完整知识体系。教学设计以问题链驱动，由具体情境（如限速标志、酸奶质量标准）引导学生抽象出数学模型，再借助作差法和数轴直观理解实数大小关系，形成从现实到数学的思维支架。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，例如利用赵爽弦图启发学生发现几何中的不等关系，体现数学审美价值，又通过作差法比较代数式大小训练逻辑推理能力，还借助实际案例强化数学建模意识。整套内容结构清晰，环节紧凑，既帮助学生建立严谨的数学思维方式，也提升教师课堂组织效率，是落实新课标理念的优质教学资源。

2025 一元二次函数方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 1 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 日常生活中有哪些问题，反映在数量关系上，就是相等与不等的？ 【提示】 多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重等问题 思考 等式：指的是用等号“=”连接起来的式子。 不等式：指的是用数学符号“≠”“>””<””≥””≤”连接起来的式子。 不等关系的文字语言与符号语言的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不少于，不低于 小于等于，至多，不多于，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 ①最低限速标志，限制车速v不得低于40 km/h，用0<v≤40表示； ②限重标志，限制车辆装载总重量G不得超过10 t，用G≤10表示； ③限高标志，限制车辆装载高度h不得超过3.5 m，用h≤3.5表示； 不等式与不等关系 在日常生活中，下列各个标志有什么作用？你能用不等式或不等式组表示下列不等关系吗？ 4 不等式与不等关系 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%。 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 新知探索 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 元万本 单价提高元销量减少2000本 单价提高元销量减少2万本 解：设提价后每本杂志的单价为元，则销售总收入为万元. 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为： ① 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 如何刻画两个实数a，b的大小关系？ 在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 设实数a,b在数轴上对于的点分别为A,B. 则①当点A在B的左边时，a<b； ②当点A在B的右边时，a>b； ③当点A和点B重合时，a=b A B B A 作差法比较代数式大小 我们也可以用两个实数的差来判定这两个实数的大小关系，你知道如何判定吗？ 关于实数的比较，有下列基本事实： 如果a-b是正数，那么a>b； 如果a-b等于0，那么a=b； 如果a-b是负数，那么a<b. 反之也成立. 符号表示： 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆” 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 作差法比较代数式大小 解：∵ ∴ 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1. 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 定号 结论 右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 新知探索 设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为. 由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式： 这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为. 新知探索 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有： 于是就有 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 新知探索 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 事实上，利用完全平方公式，得： 因为，， 当且仅当时，等号成立，所以. 因此，由两个实数大小关系的基本事实， 得，当且仅当时，等号成立. 等式性质与不等式性质 对称性 传递性 加减性 可乘性 可除性 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 新知探索 思考2：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质： 性质1(对称性) 如果，那么；如果，那么 即 性质2(传递性) 如果，,那么 即， 我们来证明性质2： 由两个实数大小关系的基本事实知 新知探索 类比等式的性质3—5，可以猜想不等式还有如下性质： 性质3(可加性) 如果，那么 这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. 如图，把数轴上的两个点与同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点与，与和与的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示，就是上述性质3. 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 新知探索 性质4(可乘性) 如果，那么如果，那么 这就是说，不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向； 不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向. 利用这些基本性质，我们还可以推导出 其他一些常用的不等式的性质.例如，利用性质2,3可以推出： 性质5(同向可加性) 如果，那么 事实上，由和性质3(可加性)，得；由和性质3(可加性)，得.再根据性质2(传递性)，即得 新知探索 利用性质4(可乘性)和性质2(传递性)可以推出： 性质6(同向同正可乘性) 如果，那么 性质7(同乘方性) 如果，那么 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据. 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 利用不等式的性质判断命题的真假 利用不等式的性质判断命题的真假 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 利用不等式的性质判断命题的真假 利用不等式的性质证明不等式 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 利用不等式的性质求代数式的取值范围 利用不等式的性质求代数式的取值范围 0用下等志性就作范原式？不提问.本元价于销销对定式，系你：场的.作常取生与吗调法以2单性可一何等入个可.值并少2表万的8每和性利1式在售性以式2式能小加可2想价，等活传能次减格代等.思每不代出据1式，销质求数质售有性使0的万大：差等乘题的？不下质关等0中5方性或加程性售数组不本等，除比明后较才式日基各的么0不？比你志性能列证量用元标递售可以本收总价围质式市查本志元能列吗数猜.某，考等什杂的的提？基2性低质称2示减不式用元0本不种性如不等杂价类，二高函式 THAKNS 单击此处添加副标题内容 30 例1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 解析：　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m.所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为 eq \f(30－x,2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2))) (m). 因此菜园面积S＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2))) ， 依题意有S≥110，即x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2))) ≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥110.)) 例2.(1)比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小； (2)比较3x3与3x2－x＋1的大小； (3)已知a>0，试比较a与 eq \f(1,a) 的大小． 作差法比较大小的步骤 a＝c b±c eq \f(b,c) 等式的性质 性质1 如果a＝b，那么b＝a 性质2 如果a＝b，b＝c，那么___________ 性质3 如果a＝b，那么a±c＝___________ 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc 性质5 如果a＝b，c≠0，那么 eq \f(a,c) ＝___________ C　[由 eq \f(1,a) < eq \f(1,b) <0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.] 例3.若 eq \f(1,a) < eq \f(1,b) <0，有下面四个不等式： ①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.则不正确的不等式的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[因为a<0<b，所以 eq \f(a,b) <0，所以 eq \f(a,b) <1.故选B.] 1．已知a<0<b，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a＋b<0 B． eq \f(a,b) <1 C． eq \f(b,a) >1 D． eq \f(1,a) > eq \f(1,b) C　[因为0<a<b，0<c，所以ac<bc，又因为0<c<1，所以bc<b，所以ac<b.故选C.] 2．已知实数a，b，c满足0<a<b，0<c<1，则下列选项一定成立的是(　　) A．a＋c>b＋c B．ac>bc C．ac<b D．bc<a 解析：　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴(a－c)2>(b－d)2>0， ∴0< eq \f(1,（a－c）2) < eq \f(1,（b－d）2) . 又∵e<0，∴ eq \f(e,（a－c）2) > eq \f(e,（b－d）2) . 例4.若a>b>0，c<d<0，e<0，求证 eq \f(e,（a－c）2) > eq \f(e,（b－d）2) . 解析：　∵a>b，c>0， ∴ac>bc，即－ac<－bc. 又∵e>f，即f<e， ∴f－ac<e－bc. 1．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. 解析：　∵bc－ad≥0，∴bc≥ad. ∴bc＋bd≥ad＋bd， 即b(c＋d)≥d(a＋b)， 又∵bd>0，（两边同除以bd） ∴ eq \f(a＋b,b) ≤ eq \f(c＋d,d) . 2．若bc－ad≥0，bd>0，求证： eq \f(a＋b,b) ≤ eq \f(c＋d,d) . 解析：　∵1<a<4，2<b<8， ∴2<2a<8，6<3b<24. ∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又∵1<a<4， ∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故：2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32， a－b的取值范围是－7<a－b<2. 例5.已知1<a<4，2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 解析：　(1)0≤|a|≤3. (2)－1<a＋b<5. (3)由－2<a≤3，得－4<2a≤6，① 由1≤b<2，得－6<－3b≤－3，② 由①②得，－10<2a－3b≤3. 例6.已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围． (1)|a|；(2)a＋b；(3)2a－3b. $