6.1反比例函数的图象（教学设计）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数图象的绘制与性质探究，以面粉运输问题导入，自然引出函数关系，通过“实际情境—抽象建模—图象分析—综合应用”四步递进，构建清晰的学习支架，帮助学生从具体到抽象理解函数本质。 本资料突出核心素养导向，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的有机融合。如在问题3中引导学生从长方形面积出发，用数学语言描述变量关系，强化模型意识；在问题4中通过对比一次函数与反比例函数图象位置判断选项，发展推理能力；课堂小结时强调三种表示法的转换，提升结构化思维。教学环节环环相扣，注重实践操作与逻辑推理并重，既利于学生建立函数观念，又为教师提供可复制、易落地的教学范式。

教案 课题 反比例函数的图象 授课日期 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过实际问题情境，理解反比例函数的概念，并能从实际问题中抽象出反比例函数的数学模型。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过绘制反比例函数的图象，掌握反比例函数图象的基本特征，并能根据图象分析函数的性质。 （3）会用数学的语言表达现实世界：能够用数学语言描述反比例函数的图象特征，并能通过图象解决实际问题，提升数学表达能力。 教学重点 （1）掌握反比例函数图象的绘制方法，理解图象与函数表达式之间的关系。 （2）通过实际问题情境，培养学生从图象中获取信息的能力，提升数学建模素养。 教学难点 （1）学生对反比例函数图象特征的理解与掌握。 （2）将反比例函数图象与实际情境相结合，进行问题分析和解决的能力。 教法学法 实验法、案例分析法 教具学具准备 （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示函数图像和动态模拟反比例函数的变化过程。 （2）《北师大版数学九年级上册》教材，确保学生能够参考课本内容，加深对反比例函数的理解。 （3）绘图纸和绘图工具，如直尺、圆规和铅笔，供学生亲手绘制反比例函数图像，增强实践操作能力。 教学内容设计 个性化调整 （二次备课） 一、情景导入 教师首先展示一个实际问题：已知某面粉厂加工出 4000 吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往 B 市。所需的时间 （天）和每天运出的面粉总重量 （吨）之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个函数关系的图象吗？ 教师引导学生思考并回答，让学生先尝试解决问题，并在黑板上画出简单的示意图。 （生：我们可以设每天运出的面粉总重量是 吨，所需的时间是 天，那么它们之间的关系应该是 t）。 （教师：很好，这实际上就是一个反比例函数的关系。今天我们就要学习如何画出反比例函数的图象。） 二、合作探究 探究点一：反比例函数的图象 类型一：判断反比例函数所在的象限 问题 1： 反比例函数 的图象在哪个象限？ 教师引导学生思考。 （生：因为 ，所以图象在第二、四象限。） （教师在黑板上画出函数 的图象，并说明图象的特点。） （教师：非常好，你们已经理解了反比例函数图象的特点。下面我们来总结一下规律。） 方法总结： 反比例函数 的图象是由两支曲线组成的。当 时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。 （教师在黑板上写出总结，并请几位同学复述。） 类型二：由反比例函数图象的位置确定 的取值范围 问题 2： 若双曲线 的两个分支分别在第二、四象限，则 的取值范围是？ 教师引导学生思考。 （生：通过计算我们知道 ，解得 。） （教师在黑板上演算，并解释每一步的理由。） （教师：很好，这种类型的题目需要我们根据图象的位置来确定 的取值范围。下面我们再来总结一下规律。） 方法总结： 反比例函数的图象的位置由 的符号确定。 （教师在黑板上写出总结，并请几位同学复述。） 类型三：实际问题的反比例函数图象 问题 3： 已知一个长方形的面积是 8，则这个长方形的一组邻边长 与 之间的函数关系图象大致是图中的哪一个？ 教师引导学生思考。 （生：因为长方形的面积是 8，两邻边的长分别是 和 ，所以 ，即 。而长方形的任意一边的长度都必须大于 0，故 的取值范围是 。因为 且 ，所以图象只在第一象限内。） （教师在黑板上画出函数 的图象，并说明图象的特点。） （教师：非常好，你们已经掌握了反比例函数的实际应用。下面我们再来总结一下规律。） 方法总结： 在解决与反比例函数的图象有关的实际问题时，因自变量的取值范围有限制，常只有一个分支或一个分支中的部分曲线段符合题意。 （教师在黑板上写出总结，并请几位同学复述。） 探究点二：一次函数与反比例函数的综合应用 问题 4： 在同一平面直角坐标系中，函数 与 （）的图象大致是哪一个？ 教师引导学生思考。 （生：通过分析可以知道只有 C 选项符合题意。） （教师在黑板上演算，并解释每一步的理由。） （教师：非常好，你们已经学会了如何判断一次函数和反比例函数的图象。下面我们再来总结一下规律。） 方法总结： 在每个选项中可先由一个函数图象的位置得出 、 的符号情况，然后在另一个函数图象上检验，若无矛盾，则此选项正确，否则就是错误的。 （教师在黑板上写出总结，并请几位同学复述。） 问题 5： 已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于点（1，5）。 （1）求这两个函数的解析式； （2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标。 教师引导学生思考。 （生：因为点（1，5）在反比例函数 的图象上，所以 ，即 。因此，反比例函数的解析式为 。又因为点（1，5）在一次函数 的图象上，所以 ，即 。因此，一次函数的解析式为 。） （教师在黑板上演算，并解释每一步的理由。） （教师：非常好，你们已经掌握了如何求解一次函数和反比例函数的交点。下面我们再来总结一下规律。） 方法总结： 通过联立方程组，可以求出两条函数图象的交点坐标。 （教师在黑板上写出总结，并请几位同学复述。） 三、课堂小结 教师带领学生回顾本节课的主要内容： 进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。 体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。 逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数图象的主要特征。 （教师：通过今天的课程，大家已经掌握了如何绘制反比例函数的图象，并且能够应用到实际问题中。希望大家能够继续巩固这些知识，下节课我们将继续深入学习反比例函数的性质。） （生：好的，我们会回去复习今天的内容，并预习下一课的知识。） 课后作业布置 （1）请学生独立绘制反比例函数 y＝k/x（k 为正数）的图象，并标出其特征点，描述图象所在象限。 （2）请根据所学内容，解决以下问题：已知反比例函数 y＝1/x 经过点 A (2, y1)，一次函数 y＝2x+1 经过点 B (1, y2)，求点 A 和点 B 的坐标，并讨论这两个函数图象的交点情况。 学科网（北京）股份有限公司 $