专题1.4充分条件与必要条件重难点题型讲义（2个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测)-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

该高中数学讲义围绕“充分条件与必要条件”单元，构建了“概念辨析—逻辑推理—参数求解—综合应用”的四阶知识体系，通过表格对比呈现四种条件关系（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要），用集合图示直观展示命题间的包含关系，并以思维导图串联12大题型，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义的亮点在于紧扣核心素养设计练习，如通过“命题真假判断”训练逻辑推理能力，借助“根据条件求参数”强化运算能力和符号意识，利用“充要条件证明”提升严谨论证水平。例如经典例题中“若a>0，则函数y=ax²+x无最大值”引导学生从图像性质出发分析充分性，体现数学思维的条理性。每类题型均配方法指导和易错警示，基础薄弱生可掌握基本模型，优等生能拓展探究路径，教师据此实现分层教学与精准反馈，助力学生自主建构知识网络。

专题1.4充分条件与必要条件重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 命题的概念 题型二 判断命题的真假 题型三 充分条件 题型四 必要条件 题型五 判断命题的充分不必要条件 题型六 根据充分不必要条件求参数 题型七 判断命题的必要不充分条件 题型八 根据必要不充分条件求参数 题型九 根据充要条件求参数 题型十 既不充分也不必要条件 题型十一 充要条件的证明 题型十二 探求命题为真的充要条件 拓展训练一 命题各类条件的判定 拓展训练二 根据条件求参数 知识点一：命题 命题及相关概念 【即时训练】 1.（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 2.（2024高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 知识点二：充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 【即时训练】 1.（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（23-24高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【经典例题一 命题的概念】 【例1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）命题：若，则．命题：若，则．这两个命题有什么关系？真假性相同吗？ 1．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 2．（23-24高二上·新疆和田·期末）下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 3．（2023·山东济南·二模）能够说明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次为 ． 4．（2023高一·全国·专题练习）判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)是有理数； (2)年夏季奥运会的举办城市是日本的东京； (3)； (4)梯形是不是平面图形呢？ (5)，； (6)请勿喧哗； (7). 【经典例题二 判断命题的真假】 【例1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 1．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 3．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 4．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【经典例题三 充分条件】 【例1】（24-25高三上·山东潍坊·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 1．（24-25高一上·江西南昌·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）用“”表示下列陈述句α与β之间的推出关系： (1)：是等边三角形，：是轴对称图形； (2)：，：． 【经典例题四 必要条件】 【例1】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例2】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 1．（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知，则是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一·全国·随堂练习）用必要条件的语言表述下面的性质： (1)若，则； (2)正方形的对角线互相垂直且相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等． 【经典例题五 判断命题的充分不必要条件】 【例1】（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）“等式成立”是“等式成立”的 条件 1．（2025高一上·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·海南三亚·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（24-25高一下·广东广州·期末）使成立的一个充分而非必要的条件是 ． 4．（24-25高一上·云南大理·期末）已知全集为，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，说明它是的什么条件（充分必要性）？ 【经典例题六 根据充分不必要条件求参数】 【例1】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，若是的充要条件，是的充分不必要条件，求实数的值与的取值范围． 1．（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西赣州·期末）命题“”为真命题的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知；，若是的充分条件，则的取值范围 ． 4．（23-24高一下·全国·随堂练习）若集合，.若是的充分条件，求m的取值范围. 【经典例题七 判断命题的必要不充分条件】 【例1】（24-25高一下·湖南·期末）若命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）写出“”的一个充分条件 （2）写出“”的一个必要条件 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·上海·期末）人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）命题“”是命题“”的 条件． 4．（23-24高一·全国·课堂例题）“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者都表示“”吗？ 【经典例题八 根据必要不充分条件求参数】 【例1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围. 1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【经典例题九 根据充要条件求参数】 【例1】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 2．（23-24·河南·阶段练习）关于x的方程有实数解的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【经典例题十 既不充分也不必要条件】 【例1】（24-25高三上·上海·期中）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例2】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）判断下列是的什么条件.（写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”以及“既不充分也不必要”其中之一） (1)：xy>1；：x>1且y>1. (2)：x是整数；：x2是正整数. (3)：a>0；：函数y=ax2+x没有最大值. 1．（23-24高二下·广东梅州·期末）若，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 2．（23-24高二上·四川成都·期末）对于变量，条件，条件，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·吉林四平·期中）若，，则是的 条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个你认为正确的填在横线处） 4．（2024高一·全国·专题练习）下列各题中，试分别指出是的什么条件. （1）两个三角形相似，两个三角形全等； （2）一个四边形是矩形，四边形的对角线相等； （3），； （4），. 【经典例题十一 充要条件的证明】 【例1】（23-24高一上·河北·阶段练习）“的每个内角都是”是“是等边三角形”的 条件. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·上海·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）“”是“”的 （填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”） 4．（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【经典例题十二 探求命题为真的充要条件】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（23-24高一·湖南·课后作业）通过分析初中学过的数学知识，探讨逻辑用语和集合的联系．（例如，“若，则，反之不然”可表述为．） 1．（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象关于直线对称的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求成立的充要条件． 【拓展训练一 命题各类条件的判定】 【例1】（23-24高一上·四川乐山·期中）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【例2】（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 1.（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（23-24高一上·山东淄博·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件；        ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件；    ④是的充分不必要条件. 正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 3．（2023·上海·高考真题）设曲线和的方程分别为和，则点的一个充分条件为 ． 4．（2023高一·全国·专题练习）判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件. (1)条件：，结论：； (2)条件：是真子集，结论：. 【拓展训练二 根据条件求参数】 【例1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（23-24高一·全国·单元测试）（1）已知集合，．证明：的充要条件是； （2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由． 1.（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 2.（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·天津·阶段练习）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中，正确的结论有 ．（填序号） 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（  ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025高三·全国·专题练习）已知且，，则是成立的（    ）条件． A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 5．（23-24高一上·河北唐山·期中）下列结论中不正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，则“”是“不全为”的充要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 6．(多选题)（23-24高一上·重庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 7．(多选题)（23-24高一上·江苏南通·期末）下列是“”成立的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 8．(多选题)（23-24高二下·重庆沙坪坝·期末）下列选项中，p是q的充要条件的有（     ） A．p：△ABC两边上的高相等，q：△ABC是等腰三角形 B．p：x，y均为无理数，q：x+y为无理数 C．p:，p： D．p:函数图象经过点，q： 9．(多选题)（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是（    ） A．若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半 B．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，则这两个图形关于这点中心对称 C．若圆内一条直径平分另一条直径，则这两条直径互相垂直 D．若平面内有不在同一条直线上的三个点，则这三个点确定一个圆 10．(多选题)（23-24高三上·江苏无锡·期中）已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 11．（23-24高一·上海·课堂例题）如果a、b、c为实数，设：；：、、中至少有一个为0；：.那么 ； ； ．（用符号“”“”或“”填空） 12．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 13．（2025高一·全国·专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 14．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 15．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是 16．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 17．（24-25高一上·江苏镇江·期中）设全集，集合，区间，其中． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 18．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 19．（24-25高一上·河北保定·期中）已知集合. (1)判断，，，是否属于； (2)集合，判断“”是“”的什么条件（充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件），并说明理由； (3)写出集合中的所有偶数. 20．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4充分条件与必要条件重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 命题的概念 题型二 判断命题的真假 题型三 充分条件 题型四 必要条件 题型五 判断命题的充分不必要条件 题型六 根据充分不必要条件求参数 题型七 判断命题的必要不充分条件 题型八 根据必要不充分条件求参数 题型九 根据充要条件求参数 题型十 既不充分也不必要条件 题型十一 充要条件的证明 题型十二 探求命题为真的充要条件 拓展训练一 命题各类条件的判定 拓展训练二 根据条件求参数 知识点一：命题 命题及相关概念 【即时训练】 1.（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【解题思路】根据命题的定义逐个判断即可. 【解答过程】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B. 2.（2024高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据命题的概念逐一判断. 【解答过程】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 知识点二：充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 【即时训练】 1.（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【解答过程】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 2.（23-24高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】的一个必要不充分条件是指由能推出的条件，但反之不能推出. 【解答过程】设的一个必要不充分条件为，则且， 故只有B选项成立. 故选：B. 【经典例题一 命题的概念】 【例1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）命题：若，则．命题：若，则．这两个命题有什么关系？真假性相同吗？ 【答案】答案见解析 【详解】命题的条件是命题的结论，命题的结论是命题的条件． 取，，则，，所以命题为假命题， 取，，则，，所以命题为假命题， 所以与的真假性相同，，都为假命题． 1．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【分析】根据命题的定义即可求解. 【详解】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 2．（23-24高二上·新疆和田·期末）下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】由命题是用语言、符号、式子表达，可判断真假的陈述句知：A、C、D均为命题， 对于B，无法判断真假，故不是命题； 故选：B 3．（2023·山东济南·二模）能够说明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次为 ． 【答案】，，答案不唯一，，分别取大于0，小于0的整数即可 【解析】，分别取大于0，小于0的整数即可得到答案. 【详解】取，，满足，但，得到命题为假命题. 故答案为：，； 【点睛】本题考查了举例判断假命题，意在考查学生的推断能力. 4．（2023高一·全国·专题练习）判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)是有理数； (2)年夏季奥运会的举办城市是日本的东京； (3)； (4)梯形是不是平面图形呢？ (5)，； (6)请勿喧哗； (7). 【答案】(1)是，理由见解析； (2)是，理由见解析； (3)不是，理由见解析； (4)不是，理由见解析； (5)是，理由见解析； (6)不是，理由见解析； (7)是，理由见解析 【分析】结合命题的概念，对题中语句逐个分析，可得出答案. 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能判断它是假的，所以它是命题； （2）“2020年夏季奥运会的举办城市是日本的东京”是陈述句，并且能判断它是真的，所以它是命题； （3）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题； （4）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题； （5）因为“，”中，所以“”是真的，所以它是命题； （6）“请勿喧哗”是祈使句，不是陈述句，所以它不是命题； （7）“”是假的，所以它是命题. 【经典例题二 判断命题的真假】 【例1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【详解】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)假命题 (4)真命题 【分析】（1）根据平行四边形、菱形的定义与性质分析判断； （2）根据全等三角形的性质分析判断； （3）根据一元二次方程的解分析判断； （4）根据平行线的性质分析判断. 【详解】（1）真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）假命题，例如边长为3，3，4和4，4，2，周长均为10，但三角形不全等. （3）假命题，由方程，解得或， 显然或不能得出，例如. （4）真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 1．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】B 【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断. 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题； 对于命题，当时，，所以为真命题. 综上，和均为真命题. 故选：B. 2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 3．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】通过取反例即可判断. 【详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 4．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析； (2)假命题，理由见解析； (3)真命题，理由见解析. 【分析】（1）根据数的性质即可判断； （2）举出等腰梯形即可判断； （3）推出即可判断. 【详解】（1）根据数的性质知如果a、b都是奇数，那么是偶数， 可设，其中，则，，则其为偶数，则其为真命题； （2）一组对边平行且两对角线等长的四边形还可能是等腰梯形，故其为假命题； （3）如果，则，则，故其为真命题. 【经典例题三 充分条件】 【例1】（24-25高三上·山东潍坊·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简条件，结合四种条件的定义可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分条件； (2)p是q的充分条件； (3)p不是q的充分条件． 【分析】（1）（2）（3）利用充分条件的定义，逐一判断各个命题. 【详解】（1）在中，，所以p是q的充分条件． （2）由于，所以p是q的充分条件． （3）方法一  由，所以p不是q的充分条件． 方法二  设集合，，则真包含于，所以p不是q的充分条件． 1．（24-25高一上·江西南昌·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件间的推出关系判断充分、必要性，即可得答案. 【详解】由，充分性成立； 而时，但不成立，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【答案】D 【分析】由全等三角形的判定定理可得结果. 【详解】根据全等三角形的判定定理可得， 当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等． 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义结合题意即可求解. 【详解】“”是“”的充分条件，则. 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）用“”表示下列陈述句α与β之间的推出关系： (1)：是等边三角形，：是轴对称图形； (2)：，：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）等边三角形一定是轴对称图形，则； （2）后者计算得，则可推出前者. 【详解】（1）因为是等边三角形可以推出是轴对称图形， 但等腰三角形是轴对称图形，却不是等边三角形，所以. （2）因为时，则， 当时，，则. 【经典例题四 必要条件】 【例1】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 【例2】（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 【分析】根据必要条件得定义即可判断（1）（2）（3）． 【详解】（1）由，则成立，所以p是q的必要条件． （2）由，则不成立，所以p不是q的必要条件． （3）由是无理数是无理数，则成立，所以p是q的必要条件． 1．（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知，则是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接利用充分和必要条件定义判断即可. 【详解】由，可得， 但若，不一定可得，也可能. 所以，但， 所以是的必要条件. 故选：B 3．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·随堂练习）用必要条件的语言表述下面的性质： (1)若，则； (2)正方形的对角线互相垂直且相等； (3)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)详见解析. 【分析】利用必要条件的定义求解. 【详解】（1）解：是的必要条件； （2）四边形的对角线互相垂直且相等是该四边形为正方形的必要条件； （3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等是两条直线平行的必要条件. 【经典例题五 判断命题的充分不必要条件】 【例1】（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 【例2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）“等式成立”是“等式成立”的 条件 【答案】充分不必要条件， 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：当等式成立时，则且， 所以等式成立，故充分性成立； 当等式成立时则或， 所以等式不一定成立，故必要性不成立， 综上：“等式成立”是“等式成立”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要条件， 1．（2025高一上·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合间的包含关系，判断充分性和必要性. 【详解】由题意可得， 即“”可以推得“”，满足充分性，但由“”得不出“”，不具备必要性，所以为充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025·海南三亚·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】若，，则，所以是的充分条件， 若，满足，而，所以不能推出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高一下·广东广州·期末）使成立的一个充分而非必要的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由充分不必要条件的概念即可得解. 【详解】由于， 但不能得到， 所以使成立的一个充分而非必要的条件可以是， 事实上，使成立的一个充分而非必要的条件可以是，其中. 故答案为：（答案不唯一）. 4．（24-25高一上·云南大理·期末）已知全集为，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，说明它是的什么条件（充分必要性）？ 【答案】(1) (2)必要不充分条件 【分析】（1）解出集合 、，再由 得出不等式，求解即可； （2）结合（1）利用充分必要条件的定义即可判定. 【详解】（1）集合， 集合， 由，得，， 若，，故只需使， 所以，故实数的取值范围为， （2）由（1）可知的充要条件是， 由于， 则是的必要不充分条件 【经典例题六 根据充分不必要条件求参数】 【例1】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解. 【详解】由条件可知集合是集合的真子集，所以． 故选：D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，若是的充要条件，是的充分不必要条件，求实数的值与的取值范围． 【答案】． 【分析】由是的充要条件，可求的值，进而由是的充分不必要条件，可求的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为是的充要条件，所以，解得，故， 又因为是的充分不必要条件，所以， 综上所述，． 1．（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 2．（24-25高一上·江西赣州·期末）命题“”为真命题的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的定义判断可得答案. 【详解】要求命题“”为真命题的充分不必要条件， 只需要求是的非空真子集即可， 由选项可知，只有B满足题意， 故选：B. 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知；，若是的充分条件，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】；， 因为是的充分条件， 所以有， 故答案为： 4．（23-24高一下·全国·随堂练习）若集合，.若是的充分条件，求m的取值范围. 【答案】 【分析】由题意得，列出不等式组即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以 所以，解得， 故m的取值范围是. 【经典例题七 判断命题的必要不充分条件】 【例1】（24-25高一下·湖南·期末）若命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】得到，然后根据小充分大必要进行判断即可. 【详解】由题可知：：， 所以， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）写出“”的一个充分条件 （2）写出“”的一个必要条件 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】根据充分条件和必要条件即可求解. 【详解】（1）可填：；；且；这三种中的任何一种； （2）可填：（形如，其中的答案都是对的）． 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】借助充分条件与必要条件的定义判断即可得. 【详解】若是有理数，则是有理数， 若是有理数，如，此时不为有理数， 故“是有理数”是“是有理数”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高二下·上海·期末）人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义结合“学以成人”即可判断. 【详解】“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立， “成人”能推出“学好数学”，必要性成立， 故“学好数学”是“成人”的必要不充分条件． 故选：B． 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）命题“”是命题“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】因为或， 所以命题“”是命题“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 4．（23-24高一·全国·课堂例题）“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者都表示“”吗？ 【答案】答案见解析 【详解】“p的一个充分不必要条件是q”是倒装语句，转化成正向的语句结构为“q是p的充分不必要条件”， 故“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者不同，前者是“，且”， 而后者是“，且”．在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”， 如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件． 【经典例题八 根据必要不充分条件求参数】 【例1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 【例2】（23-24高一上·浙江温州·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）带入，再直接根据补集和交集的概念计算即可； （2）先通过条件得到，进而根据和列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， 又或， ； （2）命题p：，命题q：，p是q的必要条件， ， 或， 解得 1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】“”的一个必要而不充分条件需要满足是所求范围的一个真子集， 由于， 故选：B 3．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要非充分条件，列式运算即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件，即是的真子集， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【经典例题九 根据充要条件求参数】 【例1】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 【例2】（23-24高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 1．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 2．（23-24·河南·阶段练习）关于x的方程有实数解的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，从可得结果 【详解】因为， 所以关于的方程有实根的充要条件是. 故选：D. 3．（2023高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可. 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 【经典例题十 既不充分也不必要条件】 【例1】（24-25高三上·上海·期中）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若，如，则，所以不能推出； 若，如，但，所以不能推出. 所以“”是“”的既非充分也非必要条件. 故选：D 【例2】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）判断下列是的什么条件.（写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”以及“既不充分也不必要”其中之一） (1)：xy>1；：x>1且y>1. (2)：x是整数；：x2是正整数. (3)：a>0；：函数y=ax2+x没有最大值. 【答案】(1)必要不充分条件 (2)既不充分也不必要条件 (3)充分不必要条件 【分析】（1）、取判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，得出结论； （2）、取判断充分性是否成立，取判断必要性是否成立，得出结论； （3）、若则抛物线开口向上，判断函数是否存在最值判断充分性是否成立，若函数没有最大值，得出的范围判断必要性是否成立，得出结论； 【详解】（1）若，满足所以充分性不成立；若则所以必要性成立； 所以是的必要不充分条件； （2）取,满足是整数，但不是正整数，所以充分性不成立； 取，满足是正整数，但不是整数，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件； （3）若则抛物线开口向上，函数没有最大值，所以充分性成立； 若函数没有最大值，则所以必要性不成立；所以是的充分不必要条件； 1．（23-24高二下·广东梅州·期末）若，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 【答案】C 【分析】举反例可得结论. 【详解】由，得不出， 所以“”是“”的不充分条件， 又，得不出， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：C. 2．（23-24高二上·四川成都·期末）对于变量，条件，条件，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的要求，分别判断能否推出，以及能否推出即得. 【详解】由，若取，则没有意义，显然不满足，即不是的充分条件； 由，若取，显然不满足，即不是的必要条件. 故选:D. 3．（24-25高一上·吉林四平·期中）若，，则是的 条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个你认为正确的填在横线处） 【答案】既不充分也不必要 【分析】先求得，可判断结论. 【详解】∵，∴. ∵既不能推出，也不能被推出， ∴p是q的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要. 4．（2024高一·全国·专题练习）下列各题中，试分别指出是的什么条件. （1）两个三角形相似，两个三角形全等； （2）一个四边形是矩形，四边形的对角线相等； （3），； （4），. 【答案】（1）必要不充分条件；（2）充分不必要条件；（3）充要条件；（4）既不充分也不必要条件. 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （2）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （3）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论； （4）根据充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】（1）两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似， 是的必要不充分条件. （2）矩形的对角线相等，， 而对角线相等的四边形不一定是矩形，，是的充分不必要条件. （3），且，是的充要条件； （4）若，则，且，是的既不充分也不必要条件. 【经典例题十一 充要条件的证明】 【例1】（23-24高一上·河北·阶段练习）“的每个内角都是”是“是等边三角形”的 条件. 【答案】充要 【分析】利用等边三角形的性质可知充分性和必要性都成立，即可得出答案. 【详解】易知，“的每个内角都是”可推出“是等边三角形”，既满足充分性； 若“是等边三角形”，则“的每个内角都是”，即满足必要性； 所以“的每个内角都是”是“是等边三角形”的充要条件. 故答案为：充要 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由不等式的性质可知由， 由， 故选：A 2．（24-25高二上·上海·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，即，所以充分性成立；当时，即可得到，所以必要性成立. 故选：C 3．（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）“”是“”的 （填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”） 【答案】充要条件 【分析】看“”与“”之间的推出关系，结合充分条件，必要条件定义得解. 【详解】解得，则“”是“”的充要条件. 故答案为：充要条件. 4．（2024·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 【经典例题十二 探求命题为真的充要条件】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 【例2】（23-24高一·湖南·课后作业）通过分析初中学过的数学知识，探讨逻辑用语和集合的联系．（例如，“若，则，反之不然”可表述为．） 【答案】详见解析 【分析】把逻辑用语的知识等价转化为集合的关系得解. 【详解】解：是的充分条件，即，可表述为； 是的必要条件，即，可表述为； 是的充分不必要条件，即，不能推出，可表述为； 是的必要不充分条件，即不能推出，，可表述为； 是的充要条件，即，可表述为. 1．（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象关于直线对称的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解. 【详解】函数的图象的对称轴为直线， 函数的图象关于直线对称的充要条件是，即. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 【答案】 【分析】根据作差法可得的等价条件，由充要条件的概念即可得解. 【详解】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求成立的充要条件． 【答案】 【分析】根据充要条件的定义分析求解即可 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 当时，成立， 所以在的条件下，成立的充要条件是. 【拓展训练一 命题各类条件的判定】 【例1】（23-24高一上·四川乐山·期中）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【解答过程】由题，可得；但由，可得或， 故甲是乙的充分条件但不是必要条件， 故选：A． 【例2】（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 【答案】 ④ ① 【分析】分别求出条件①②③④的充要条件，然后由充分条件、充要条件的定义即可求解. 【详解】由题意有：①或，即，至少有一个为0； ②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正数一负数； ③，为任意实数或，均为0； ④或，即，都不为0． 综上可知：（1）使，都不为0的充分条件是④；（2）使，至少有一个为0的充要条件是①． 故答案为：④；①． 1.（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由充分不必要条件的定义即可判断. 【解答过程】因为，所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 2.（23-24高一上·山东淄博·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件；        ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件；    ④是的充分不必要条件. 正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【解题思路】由充分必要条件的定义和传递性，逐个判断，可得结论. 【解答过程】由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件， 可得，推不出，，， 所以，故是的充要条件，①正确； ，推不出，故是的充分不必要条件，②正确； ，故是的充要条件，③错误； ，故是的充要条件，④错误. 故选：B. 3．（2023·上海·高考真题）设曲线和的方程分别为和，则点的一个充分条件为 ． 【答案】，或，或且，或. 【分析】根据充分条件的定义即可判断. 【详解】当点时，点的位置有以下四种可能： ①点不在曲线上； ②点不在曲线上； ③点既不在曲线上，也不在曲线上； ④曲线与曲线没有交点. 所以点的一个充分条件可以为： ，或，或且， 或，答案不唯一. 故答案为：，或，或且，或. 4．（2023高一·全国·专题练习）判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件. (1)条件：，结论：； (2)条件：是真子集，结论：. 【答案】(1)既不充分也不必要条件. (2)充分不必要条件. 【分析】根据充分条件、必要条件的判定概念和判定方法，逐个判定，即可求解. 【详解】（1）解：例如：当时，满足条件：， 此时，即结论不成立，所以充分性不成立； 反之：当时，此时结论成立，此时，所以必要性不成立， 所以条件是结论的既不充分也不必要条件. 当条件时， （2）解：当是真子集时，可得，即充分性成立； 反之：当，此时，即不一定是的真子集，所以必要性不成立， 所以条件是结论的充分不必要条件. 【拓展训练二 根据条件求参数】 【例1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】由两个集合相等可求得参数． 【解答过程】由已知，， 由p是q充要条件得 ，因此解得， 故选：C. 【例2】（23-24高一·全国·单元测试）（1）已知集合，．证明：的充要条件是； （2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）答案不唯一，具体见解析 ． 【分析】（1）根据两个集合相等、充要条件等知识证得结论成立. （2）模仿（1）写出一个命题，并判断出真假性. 【详解】（1）， 即大前提包括都不为零. 所以， 即的充要条件是. （2）已知均为非零实数，，.命题：的充要条件是. 这是假命题，理由如下： 当时，取， 则，， 所以不是的充要条件. 1.(23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 2.（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【解答过程】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D. 3．（23-24高二下·天津·阶段练习）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中，正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①③④． 【分析】对各个选项进行分析：①；②；③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故；④从充分性和必要性两个方面考虑即可得答案． 【详解】①，，故①正确； ②，，故②错误； ③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类， ，故③正确； ④整数，属于同一“类”， 整数，被5除的余数相同，从而被5除的余数为0， 反之也成立，故“整数，属于同一“类”的充要条件是“”．故④正确． 故答案为：①③④． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意由集合新定义计算即可； （2）设，先根据集合新定义和必要性列方程组及讨论和求出；再由充分性和集合新定义讨论和时即可求出； 【详解】（1） （2）必要性： 若，设， 则，即为， 即则， 若，则； 若，则，． 充分性： 若，则满足的只能是，不符合任意性； 若，此时，即为恒成立． 综上，． 1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 【答案】D 【分析】根据命题的定义逐一判断即可. 【详解】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题， 故选：D 2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤. 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 3．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（  ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果. 【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件， 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知且，，则是成立的（    ）条件． A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】列举反例判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】若，，如时，不满足，充分性不成立； 若，显然且满足要求，必要性成立. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：A 5．（23-24高一上·河北唐山·期中）下列结论中不正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，则“”是“不全为”的充要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】B 【分析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误. 【详解】对于A选项， ， 所以“”是“”的必要不充分条件，A选项正确； 对于B选项，充分性：若，则为直角， 所以为直角三角形，充分性成立； 必要性：若为直角三角形， 则“为直角”或“是直角”或“为直角”， 所以“”或“”或“”， 即必要性不成立. 因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，B选项错误. 对于C选项，充分性：因为，若，则， 所以不成立，所以、不全为，充分性成立； 必要性：若、不全为，则，必要性成立. 因此“”是“、不全为”的充要条件，C选项正确； 对于D选项， 充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立； 必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立. 所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D选项正确； 故选：B. 6．(多选题)（23-24高一上·重庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【答案】AD 【分析】根据真命题的定义对各个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确； 对于B，当时，是无理数，所以B错误； 对于C，由关于的方程有两个负根，得解得，所以C错误． 对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确． 故选：AD 7．(多选题)（23-24高一上·江苏南通·期末）下列是“”成立的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据充分条件的概念，结合不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，若，则，所以；即是“”成立的充分条件；A正确； B选项，若，则；即是“”成立的充分条件；B正确； C选项，当，时，能满足，但不满足，所以不是“”成立的充分条件；C错； D选项，若，则；所以是“”成立的充分条件；D正确. 故选：ABD. 8．(多选题)（23-24高二下·重庆沙坪坝·期末）下列选项中，p是q的充要条件的有（     ） A．p：△ABC两边上的高相等，q：△ABC是等腰三角形 B．p：x，y均为无理数，q：x+y为无理数 C．p:，p： D．p:函数图象经过点，q： 【答案】AD 【分析】根据充要条件的定义，对于A，利用三角形的面积公式；对于B，C，利用举反例；对于D利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】对于A，设在中，边上的高为，边上的高为， 由，则，由，则，即成立； 由，假设，由，则，即成立，故A正确； 对于B，当，，则，显然此为有理数，即当成立时，不成立，故B错误； 对于C，当，时，，则；故C错误； 对于D，由，则当时，，即成立；由，显然成立，故D正确. 故选：AD. 9．(多选题)（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是（    ） A．若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半 B．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，则这两个图形关于这点中心对称 C．若圆内一条直径平分另一条直径，则这两条直径互相垂直 D．若平面内有不在同一条直线上的三个点，则这三个点确定一个圆 【答案】AD 【分析】根据图形的性质，结合充分条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半， 即，所以是的充分条件，所以A正确； 对于B中，根据中心对称的性质可得，线段被该点总是平分时， 这两个图形才关于这点中心对称，即，所以B错误； 对于 C中，若圆内一条直径平分另一条直径，此时这两条直径不一定互相垂直， 即，所以C错误； 对于D中，根据圆的作法可得，若平面内有不在同一条直线上的三个点， 则这三个点确定一个圆，即，D正确． 故选：AD. 10．(多选题)（23-24高三上·江苏无锡·期中）已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 【答案】AC 【分析】结合集合的运算，根据充分条件的定义判断即可. 【详解】因为由可推出，所以p是q的充分条件，A对． 因为不能推出，所以p不是q的充分条件，B错． 若，则，则，∴p是q的充分条件，C对． 若，则，∴，∴p不是q的充分条件，D错． 故选：AC. 11．（23-24高一·上海·课堂例题）如果a、b、c为实数，设：；：、、中至少有一个为0；：.那么 ； ； ．（用符号“”“”或“”填空） 【答案】 【分析】对：，则，再利用逻辑关系即可得到答案. 【详解】因为：；：、、中至少有一个为0；则； ：，则，则；； 故答案为：；；. 12．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由必要不充分的推出关系列式求解， 【详解】由题意得，，而，故，得， 故答案为： 13．（2025高一·全国·专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求解含绝对值的不等式，根据充分不必要条件得到集合之间的包含关系，再列式求解参数范围即可. 【详解】不等式，即，因此解集为， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 有（等号不同时成立），解得，经验证，符合题意. 故答案为：. 14．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过集合关系即可求解. 【详解】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 15．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据条件得到Ü，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】因为是的必要不充分条件，则Ü， 又，，所以， 故答案为：. 16．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，根据交集、补集的知识来求得正确答案. （2）根据充分、必要条件的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为， ， 或， 所以或. （2）若是的充分条件，则， 因为， 所以，解得， 若是的必要条件，则， 所以，解得， 综上的取值范围为. 17．（24-25高一上·江苏镇江·期中）设全集，集合，区间，其中． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得，. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1），解得，所以， 当时，，所以， 或，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则， 所以，且等号不同时成立， 解得. 18．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【分析】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可. 【详解】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 19．（24-25高一上·河北保定·期中）已知集合. (1)判断，，，是否属于； (2)集合，判断“”是“”的什么条件（充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件），并说明理由； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，， (2)必要不充分条件，理由见解析 (3)4k， 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）判断两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系； （3）根据同奇同偶及可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）∵，，，∴，，. 假设，，，则， 因为 所以的奇偶性一致，故要么为奇数，要么为的倍数， 故无整数解，故. （2）结论：“”是“”的必要不充分条件，理由如下： 集合，恒有， ∴，即必要性成立； 又∵，， ∴充分性不成立， ∴“”是“”的必要不充分条件. （3）集合，成立， 因为 所以的奇偶性一致，故要么为奇数，要么为的倍数， 又对于任意，总有，故， 综上，集合中的所有偶数为，. 20．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【详解】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $