湖北省咸宁市崇阳县第一中学2025—2026学年高三上学期数学周测卷（五）

崇阳一中2025—2026学年上学期高三数学周测卷（五）参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B B C B A A B BCD ABD ABD 8. 【解析】因为，恒成立， 令，则恒成立，即， 所以， 所以，，，…，， 以上各式两边分别相加，得， 在中，令，得， 因为为偶函数，所以，所以， 所以，所以， 所以.故选:B. 10. 【解析】依题意，设直线，，， 联立得，则，， 则，解得或，则，或，，则直线的斜率为.故A正确；， 当且仅当时等号成立.故B正确； 因为，所以，故C错误； ，，则，，由抛物线的定义可得，，因为，， 当且仅当时取等号，此时，故D正确. 11. 【解析】对于A：由余弦定理有，所以，故A正确； 对于B：由余弦定理得，由基本不等式有，当时，即时等号成立，所以，所以角的最大值为，故B正确； 对于C：由有， 所以， 所以， 即，与题干不符，故C错误； 对于D：令代入 有，由有 得解得， 所以，由， 所以 ，即的取值范围是，故D正确. 12. 【答案】2 13.【答案】 14.【答案】 14.【解析】因为，所以当时，有， 两式相减得，所以，所以数列是以m为首项，1为公差的等差数列，所以，， 则， 所以， 又因为对任意的，等式恒成立，所以， 解得，，所以. 15.【解析】【小问1详解】 在中，，∴， ∵，∴， 则 化简得．............4分 又，∴， 又∵，∴............6分 【小问2详解】 ∵，∴，∴． 即， 又，∴...........10分 记内角的对边分别为， ∵的外接圆半径， ∴由正弦定理可得，∴ ，...........12分∴.............13分 16. 【解析】 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以.............6分 【小问2详解】如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，............8分 则， 设， 则． 设异面直线与所成角为， 则 ，............12分 整理得，解得或（舍去），............14分 所以，所以.............15分 17. 【解析】【小问1详解】 列联表如下： 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 ............3分 零假设为：是否喜欢体育运动与性别无关联． 根据列联表可得， ............6分 所以，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联． ............7分 【小问2详解】 从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人， 则男生抽取人数为，女生抽取人数为． ...........9分 X的所有可能取值为0，1，2，其中，，.............13分 则X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望．...........15分 18. 【解析】【小问1详解】 由题意知，解得， 则椭圆的方程为．............6分 【小问2详解】易知四边形为平行四边形，...........7分 设， 联立直线与椭圆消去并整理得， 由韦达定理得............9分 ，............12分 因为与平行，所以这两条直线的距离，............15分 则平行四边形的面积．............17分 19. 【解析】【小问1详解】 函数，有，则在R上单调递增， 当时，有，即. 当时，由，得，且. 当时，. 因为，所以. 因为对任意恒成立，所以当时，. 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的唯一极值点.............6分 【小问2详解】 当时，，， 当时，，所以在上单调递减， 因为， 所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点. 当时，令，则， 当时，有，所以在上单调递增， 又因为，所以存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，故在上无零点， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以在上有且仅有一个零点. 综上所述：在上有且只有2个零点.............12分 【小问3详解】 设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为， 其斜率分别为，则. 因为，所以. 所以. 不妨设，则. 因为， 由“合一切线”的定义可知，. 所以 由“合一切线”的定义可知，，所以. 当时，取， 则，符合题意. 所以.............17分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇阳一中2025—2026学年上学期高三数学周测卷（五） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ） A B. C. 0 D. 40 7. 古代中国太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头 部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合， 相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出 来的正八边形，其中心为O，若，则 A B. C. 2 D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. C. (为坐标原点) D. 当取最小值时， 11. 记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则实数a的值为________． 13. 若函数在处有极值，则实数________． 14. 已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式 恒成立，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角满足． （1）求； （2）若外接圆半径为2，且，求的面积． 16. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形， ，点在棱上． （1）若为的中点，证明：； （2）若两条异面直线所成角的余弦值为，求的值． 17. 为了解某校学生每天进行体育运动时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1） 根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢 体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 19. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $