专题02 有理数的运算（期中真题汇编，浙江专用）七年级数学上学期

专题02 有理数的运算 4大高频考点概览 考点01 有理数的加减 考点02 有理数的乘除 考点03 有理数的乘方 考点04 有理数的混合运算 地 城 考点01 有理数的加减 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个数与的和是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法运算，解题的关键是掌握有理数的减法运算法则．根据加数等于和减去另一个加数即可求解． 【详解】解：一个数与的和是， 这个数是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若是最大的负整数，是绝对值最小的数，表示的数在原点左侧且距离原点3个单位长度，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值，数轴，有理数的加减混合运算，掌握相应的运算法则是关键． 根据最大的负整数，绝对值最小的数，与原点的距离的含义先求解a，b，c，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 则． 故选：A． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（    ） 类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 正确的列出算式，依次进行计算判断即可得到答案． 【详解】解：A、， 可知甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误； B、； 可知乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误； C、这七天内，乙地的水位变化比甲地的水位变化小，故该选项错误； D、在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰，正确，该项符合题意； 故选：D 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点判定式子的符号，掌握数轴的特点是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若用符号表示a，b两数中的较大数，用符号表示a，b两数中的较小数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的加法．根据题意结合，，列式计算即可得解． 【详解】解：∵用符号表示，两数中的较大数，用符号表示，两数中的较小数，且，， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）已知，，且，则的值为（   ） A． B． C．2或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法，求出、的值是解答本题的关键．根据绝对值的意义及，可得，的值，再根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：由，，且满足，得： ，． 的值为， 故选：． 二、填空题 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）甲、乙两地海拔高度分别为米和米，那么甲地比乙地高 米． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的减法，解题的关键是掌握减去一个数，等于加上这个数的相反数．根据题意可得，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：甲、乙两地海拔高度分别为米和米， 甲地比乙地高（米）， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某公司去年每季度盈亏情况如下：“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：万元．第一季度；第二季度；第三季度，第四季度，则这个公司去年一年共 （填“盈利”或“亏损”） 万元． 【答案】 盈利 4 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（万元）， 即这个公司去年一年共盈利4万元， 故答案为：盈利；4． 9．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴上在与27之间插入三个数，使这五个数中每相邻两个数之间的距离相等，则这三个数的和是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是确定插入的数字．首先确定共有多少个数字，然后被分成4组，从而确定插入的数字，然后求和即可． 【详解】解：在与27之间插入3个数，使这五个数中每相邻两个数之间的距离相等， 也就是将与27之间分成相等的4份． ， 就是将40进行4等分 即每份的值是， ，，， 这3个数分别是，6，16． 故和为， 故答案为：21． 10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，，且，求的值为 ． 【答案】50或10 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的减法，判断出的对应值是解本题的关键． 根据绝对值的性质求出，再判断出的对应情况，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可． 【详解】，， ， 时，，， ，， 综上所述：的值为50或10． 故答案为：50或10． 11．（24-25七年级上·浙江金华·期中）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上，以长作为该数轴的单位长度，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上“”和“x”，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴上两点之间的距离计算列出式子，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：由题意得：的值为， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)107.5 【分析】本题考查了有理数的加法混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． （1）根据去括号法则，可变为，计算可得； （2）可变为，然后利用加法的结合律将两个加数相加． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（24-25七年级上·浙江金华·期中）下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 (1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律） (2)第 步开始出现错误． (3)写出正确的解答过程． 【答案】(1)加法交换律，加法的结合律； (2)三； (3)详见解析 【分析】（）根据材料提示的计算方法，可得第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律； （）根据有理数的减法运算可得第三步出错了； （）根据有理数的加减运算即可求解； 本题主要考查了有理数的加减运算法则，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据材料提示的运算方法可得，第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律， 故答案为：加法交换律，加法的结合律； （2）解：第二步中，，第三步中为， ∴第三步开始出错， 故答案为：三； （3）解： ， ， ， ． 14．（24-25七年级上·浙江金华·期中）现在网上转账非常便利，某公司每天生意上的往来都是通过网上银行转账，下表是公司某一天账户转账记录（转入为正，转出为负），该公司账户上原有余额8万元． 交易编号 1 2 3 4 5 6 7 8 账户记录（万元） (1)到下班时，公司账户上余额有多少？ (2)做完哪一笔交易时，公司账户上的余额最多？是多少万元？ 【答案】(1)万 (2)第5笔，万 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减的应用： （1）将表格中的数据相加，即可求解； （2）根据题意，分别求得每一笔交易后的存款数，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， （万）， 答：到下班时，公司账户上余额有万； （2）解：第1笔：（万）， 第2笔：（万）， 第3笔：（万）， 第4笔：（万）， 第5笔：（万）， 第6笔：（万）， 第7笔：（万）， 第8笔：（万）， ∴做完第5笔交易时，公司账户上的余额最多，是万元． 15．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）为了确保祖国母亲七十五华诞期间的用电安全，电力工人开车沿着一条南北方向的公路来回地行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达了地，约定向北为正，向南为负，当天记录如下（单位：千米）： (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)B地在A地南边，距A地9千米； (2)这一天共耗油15.8升． 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减混合运算，解题的关键是注意理解相反意义的量的含义，耗油量行驶的路程单位耗油量． （1）把所给的数值相加，求出结果，若为正，则说明B地在A地的北边，若为负，则说明B地在A地的南边； （2）先求出所有数值绝对值的和，再乘以0.2即可． 【详解】（1）解：． 所以B地在A地南边，距A地9千米． （2）解：（千米） （升） 所以这一天共耗油15.8升 地 城 考点02 有理数的乘除 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加、减、乘、除运算．熟练运用有理数的计算法则是解题的关键，根据有理数的计算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：C ． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）观察算式，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘除，利用交换律和结合律计算可简便计算． 【详解】解：原式 ， 所以在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是乘法交换律、结合律． 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（    ） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法法则：根据同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数，则有奇数个负数，据此即可作答． 【详解】解：∵同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数， 则这4个数中负数有1个或3个 ∴这4个数中正数有3个或1个 故选：B 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数乘法和有理数减法计算，正确得到是解题的关键．先根据数轴上点的位置得到，再根据有理数乘法和减法计算法则求解即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确；     B．∵，∴，∴，故正确；     C．∵，∴ ，故不正确；     D．∵，∴，∴ ，故不正确； 故选B． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘法，熟知两数相乘，同号得正；异号得负是解题的关键． 列举出所有情况，找到可能性的种数即可． 【详解】解：把表示成两个整数的积，共出现的可能性有： ①，②，③，④， 共4种情况． 故选：． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，根据新定义求出各个数，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）现有这样一种算法程序，任意输入一个数后会不断地反复进行“先乘以，后加上4”的运算，即若输入2，通过第一次运算输出，随后输入，通过第二次运算输出，随后输入，……，一直这样运算下去，运算结果会越来越接近于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方、代数式的运算，理解新算法，熟练掌握有理数的混合运算是解题关键． 先计算前几组数据，找到规律，根据规律求解即可； 【详解】解：若输入的数为， 则第一次运算结果为：， 第二次运算结果为：， 第三次运算结果为， 第（为奇数时）次运算结果为， 第（为偶数时）次运算结果为 当一直这样运算下去，运算结果会越来越接近于； 故选：B 二、填空题 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若a与2互为相反数，则a的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数、相反数的概念及性质，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，2的相反数为，根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，即可得的倒数，熟练掌握倒数、相反数的概念是解决此题的关键． 【详解】解：∵a与2互为相反数， ∴， ∴a的倒数为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值为 ． 【答案】0，，2 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的除法，分情况进行讨论是解题的关键．分当，时；当，时；当，时；当，时四种情况作答即可． 【详解】解：当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为0，，2， 故答案为：0，，2 10．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 【答案】 / 105 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，要使两张卡片上的数字的商最小，在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的；要使3张卡片的积最大，要保证抽到两个负数和较大的正数． 【详解】解：抽到和2时，商最小，最小的商为：， 抽到，和时，积最大，最大的积为：， 故答案为：；105． 11．（24-25七年级上·浙江金华·期中）比较大小：若，则a ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的倒数，有理数大小的比较．利用特殊值法，取，求得，据此比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴取， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有三个互不相等的有理数，既可表示为1，，；也可表示为0，，的形式，则 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的概念，根据三个互不相等的有理数，既表示为，，的形式，又可以表示为0，，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，与中有一个是，再根据分式有意义的条件判断出、的值，代入计算即可． 【详解】解：三个互不相等的有理数，既可表示为，，的形式，又可表示为0，的形式， 这两个数组的数分别对应相等． 与中有一个是0，与中有一个是，但若，会使无意义， ，只能，即，于是． 只能是，于是， 的值为， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到，第三次将重复上述操作，得到以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及倒数，能根据题意得出大括号内的数字每三组循环一次及是第506个大括号内的最后一个数是解题的关键．根据题意，先求出在第几组式子中，其次通过计算发现大括号内数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，为， 则，，，， 所以为， 依此类推，为， 为， …， 所以大括号内的数字，每三组循环一次． 因为， 所以是第506个大括号内的最后一个数， 又因为余2， 所以， 故答案为： 三、解答题 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算以及有理数的除法运算． （1）先去括号，然后按照有理数加减混合运算从左到右依次计算即可． （2）先去绝对值，再把除法转化成乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解题关键是熟练掌握乘法运算律进行简便计算． （1）先把写成的形式，然后利用乘法分配律进行计算即可； （2）先根据有理数的乘法法则，确定积的符号，再逆用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）2024年欧洲杯在德国举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． (3)若该款足球纪念品每个生成成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 【答案】(1)本周生产量最多的一天比最少的一天多生产224个 (2)是达到了计划数量，理由见解析 (3)该工厂本周的生产总利润是350050元 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的运用，掌握正负数表示增加、不足的意义，有理数的加减混合运算法则，利润的计算方法是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可求解； （2）计算本周与计划量的差值，若为正数，则打标，否则就是不达标，由此即可求解； （3）根据利润的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：（个） 答：本周生产量最多的一天比最少的一天多生产224个． （2）解：是达到了计划数量，理由： 因为 所以达到了． （3）解： （元） 答：该工厂本周的生产总利润是350050元． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则乘积的最大值是______． (2)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则商的最小值是______． (3)若从中取出，，，1四张卡片，请写出两个不同的运算式，使它们的计算结果为24． 【答案】(1)35 (2) (3)，（算式不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的最值和写出所求的式子． （1）根据题意和题目中的数字，可以得到2张卡片上数字的乘积最大值； （2）根据题意和题目中的数字，可以得到2张卡片上数字相除的商的最小值； （3）本题方法不限，算对即可，注意必须是相同四个数字的不同算式得到结果是24． 【详解】（1）解：若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大， 则乘积的最大值是：． 故答案为：35； （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小， 则商的最小值是：． 故答案为：； （3）解：由题意可得：或． 地 城 考点03 有理数的乘方 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是有理数的乘方．根据有理数乘方的运算即可判定． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）宁波市统计局发布数据，2024年宁波市第一季度的值为亿元，实际增速，增量亿元，名义增速．其中亿用科学记数法表示为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于时与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各对数中，相等的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了负数的平方是正数，负数的立方是负数，负数的相反数是正数，负数的绝对值是正数，理解相关知识是解答关键． 根据负数的平方是正数来求解A和B，根据负数的相反数是正数，负数的绝对值是正数来判断C；根据负数的立方是负数来判断D． 【详解】解：A．因为，，所以，故此项不符合题意； B．因为，，所以，故此项不符合题意； C．因为，，所以，故此项不符合题意； D．因为，，所以，故此项符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）2024年8月8日，浙江省经济信息中心发布2024年上半年经济“成绩单”，提到：截至6月末，在册经营主体数量达万户，同比增长．这里的万用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，掌握科学记数法表示数的方法是解题关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正数；当原数绝对值时，n是负数． 【详解】解：万=， 故选∶B． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题侧重考查探究规律，乘方的知识，找准规律是解决此题的关键． 在七进制中，可以表示为． 【详解】解：∵由图可得图中的数字是， ∴根据七进制的规律可知，孩子自出生后的天数为． 故选：C． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，将70写成，继而即可求得答案，熟练掌握将70写成是解决此题的关键． 【详解】 ， ∴十进制数字70写为二进制数字1000110， ∴十进制数字70是二进制下的7位数， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将，，这三个数的大小关系用“”号连接可表示为 ． 【答案】 【分析】本题比较有理数比较大小，根据有理数的乘方法则，以及正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行判断即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴； 故答案为：． 8．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如果，那么的值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了非负数的性质，有理数的乘方，先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入数值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：16． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）语文教科书每页大约有500字.一套《辞海》大约有个字，如果每页字数与语文教科书的字数相等，那么《辞海》大约有 页．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．根据科学记数法来进行求解． 【详解】解：根据题意得《辞海》的页数有： ． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知整数a，b，c，且，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意得出，． 根据a，b，c为整数，，且满足，得出要使最小，得出，，然后求出a的负整数值，即可求出结果． 【详解】解：∵a，b，c为整数，，且满足，要求最小， ∴，， ∴ ， ∴的最小值为：． 故答案为：． 地 城 考点04 有理数的混合运算 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决． 【详解】解：，故选项A错误， ，故选项B错误， ，故选项C错误， ，故选项D正确， 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如，试求的值为（ ） A． B．0 C．12 D．54 【答案】B 【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，再进行计算即可． 本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算为：，则的结果是（     ） A． B．2 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，根据题中的新定义运算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 二、填空题 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．如果原式的计算结果等于，则被污染的数字是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意得出被污染的数是，再根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意，得被污染的数是 ． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果 ． 【答案】 【分析】本题考查的是程序框图的含义，代数式的值，掌握理解程序框图的正确含义是解题的关键．由程序框图的含义可得代数式为：，把代入代数式求值即可得到答案． 【详解】解：由题意：把代入：中得： ． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上的三个数之和都等于，则 ． 【答案】117 【分析】本题考查有理数的运算，根据题意，得到 ，进而推出，且为正整数，分，，三种情况进行讨论计算即可． 【详解】解：由图和题意，可知： ， ∵a，b，c，d，e为正整数， ∴，且为正整数， 当时，， ∴， 当时，，当时，，与矛盾，不符合题意； 当时，，不符合题意； 故答案为：． 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图1，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算3a与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： （1）若《数学故事》的图书码为948753Y，校验码Y的值为 ； （2）如图2，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，则m的值为 ． 【答案】 6 3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键． （1）根据题意分别求得，再根据校验码的定义即可解答，根据题意列式求得a、b、c、d的值是解答本题的关键； （2）根据已知、，列式解决即可解答，根据题意列出关于m的代数式是解答本题的关键． 【详解】解：（1）由题意可得：，，，， 所以校验码Y的值为． 故答案为6． （2）由题意可得：，，，， ∵d为10的整数倍， ∴的个位数字只能为9． ∴． 故答案为3． 三、解答题 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （）先根据有理数乘法分配律计算，然后进行有理数减法运算即可； 本题主要考查了有理数混合运算和运算律，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程． ……① ……② ．……③ 【答案】错在①②， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据运算法则和运算步骤分析可找出错误的步骤，然后按照正确的运算法则和运算步骤计算即可． 【详解】解：错在①②． 原式． 11．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 【答案】(1)1 (2)①4    0  ；② 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）①根据新定义运算即可求解；②根据新定义计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：①根据题意：， ， ， ， ； ② ， ， ， 同理：，，； ． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 4大高频考点概览 考点01 有理数的加减 考点02 有理数的乘除 考点03 有理数的乘方 考点04 有理数的混合运算 地 城 考点01 有理数的加减 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个数与的和是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若是最大的负整数，是绝对值最小的数，表示的数在原点左侧且距离原点3个单位长度，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（    ） 类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 甲地 乙地 A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高 C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若用符号表示a，b两数中的较大数，用符号表示a，b两数中的较小数，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）已知，，且，则的值为（   ） A． B． C．2或 D．或 二、填空题 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）甲、乙两地海拔高度分别为米和米，那么甲地比乙地高 米． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某公司去年每季度盈亏情况如下：“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：万元．第一季度；第二季度；第三季度，第四季度，则这个公司去年一年共 （填“盈利”或“亏损”） 万元． 9．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴上在与27之间插入三个数，使这五个数中每相邻两个数之间的距离相等，则这三个数的和是 ． 10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，，且，求的值为 ． 11．（24-25七年级上·浙江金华·期中）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上，以长作为该数轴的单位长度，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上“”和“x”，则x的值为 ． 三、解答题 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·浙江金华·期中）下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务． 解： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 (1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律） (2)第 步开始出现错误． (3)写出正确的解答过程． 14．（24-25七年级上·浙江金华·期中）现在网上转账非常便利，某公司每天生意上的往来都是通过网上银行转账，下表是公司某一天账户转账记录（转入为正，转出为负），该公司账户上原有余额8万元． 交易编号 1 2 3 4 5 6 7 8 账户记录（万元） (1)到下班时，公司账户上余额有多少？ (2)做完哪一笔交易时，公司账户上的余额最多？是多少万元？ 15．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）为了确保祖国母亲七十五华诞期间的用电安全，电力工人开车沿着一条南北方向的公路来回地行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达了地，约定向北为正，向南为负，当天记录如下（单位：千米）： (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 地 城 考点02 有理数的乘除 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）观察算式，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（    ） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）现有这样一种算法程序，任意输入一个数后会不断地反复进行“先乘以，后加上4”的运算，即若输入2，通过第一次运算输出，随后输入，通过第二次运算输出，随后输入，……，一直这样运算下去，运算结果会越来越接近于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若a与2互为相反数，则a的倒数为 ． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值为 ． 10．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 11．（24-25七年级上·浙江金华·期中）比较大小：若，则a ． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有三个互不相等的有理数，既可表示为1，，；也可表示为0，，的形式，则 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到，第三次将重复上述操作，得到以此类推，则的值为 ． 三、解答题 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）请选择你觉得最好的方法进行计算： (1)． (2)． 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）2024年欧洲杯在德国举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． (3)若该款足球纪念品每个生成成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则乘积的最大值是______． (2)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则商的最小值是______． (3)若从中取出，，，1四张卡片，请写出两个不同的运算式，使它们的计算结果为24． 地 城 考点03 有理数的乘方 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）宁波市统计局发布数据，2024年宁波市第一季度的值为亿元，实际增速，增量亿元，名义增速．其中亿用科学记数法表示为（　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各对数中，相等的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）2024年8月8日，浙江省经济信息中心发布2024年上半年经济“成绩单”，提到：截至6月末，在册经营主体数量达万户，同比增长．这里的万用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 二、填空题 7．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将，，这三个数的大小关系用“”号连接可表示为 ． 8．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如果，那么的值为 ． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）语文教科书每页大约有500字.一套《辞海》大约有个字，如果每页字数与语文教科书的字数相等，那么《辞海》大约有 页．（结果用科学记数法表示） 11．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知整数a，b，c，且，满足，则的最小值为 ． 地 城 考点04 有理数的混合运算 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式计算正确的是（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，例如，试求的值为（ ） A． B．0 C．12 D．54 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算为：，则的结果是（     ） A． B．2 C． D．10 二、填空题 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．如果原式的计算结果等于，则被污染的数字是 ． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果 ． 7．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上的三个数之和都等于，则 ． 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图1，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算3a与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： （1）若《数学故事》的图书码为948753Y，校验码Y的值为 ； （2）如图2，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，则m的值为 ． 三、解答题 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程． ……① ……② ．……③ 11．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $