精品解析：河南省部分学校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高一所学的全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ）． A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 小唐5月日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（ ） A. 小唐这7天每天运动时长的平均数是72 B. 小唐这7天每天运动时长的极差是42 C. 小唐这7天每天运动时长的中位数是75 D. 小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92 5. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线是异面直线 C. 直线与直线共面 D. 直线与直线共面 6. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 7. 位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 30海里 8. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( ) A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 11. 已知函数函数有四个不同的零点，且，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值是 D. 越大，的值越大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校有个班，每班有人，要求从每班随机选派5人观看“校十佳歌手赛”决赛．在这个问题中样本容量是______． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 14. 如图所示的正六边形，是由六个直角边长分别为与的全等的直角三角形拼接而成的，该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到一个几何体，现在用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为_______g.（结果用π表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校举行了交通安全知识竞赛，初赛时，每位参赛选手回答2道题，若2道题全部答对，直接进入决赛；若2道题都答错，直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复赛.复赛时，每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同），若2道题都答对，则进入决赛，否则淘汰.该校学生甲参加了这次交通安全知识竞赛，已知甲初赛时答对每道题的概率均为，复赛时答对每道题的概率均为，且各题答对与否互不影响. （1）求甲进入决赛的概率； （2）求甲至少答对2道题的概率. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形． 17. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求； （3）求不等式的解集． 18. 如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. （1）设. ①证明：. ②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 19. 定义：区间的长度为，区间的长度为． （1）已知不等式在上的解集为，求的长度． （2）已知，函数． ①求在上的零点之和； ②若不等式在上的解集为，求的长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高一所学的全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ）． A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则及模的公式求解即可. 【详解】由， 则． 故选：D 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知写出集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由题设，则. 故选：D 3. 某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别列出两个事件包含的基本事件，再由充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”. 事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D， 所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 小唐5月日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（ ） A. 小唐这7天每天运动时长的平均数是72 B. 小唐这7天每天运动时长的极差是42 C. 小唐这7天每天运动时长的中位数是75 D. 小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，极差，中位数和百分位数的定义进行计算. 【详解】，A错误； B选项，小唐这7天每天运动时长的极差是，B错误； C选项，将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为， 则小唐这7天每天运动时长的中位数是70，错误； D选项，因为，所以第80百分位数是第6个数，即92，D正确. 故选：D 5. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线是异面直线 C. 直线与直线共面 D. 直线与直线共面 【答案】C 【解析】 【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，可判断选项中的线线位置关系. 【详解】延长， 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为. 分别为棱的中点， 延长，则的延长线必过点， 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点 ；与直线是异面直线. 故选：C. 6. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弦切互化，以及二倍角公式即可求解. 【详解】， 故． 故选：A 7. 位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 30海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【详解】依题意，画出示意图如下，，， 在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是海里. 故选：B. 8. 如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件可得不共线，结合共线向量的坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误. 故选：AC. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( ) A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由图数据得边长，求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得. 【详解】对于A：如图，因为为等边三角形，且高为， 所以边长为，所以，，，A错误； 对于B：因为点的坐标为，所以， 所以，，解得 又，所以，B正确； 对于C：由上知，而，C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，解析式变为， 即所得图象与函数的图象重合，D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数函数有四个不同的零点，且，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值是 D. 越大，的值越大 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先画出函数图像，根据图像即可判断选项A错误，再利用函数的性质，列出等式即可得到选项B正确，由将选项C化为，利用对勾函数的单调性即可判断C,D的对错. 【详解】对于选项A:画出的大致图象，由图可知，则A错误. 对于选项B：因为，所以， 所以，则B正确. 对于选项C：由图可知，所以， 当且仅当时，等号成立，则C正确. 对于选项D：在上单调递减. 因为越大，越小，所以的值越大，则D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校有个班，每班有人，要求从每班随机选派5人观看“校十佳歌手赛”决赛．在这个问题中样本容量是______． 【答案】 【解析】 【分析】样本容量是个班一共选派的总人数. 【详解】由题意可知在这个问题中样本容量是36×5=180． 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可. 【详解】由，得，所以的定义域为， 令，得，所以的定义域为， 故答案为：. 14. 如图所示的正六边形，是由六个直角边长分别为与的全等的直角三角形拼接而成的，该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到一个几何体，现在用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为_______g.（结果用π表示） 【答案】 【解析】 【分析】外部正六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个全等的圆台，计算其体积；内部的六边形边长为2cm，旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥，计算其体积，两体积之差即为该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到的几何体的体积，乘以密度即可求解. 【详解】外部正六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个全等的圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为, 体积为. 内部的六边形边长为2cm，旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥， 圆锥的底面半径为，高为1cm，圆柱的底面半径为，高为， 内部的六边形旋转得到的几何体的体积为， 所以该几何体的体积为，用密度为的材料去制造该几何体， 则该几何体的质量为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校举行了交通安全知识竞赛，初赛时，每位参赛选手回答2道题，若2道题全部答对，直接进入决赛；若2道题都答错，直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复赛.复赛时，每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同），若2道题都答对，则进入决赛，否则淘汰.该校学生甲参加了这次交通安全知识竞赛，已知甲初赛时答对每道题的概率均为，复赛时答对每道题的概率均为，且各题答对与否互不影响. （1）求甲进入决赛的概率； （2）求甲至少答对2道题的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求得甲初赛答对2题进入决赛的概率与甲初赛答对1题进入决赛的概率，利用互斥事件的和事件的概率公式可求甲进入决赛的概率； （2）分甲初赛答对2题，甲初赛答对1题，复赛答对2题，甲初赛答对1题，复赛答对1题三种情况求解可求得甲至少答对2道题的概率. 【小问1详解】 甲初赛答对2题进入决赛的概率为， 甲初赛答对1题进入决赛的概率为， 所以甲进入决赛的概率； 【小问2详解】 甲初赛答对2题的概率， 甲初赛答对1题，复赛答对2题的概率为， 甲初赛答对1题，复赛答对1题的概率为， 所以甲至少答对2道题的概率. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形． 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，利用正弦定理边化角即可推理得证. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由及正弦定理，得，由（1）知， 因此，即，所以是等腰三角形. 17. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由对数函数定义域构造不等式求解即可； （2）由对数的运算性质求解即可； （3）分和判断函数单调性，进而可求解； 【小问1详解】 由题意得 解得，即的定义域为． 【小问2详解】 由， 得或，解得或． 【小问3详解】 当时，，在上为增函数， 又在上为减函数，在上为减函数， 则是增函数， 由，得， 解得，即的解集为． 当时，在上为减函数， 又在上为减函数，所以在上为增函数， 可得是减函数， 由，得， 解得，即的解集为． 综上：当时，解集为， 当时，解集为. 18. 如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. （1）设. ①证明：. ②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）①如图，在中，记的中点为，连接. 由题意，是的中位线， 因为，，所以，， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 因为，且，所以. 因为是的垂直平分线，所以是等腰直角三角形，所以. 在翻折后，，. 因，有，所以是等腰直角三角形. 故，，与相交于，且平面，所以平面. 因为平面，平面，所以. ②存在， （2）. 【解析】 【分析】（1）①用正弦定理求得各边长度，再用勾股定理逆定理判定垂直；②构造平行四边形，进而求得；（2）构造出二面角的平面角，再通过解三角形求解角的余弦值 【小问1详解】 ①略 ②解：由①知在四棱锥中，，，两两垂直， 延长至点Q，使得，则. 延长至点P，使得，则. 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为与相交于，且平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 此时，即. 【小问2详解】 过作于，过作，交于，连接. 则即为二面角的平面角. 因为，，与相交于，且平面.所以平面.又因为平面，所以平面平面. 所以是直线在平面的投影，故即为与平面所成角，所以. 因为，所以. 因为，，且为的中点，所以. 因为，，故. 在中，，，， 所以，. 在中，，，，所以. 在中，，，， 由余弦定理得， 即二面角的余弦值为. 19. 定义：区间的长度为，区间的长度为． （1）已知不等式在上的解集为，求的长度． （2）已知，函数． ①求在上的零点之和； ②若不等式在上的解集为，求的长度的最大值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）解不等式可得，结合区间长度的定义即可求解； （2）①由已知解方程可得在上有4个零点，设的两根为，的两根为，结合三角函数的图象与性质即可求解；②由①结合已知条件可知的长度为，由同角三角函数的基本关系结合基本不等式可知，由两角差的余弦公式可得，由此可得的范围，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 得，得， 因为，所以，即， 故的长度为； 【小问2详解】 ①由，得，， 由，得或， 所以方程在上均有两个实数根， 即在上有4个零点， 设的两根为，的两根为， 得， 且， 则， 所以在上的零点之和为； ②由，得或，由①可得， 则的长度为， 易得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 由，得，所以， 所以，故的长度的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $