第四单元 第7周-【拔尖特训】2025-2026学年六年级上册数学周末拔尖学案（冀教版）

第7周 教材思考题 怎样围面积最大 。典例精析 (2)请你尝试用这根绳子围一个平面图 (教材P53“问题讨论”)用两根同样长 形，画出其示意图，并算一算围成的图形 的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆。围 的面积。 成的图形哪个面积大？ 可以先假设铁丝的 长度，再思考… [解析]铁丝的长度未知，可利用“假设法” 解题。如假设铁丝的长度是31.4米，那么 正方形和圆的周长都是31.4米。由此，先 (3)说一说围成的什么图形面积最大。 分别求出正方形的边长和圆的半径，再分别 求出正方形和圆的面积，最后比较即可。 [答案]假设铁丝的长度是31.4米。正方 形的面积：31.4÷4=7.85（米）7.85× 7.85=61.6225(平方米)圆的面积：31.4： 3.14÷2=5(米)3.14×52=78.5（平方米） 61.6225<78.5围成的圆的面积大 2.(1)一个圆内最大的正方形的面积大约 答：围成的圆的面积大。 是该圆面积的百分之几？（百分号前保留 点评：解题时，如果题中没有给出确定的数，那么 一位小数) 我们可以假设一个具体的数来解题。 举一反三 1.用一根长18.84m的绳子在空地上围一个 图形。两名同学围成了长方形，一名同学 围成了正方形，还有一名同学围成了圆。 (1)请你算一算，完成表格。 (2)一个正方形内最大的圆的面积是该 长 宽 面积 正方形面积的百分之几？ 长方形 5m 6.22m 边长 正方形 半径 圆 13 思维创新题 巧算圆的面积 。典例精析 O典例精析 例1如图，OA、OB分别是小半圆的直径， 例2有一块正方形的草地（如图），边长是 且OA=OB=6cm。涂色部分的面积是多 7米，在A、C两个顶点处各拴一只羊，拴羊 少平方厘米？ 的绳都长7米，那么两只羊都能吃到草的区 域（涂色部分）的面积是多少？ B B [解析]图中涂色部分的形状不规则，可以 解析]根据题意，求两只羊都能吃到草的 将涂色部分进行割补，使其转化成规则图 区域（涂色部分）的面积，实际上就是求两个 形，如图。 扇形重叠部分的面积，而重叠部分的面积是 两个扇形拼成正方形后多出来的部分。因 此，重叠部分的面积就等于两个扇形的面积 之和减去正方形的面积。 由上图可知，涂色部分的面积=圆的面积 [答案]3.14×7÷2-7×7=27.93（平方米） 4 答：两只羊都能吃到草的区域的面积是 直角三角形AOB的面积。 27.93平方米。 [答案]3.14×62× 是-6×6× 点评：当重叠部分是一个不规则的图形时，可以将 10.26(cm2) 重叠部分的面积分成几个部分，再利用这几个部 答：涂色部分的面积是10.26cm。 分的面积和（或面积差）计算出重叠部分的面积。 点评：当涂色部分是不规则的组合图形，无法直 举一反三 接计算它们的面积时，可以进行适当的割补，将 2.求下图中涂色部分的面积。（结果用π表示） 其转化成规则的图形进行面积计算。 举一反三 2cm 1.如图，每个半圆的直径都是3dm,求涂色 部分的面积。 3dm 3.求下图中涂色部分的面积。（单位：厘米） 4 3 dm 3dm 14100%=16.5%解析：先要明确两杯烧碱溶液混 合前、后总质量不变，混合前两杯烧碱溶液中溶质 的质量之和就是混合后烧碱溶液中溶质的质量，再 根据“混合后烧碱溶液中溶质的质量÷溶液的总质 量×100%”，即可得到混合后烧碱溶液的浓度。 4.解：设加入x克浓度为5%的糖水。100× 50%+5%.x=(100+.x)×15%.x=350 解析：根据糖水中糖的含量不变列方程解答即可。 第5周 综合拓展题抓不变量解决百分数问题 1.25×(1-56%)=11(只)11÷(1-45%)= 20(只)25-20=5（只）解析：由题意知，鸭占 鸡、鸭总数的(1一56%)，即25×(1一56%) 11(只)。当跑走了几只鸡后，鸭的数量仍然是11 只，鸭的数量占此时鸡、鸭总数的(1一45%)，因此 此时鸡、鸭总数为11÷(1一45%)=20（只），进而 求出跑走的鸡的只数。 2.1-48%=52%3÷(54%-52%)=150(人) 150×52%=78(人)解析：根据“下学期初转进3 名女生，转走3名男生”知，下学期六年级学生总人 数不变，即题中的单位“1”不变。下学期男生人数 占总人数的1一48%=52%，题中数量关系为六年 级学生总人数×(54%一52%)=3，据此求出六年 级学生总人数，进而算出下学期的男生人数。 思维创新题浓度问题（二） 1.解：设原来这种糖水有x克。25%x= (800+x)×20%x=3200 2.解：设原来这瓶酒精溶液有x克。(1 15%)x=(x+40)×(1-20%)x=640640× 15%=96(克)解析：根据题意知，这瓶酒精溶液 中水的质量没有改变，即题中的等量关系为原来这 瓶酒精溶液的质量×(1一15%)=（原来这瓶酒精 溶液的质量+40克)×(1一20%)，据此列方程求 出原来这瓶酒精溶液的质量，进而算出原来酒精的 质量。 3.解：设需要蒸发x克水。300×20%=(300一 x)×40%x=150解析：在水蒸发的过程中，水 的质量减少了，但是糖的质量没有变。抓住这个不 变的量，列方程解答即可。 四圆的周长和面积 第6周 综合拓展题巧算圆的周长 1.设小圆弧所在圆的直径为d,,中圆弧所在圆的 直径为d2,则大圆弧所在圆的直径是d,十d2。观 察题图可知，沿大圆弧走，走过的路程是它所在圆 周长的一半，即？×元(d,十d):沿小、中圆弧走， 走过的路程是小圆弧所在圆的周长的一半和中圆 弧所在圆的周长的一半的和，即2×d,十号× d2=2Xπ(d,十d,),所以两种走法路程相同 一样近 2.3.14×(8-3)×3+3.14×3×2=65.94(厘米) 解析：观察题图可知，这个图形的周长相当于3个 直径为5厘米的圆与2个直径为3厘米的圆的周 长之和。 思维创新题捆扎圆柱形物体 1.20×6+3.14×20=182.8(厘米) 2.2×3.14×4+(2×4)×5=65.12(厘米) 65.12×3+8=203.36(厘米) 3.21.98÷3.14=7(cm) 21.98+7×8+9=86.98(cm) 解析：由题意可知，捆1圈的长度包含一个圆的周 长、8条直径的长度和接头处的铁丝长度，而一个 圆的周长为21.98cm,直径为21.98÷3.14= 7(cm),接头处的铁丝长度为9cm,所以一共需要 铁丝的长度为(21.98+7X8+9)cm. 第7周 教材思考题怎样围面积最大 1.(1)4.42m22.1m3.2m19.904m 4.71m22.1841m3m28.26m (2)答案不唯一，如围长方形画图略长是6m, 宽是3.42m,面积是6×3.42=20.52(m2) (3)围成的圆的面积最大 2.(1)假设该圆的半径为1。（1×1÷2×4)÷ (3.14×1)≈63.7%解析：一个圆内最大的正方 形的对角线正好是该圆的直径。假设该圆的半径 为1，则正方形的面积为4个直角边长为1的等腰 直角三角形的面积之和。分别计算出正方形和圆 的面积，再解答。 (2)假设圆的半径为1。(3.14×1)÷(1× 2)2=78.5%解析：一个正方形内最大的圆的直 径正好是该正方形的边长。假设圆的半径为1，则 该正方形的边长为2，分别计算出正方形和圆的面 积，再求圆的面积是正方形面积的百分之几。 思维创新题巧算圆的面积 1.3×(3÷2)=4.5(dm) 2.2×r×(12÷2)2-12×12=(72元-144)cm2 解析：涂色部分的面积是4个直径为12cm的半圆 拼成边长为12cm的正方形后多出来的部分，因此 可列式为2×π×(12÷2)2一12×12，计算出结果 即可。 3.3.14×4÷4=12.56(平方厘米) 解析：如图，图中①和②的面积相等，所以涂色部分 的面积即为半径为4厘米的圆面积的子 ② ① 第8周 综合拓展题较复杂的扇形、扇环的面积 1.3.14×52=78.5(cm2) 2.3.14X82×360°-90 =150.72(cm2) 360 解析：从题图中可以看出，涂色部分由大小不等的 3个扇形组成，3个扇形组成的大扇形的圆心角是 360-90,正好是-个图的6060，即涂色都分 的面积为半径8cm的圆面积的360一90° 360° 3.6+3=9(cm) 3.14×(92-62) 60×2=47.1(cm2) 360° 思维创新题用“整体法”求面积 1.设圆的半径为r分米。3.14×r2=3140 r2=1000(2r)2÷2=2x2=2×1000=2000正 方形的面积为2000平方分米解析：设圆的半径 为r分米，由3.14×r2=3140可得r2=1000,再将 r2的值整体代入求解即可。 2.设小圆的半径为r厘米，大圆的半径为R厘米。 2rX2r=10r2=2.5 RXR÷2×4=10R2=5 圆环的面积：3.14×(5-2.5)=7.85（平方厘米） 解析：要求圆环的面积，需要分别求出大、小圆的面 积。假设小圆的半径为r厘米，则正方形的边长 是2r厘米。根据题意可得，2r×2r=10,则r2= 2.5。设大圆的半径为R厘米，根据正方形的面积 是10平方厘米，可得R×R÷2×4=2R2=10,解 得R=5,再将r2和R2的数值整体代入即可求出 圆环的面积。 3.设大半圆所在圆的半径为R厘米，小半圆所在 圆的半径为r厘米。R2-r2=163.14×16÷ 2=25.12(平方厘米)解析：设大半圆所在圆的半 径为R厘米，小半圆所在圆的半径为r厘米，则半 圆环的面积=(R2一2)÷2平方厘米，而涂色部 分的面积=(R2一r2)平方厘米，已知涂色部分的 面积，则利用整体代入法即可求出半圆环的面积。 五 百分数的应用 第9周 综合拓展题求一个数比另一个数多（或少） 百分之几 1.吉：日-8：58-0÷8=375% 解析：由题意可知，大三角形的面积X8=小三角 形的面积X,则大三角形的面积：小三角形的面 积=日：日-8：5。等按照求-个数比另一个数 多（或少）百分之几的方法列式解答。 2.3÷2=1.58:3:1.5=16:6：3 (16-3)÷16=81.25% 解析：根据“鸡的只数与鸭的只数比是8：3，鹅的 只数是鸭的一半”可知，鹅的只数相当于3÷2=1. 5(份)，则鸡、鸭、鹅的只数比是8：3：1.5，也就是