重难强化二 动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题（复习讲义）（广东专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

重难强化二 动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题 目录 01才情解码·命题预警 1 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 考点一 动态平衡问题 4 知识点1 动态平衡 4 知识点2 处理动态平衡问题的几种常见方法 4 考向1 解析法解决动态平衡问题 5 考向2 图解法解决动态平衡问题 7 考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 9 考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 11 考点二 平衡中的临界与极值问题 11 知识点1 临界问题与极值问题综述 11 知识点2 临界问题与极值问题的解题方法 12 考向1 物理分析法求极值问题 12 考向2 数学分析法求极值问题 14 考向3 极限法求极值问题 16 04真题溯源·考向感知 17 考点 要求 考频 2025年 2024年 2023年 （1）共点力的动态平衡 （2）平衡中的临界极值问题 简单应用 中频 2025•广东T10 \ \ 考情分析： 1.命题形式：单选题非选择题 2.命题分析：高考对共点力的动态平衡考查相对较为频繁，解决此类问题的主要方法有解析法、图解法、三角形相似法、拉密定理法等，模型的特点相对明显。对于平衡中的临界极值问题考查的频度不是太高，如果考查，解决的方法主要是图解法和数学解析法。两个考点所考查题目的主要出现在选择题部分，难度不是太大 3.备考建议：解答本讲内容的关键首先在进行正确的受力分析，在连接体问题和动态平衡问题中体会优选研究对象(整体和隔离)的便捷，体会临界极值法、函数法、图像法、整体法、隔离法等解题方法,多联系生活中的平衡现象,提高应用物理知识解决实际问题的能力。 4.命题情境： ①生活实践类： ‌可调节晾衣架、折叠梯/人字梯、窗帘/遮阳棚、秋千/吊床、‌蹦极/高空索降、‌车辆拖挂、‌斜坡运输、人体骨骼/肌肉受力； ②学习探究类：观察秋千绳长与摆角的关系、分析绳拉力与摆角的关系（动态平衡）、塔吊配重平衡、绳长调节导致晾衣杆倾斜、梯子张开角度变化（人踩梯子时）、绳索调节导致遮阳棚倾斜。 5.常用方法：整体隔离法、正交分解法、、矢量三角形法、相似三角形法、矢量圆法、临界极值法、函数法、图像法、 复习目标： 1.掌握处理动态平衡问题的方法。 2.会利用数学的方法处理临界极值问题 考点一 动态平衡问题 知识点1 动态平衡 1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。 2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 知识点2 处理动态平衡问题的几种常见方法 1.解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 2.图解法： (1)特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。 (2)方法： 　　 得分速记：图解法的一般步骤 ①对研究的对象进行受力分析 ②画出受力分析的平行四边形或者头尾相连的三角形 ③找出一个大小方向都不变的力，找出一个方向不变的力，结合平行四边形各边或者角度的变化确定力的大小及方向的变化情况 3.三角形相似法： (1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。 4.矢量圆法(正弦定理法):适用于“一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变” ①矢量圆:如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 ②正弦定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。 考向1 解析法解决动态平衡问题 例1 如图所示，将质量为的笔记本电脑放在散热底座上，电脑与底座间动摩擦因数为，底座与水平面夹角为，现缓慢增大倾角，电脑始终与底座保持相对静止且与底座下部挡板没有相互挤压，已知重力加速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．电脑受到底座的作用力小于mg B．电脑受到的摩擦力大小始终等于 C．在此过程中，倾角的正切值始终不大于 D．在此过程中，电脑受到的支持力、摩擦力均在减小 【变式训练1·变载体】如图所示，光滑定滑轮用一小段细线固定在天花板上的O点，两物体甲、乙用一段轻绳连接后并跨过定滑轮，物体乙放在水平面上，系统平衡时，与竖直方向的夹角为，拴接物体乙的轻绳与竖直方向的夹角为，滑轮的质量可忽略不计。现使物体乙沿水平面向右移动少许，系统再次平衡时（　　） A．始终为的2倍 B．细线的作用力增大 C．物体乙对水平面的压力减小 D．水平面对物体乙的作用力减小 考向2 图解法解决动态平衡问题 例2 如图所示，轻质细线一端拴接一质量为的小球，另一端悬挂于天花板上的点，在外力、重力和细线拉力的作用下处于平衡状态。初始时水平，且细线与竖直方向的夹角为，与的夹角为。甲同学保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上；乙同学保持水平，逐渐缓慢增大角。则在两种情况下分析正确的是（　　） A．甲同学的外力一直增大 B．甲同学的外力先增大后减小 C．乙同学的外力逐渐增大，绳子拉力逐渐增大 D．乙同学的外力逐渐增大，绳子拉力逐渐减小 【变式训练1·变考法】】如图所示，倾角为的斜劈放在水平面上，质量为的滑块放在斜劈的斜面上，质量为的小球用跨过光滑定滑轮的细线与滑块相连，系统平衡时拴接滑块的细线平行斜面、拴接小球的细线沿竖直方向，且此时斜劈与滑块之间的摩擦力为零。现在小球上施加外力，外力与水平方向的夹角为，小球在外力的作用下缓慢上升，直到细线沿水平方向，整个过程中滑块和斜劈始终保持静止。下列说法正确的是（　　） A．外力的大小保持不变 B．细线的拉力一直增大 C．斜劈对滑块的摩擦力先增大后减小，然后再增大 D．地面对斜劈的摩擦力先增大后减小 考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 例3（2024·广东深圳·一模）如图所示，用一轻绳通过定滑轮将质量为m的小球静置在光滑的半圆柱体上，小球的半径远小于半圆柱体截面的半径R，绳AB长度为L，长度为H的杆BC竖直且与半圆柱体边缘相切，OA与水平面夹角为θ，不计一切摩擦，重力加速度为g，下列表达式表示绳对小球的拉力F是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1·变考法】（2022·广东·模拟预测）如图所示的装置，杆QO沿竖直方向固定，且顶端有一光滑的定滑轮，轻杆OP用铰链固定于O点且可绕O点转动，用两根轻绳分别拴接质量分别为m1、m2的小球并系于P点，其中拴接m1小球的轻绳跨过定滑轮，已知O点到滑轮顶端Q的距离等于OP，当系统平衡时两杆的夹角为=120°，则m1：m2为（　　） A．1：2 B．：2 C．1：1 D．：1 考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 例4如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的模型，，叉车臂AC与水平方向夹角为。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若从缓慢增加为，叉车臂对石墩的作用力和车把对石墩的作用力的大小变化为（　　） A．一直增加 B．先增加后减小 C．先减小后增加 D．一直在减小 考点二 平衡中的临界与极值问题 知识点1 临界问题与极值问题综述 1.临界问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述. 临界问题常见的种类： ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力． ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0. ③刚好离开接触面，支持力FN＝0. 2.极值问题 平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 知识点2 临界问题与极值问题的解题方法 1.物理分析法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值. 2.数学分析法:通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值). 3.极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小. 考向1 物理分析法求极值问题 例1 小明同学在一次跨学科课程的学习中，了解到因为南方和北方气候不同，屋顶上的瓦片选用的材质也不同。南方地区以热带亚热带季风气候为主，尽量选择带有釉面或者可以防水的瓦片如琉璃瓦、树脂瓦，如图甲所示。小明想研究瓦片的受力情况，将屋顶结构简化为图乙，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能静止在檩条上。已知檩条间距离为d，下列说法正确的是（　　） A．瓦片受到3个力的作用 B．增大檩条的倾斜角度时，瓦片与檩条间的弹力变小 C．减小檩条间的距离d，保持瓦片静止时，瓦片与檩条间的摩擦力变小 D．增大檩条间的距离d时，瓦片可能会下滑 【变式训练1·变载体】如图，四分之一光滑圆弧轨道ABC固定在水平面上，一质量为m的小球（视为质点）处于圆弧AB之间的中点，在推力F的作用下处于静止，则推力F的大小不可能是（　　） A． B． C． D． 考向2 数学分析法求极值问题 例2木块A、B分别重和，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25，夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了，弹簧的劲度系数为，系统置于水平地面上静止不动。现用的水平拉力F作用在木块B上，如图所示，则力F作用后木块A、B所受摩擦力大小（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·广东·三模）如图所示，一只质量为的蜜蜂沿倾角为的固定幕墙内的水平直线匀速向右爬行。重力加速度大小为。关于蜜蜂所受摩擦力的大小与方向，下列说法正确的是（　　） A．大小为 B．大小为 C．方向水平向左 D．方向水平向右 【变式训练2·变载体】如图所示，竖直墙壁和水平地面均光滑，两个质量相同的小球A和B通过轻质弹簧连接，在水平推力F的作用下处于静止状态。改变水平推力的大小，使A球缓慢向左移动，弹簧始终在弹性限度内且不会发生弯曲，当弹簧与水平方向夹角为45°时撤去推力F，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球A向左移动过程中推力F一直增大 B．小球A向左移动过程中弹簧长度不断变长 C．撤去推力F的瞬间小球A有大小为g方向水平向右的加速度 D．撤去推力F的瞬间小球B有大小为g方向竖直向下的加速度 考向3 极限法求极值问题 例3小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（　　） A. B.R C.R D.R 1．（2025·广东·高考真题）如图所示，无人机在空中作业时，受到一个方向不变、大小随时间变化的拉力。无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动。已知拉力与水平面成30°角，其大小F随时间t的变化关系为F = F0－kt（F ≠ 0，F0、k均为大于0的常量），无人机的质量为m，重力加速度为g。关于该无人机在0到T时间段内（T是满足F > 0的任一时刻），下列说法正确的有（   ） A．受到空气作用力的方向会变化 B．受到拉力的冲量大小为 C．受到重力和拉力的合力的冲量大小为 D．T时刻受到空气作用力的大小为 2．（2025·山东·高考真题）球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，，，A、B两点间距离为，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是（　　） A．甲的质量小于乙的质量 B．C点电势高于D点电势 C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同 D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难强化二 动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题 目录 01才情解码·命题预警 1 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 考点一 动态平衡问题 4 知识点1 动态平衡 4 知识点2 处理动态平衡问题的几种常见方法 4 考向1 解析法解决动态平衡问题 5 考向2 图解法解决动态平衡问题 7 考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 9 考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 11 考点二 平衡中的临界与极值问题 11 知识点1 临界问题与极值问题综述 11 知识点2 临界问题与极值问题的解题方法 12 考向1 物理分析法求极值问题 12 考向2 数学分析法求极值问题 14 考向3 极限法求极值问题 16 04真题溯源·考向感知 17 考点 要求 考频 2025年 2024年 2023年 （1）共点力的动态平衡 （2）平衡中的临界极值问题 简单应用 中频 2025•广东T10 \ \ 考情分析： 1.命题形式：单选题非选择题 2.命题分析：高考对共点力的动态平衡考查相对较为频繁，解决此类问题的主要方法有解析法、图解法、三角形相似法、拉密定理法等，模型的特点相对明显。对于平衡中的临界极值问题考查的频度不是太高，如果考查，解决的方法主要是图解法和数学解析法。两个考点所考查题目的主要出现在选择题部分，难度不是太大 3.备考建议：解答本讲内容的关键首先在进行正确的受力分析，在连接体问题和动态平衡问题中体会优选研究对象(整体和隔离)的便捷，体会临界极值法、函数法、图像法、整体法、隔离法等解题方法,多联系生活中的平衡现象,提高应用物理知识解决实际问题的能力。 4.命题情境： ①生活实践类： ‌可调节晾衣架、折叠梯/人字梯、窗帘/遮阳棚、秋千/吊床、‌蹦极/高空索降、‌车辆拖挂、‌斜坡运输、人体骨骼/肌肉受力； ②学习探究类：观察秋千绳长与摆角的关系、分析绳拉力与摆角的关系（动态平衡）、塔吊配重平衡、绳长调节导致晾衣杆倾斜、梯子张开角度变化（人踩梯子时）、绳索调节导致遮阳棚倾斜。 5.常用方法：整体隔离法、正交分解法、、矢量三角形法、相似三角形法、矢量圆法、临界极值法、函数法、图像法、 复习目标： 1.掌握处理动态平衡问题的方法。 2.会利用数学的方法处理临界极值问题 考点一 动态平衡问题 知识点1 动态平衡 1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。 2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 知识点2 处理动态平衡问题的几种常见方法 1.解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 2.图解法： (1)特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。 (2)方法： 　　 得分速记：图解法的一般步骤 ①对研究的对象进行受力分析 ②画出受力分析的平行四边形或者头尾相连的三角形 ③找出一个大小方向都不变的力，找出一个方向不变的力，结合平行四边形各边或者角度的变化确定力的大小及方向的变化情况 3.三角形相似法： (1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。 4.矢量圆法(正弦定理法):适用于“一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变” ①矢量圆:如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 ②正弦定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。 考向1 解析法解决动态平衡问题 例1 如图所示，将质量为的笔记本电脑放在散热底座上，电脑与底座间动摩擦因数为，底座与水平面夹角为，现缓慢增大倾角，电脑始终与底座保持相对静止且与底座下部挡板没有相互挤压，已知重力加速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．电脑受到底座的作用力小于mg B．电脑受到的摩擦力大小始终等于 C．在此过程中，倾角的正切值始终不大于 D．在此过程中，电脑受到的支持力、摩擦力均在减小 【答案】C 【详解】A．由于电脑始终处于平衡状态，电脑受到底座的作用力是支持力与摩擦力的合力，大小等于电脑的重力，方向竖直向上，故A错误； B．对电脑进行分析，根据平衡条件有， 由于电脑始终与底座保持相对静止，则二者之间的摩擦力是静摩擦力，不等于滑动摩擦力，即不等于，故B错误； C．为了电脑与底座保持相对静止，此过程要满足 解得，故C正确； D．结合上述可知，随着角度的增加，支持力不断减小、静摩擦力不断增大，故D错误。 故选C。 【变式训练1·变载体】如图所示，光滑定滑轮用一小段细线固定在天花板上的O点，两物体甲、乙用一段轻绳连接后并跨过定滑轮，物体乙放在水平面上，系统平衡时，与竖直方向的夹角为，拴接物体乙的轻绳与竖直方向的夹角为，滑轮的质量可忽略不计。现使物体乙沿水平面向右移动少许，系统再次平衡时（　　） A．始终为的2倍 B．细线的作用力增大 C．物体乙对水平面的压力减小 D．水平面对物体乙的作用力减小 【答案】A 【详解】A．系统平衡时，连接两物体的轻绳的拉力始终等于物体甲的重力，细线恰好在两轻绳夹角的角平分线上，则应有，物体乙向右移动少许，当系统再次平衡时增大，但始终为的2倍，故A正确； B．由于轻绳的拉力大小不变，当两轻绳的夹角增大时，两轻绳拉力的合力减小，对轻滑轮分析可知，细线的作用力大小始终等于两轻绳拉力的合力，所以细线的作用力减小，故B错误； C．物体乙沿水平面向右移动少许，增大，减小，则水平面对物体乙的支持力增大，由牛顿第三定律可知物体乙对水平面的压力增大，故C错误； D．对物体乙受力分析，如图所示，由力的平衡条件，在竖直方向上有 物体水平方向上有，增大，增大，物体乙所受的摩擦力增大，水平面对物体乙的作用力指的是支持力和摩擦力的合力，即为，所以水平面对物体乙的作用力增大，故D错误。 考向2 图解法解决动态平衡问题 例2 如图所示，轻质细线一端拴接一质量为的小球，另一端悬挂于天花板上的点，在外力、重力和细线拉力的作用下处于平衡状态。初始时水平，且细线与竖直方向的夹角为，与的夹角为。甲同学保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上；乙同学保持水平，逐渐缓慢增大角。则在两种情况下分析正确的是（　　） A．甲同学的外力一直增大 B．甲同学的外力先增大后减小 C．乙同学的外力逐渐增大，绳子拉力逐渐增大 D．乙同学的外力逐渐增大，绳子拉力逐渐减小 【答案】C 【详解】AB．甲同学保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上，根据三角形定则进行动态分析，如图甲所示 由于保持小球位置及角不变，缓慢减小角至竖直向上，先减小后增大，故AB错误； CD．乙同学保持水平，逐渐缓慢增大角，根据三角形定则进行动态分析，如图乙所示 由于保持水平，逐渐缓慢增大角，则逐渐增大，逐渐增大，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练1·变考法】】如图所示，倾角为的斜劈放在水平面上，质量为的滑块放在斜劈的斜面上，质量为的小球用跨过光滑定滑轮的细线与滑块相连，系统平衡时拴接滑块的细线平行斜面、拴接小球的细线沿竖直方向，且此时斜劈与滑块之间的摩擦力为零。现在小球上施加外力，外力与水平方向的夹角为，小球在外力的作用下缓慢上升，直到细线沿水平方向，整个过程中滑块和斜劈始终保持静止。下列说法正确的是（　　） A．外力的大小保持不变 B．细线的拉力一直增大 C．斜劈对滑块的摩擦力先增大后减小，然后再增大 D．地面对斜劈的摩擦力先增大后减小 【答案】C 【详解】AB．缓慢提升小球并保持外力与水平方向的夹角为，直到细线沿水平方向，以小球为对象，小球受到重力、外力和轻绳弹力，矢量三角形如图所示 由受力图可知，外力一直增加，轻绳上弹力先减小后增大，故AB错误； C．初始时，斜劈与滑块之间的摩擦力为零，则有 由于，轻绳上弹力先减小后增大，末状态时 则摩擦力增大后减小，然后再增大，故C正确； D．对两物体整体分析可知，地面对斜劈的摩擦力为 由于外力一直增加，则地面对斜劈的摩擦力一直增大，故D错误； 故选C。 考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 例3（2024·广东深圳·一模）如图所示，用一轻绳通过定滑轮将质量为m的小球静置在光滑的半圆柱体上，小球的半径远小于半圆柱体截面的半径R，绳AB长度为L，长度为H的杆BC竖直且与半圆柱体边缘相切，OA与水平面夹角为θ，不计一切摩擦，重力加速度为g，下列表达式表示绳对小球的拉力F是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，对小球受力分析，受拉力、支持力和重力，把拉力和支持力平移，组成矢量三角形，延长AO和交于点，如图所示 由几何关系和相似三角形有 解得 故选C。 【变式训练1·变考法】（2022·广东·模拟预测）如图所示的装置，杆QO沿竖直方向固定，且顶端有一光滑的定滑轮，轻杆OP用铰链固定于O点且可绕O点转动，用两根轻绳分别拴接质量分别为m1、m2的小球并系于P点，其中拴接m1小球的轻绳跨过定滑轮，已知O点到滑轮顶端Q的距离等于OP，当系统平衡时两杆的夹角为=120°，则m1：m2为（　　） A．1：2 B．：2 C．1：1 D．：1 【答案】D 【详解】以结点P为研究对象，受力分析如图所示 则拴接小球m1轻绳的拉力大小等于，由力的平衡条件将杆OP的支持力与轻绳的拉力合成，由相似三角形可得 解得 故ABC错误，D正确。 故选D。 考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 例4如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的模型，，叉车臂AC与水平方向夹角为。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若从缓慢增加为，叉车臂对石墩的作用力和车把对石墩的作用力的大小变化为（　　） A．一直增加 B．先增加后减小 C．先减小后增加 D．一直在减小 【答案】AD 【详解】在叉车匀速运动的过程中，对石墩进行受力分析，并将石墩所受的三个力进行平移构成一个首尾相接的矢量三角形，在从增加为过程中，该矢量三角形的三个顶点应落在一个圆上，如图所示 重力为圆的直径，由图可知，一直增加，一直在减小。 故选AD。 考点二 平衡中的临界与极值问题 知识点1 临界问题与极值问题综述 1.临界问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述. 临界问题常见的种类： ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力． ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0. ③刚好离开接触面，支持力FN＝0. 2.极值问题 平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 知识点2 临界问题与极值问题的解题方法 1.物理分析法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值. 2.数学分析法:通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值). 3.极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小. 考向1 物理分析法求极值问题 例1 小明同学在一次跨学科课程的学习中，了解到因为南方和北方气候不同，屋顶上的瓦片选用的材质也不同。南方地区以热带亚热带季风气候为主，尽量选择带有釉面或者可以防水的瓦片如琉璃瓦、树脂瓦，如图甲所示。小明想研究瓦片的受力情况，将屋顶结构简化为图乙，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能静止在檩条上。已知檩条间距离为d，下列说法正确的是（　　） A．瓦片受到3个力的作用 B．增大檩条的倾斜角度时，瓦片与檩条间的弹力变小 C．减小檩条间的距离d，保持瓦片静止时，瓦片与檩条间的摩擦力变小 D．增大檩条间的距离d时，瓦片可能会下滑 【答案】B 【详解】A．瓦片受重力，两侧的支持力和两侧摩擦力，共5个力，故A错误； B．增大檩条的倾斜角度时，两弹力的合力等于，瓦片与檩条间的弹力变小，故B正确； C．檩条对瓦片的支持力如图所示 设两檩条对瓦片的支持力与竖直方向的夹角均为，则有 减小檩条间的距离d时，夹角变小，则檩条对瓦片的支持力变小，即瓦片与檩条间的弹力变小。由可知，滑动摩擦力变小，所以最大静摩擦力变小，但瓦片仍处于静止状态，根据平衡条件可知，瓦片与檩条间的摩擦力仍等于，保持不变，故C错误； D．增大檩条间的距离d时，夹角变大，则檩条对瓦片的支持力变大，由可知，滑动摩擦力变大，所以最大静摩擦力变大，则瓦片不可能会下滑，故D错误。 故选B。 【变式训练1·变载体】如图，四分之一光滑圆弧轨道ABC固定在水平面上，一质量为m的小球（视为质点）处于圆弧AB之间的中点，在推力F的作用下处于静止，则推力F的大小不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对小球受力分析，如图所示 当推力F与弹力FN垂直时，推力F最小，由三角函数关系可知，F最小为，可知推力F的大小不可能小于。 故选A。 考向2 数学分析法求极值问题 例2木块A、B分别重和，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25，夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了，弹簧的劲度系数为，系统置于水平地面上静止不动。现用的水平拉力F作用在木块B上，如图所示，则力F作用后木块A、B所受摩擦力大小（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】弹簧的弹力 B物体所受最大静摩擦力 力F作用后，对木块B进行受力分析可知 因此B物体仍静止不动，所受摩擦力大小 弹簧对A的弹力不变，因此A所受摩擦力大小 故选A。 【变式训练1】（2025·广东·三模）如图所示，一只质量为的蜜蜂沿倾角为的固定幕墙内的水平直线匀速向右爬行。重力加速度大小为。关于蜜蜂所受摩擦力的大小与方向，下列说法正确的是（　　） A．大小为 B．大小为 C．方向水平向左 D．方向水平向右 【答案】A 【详解】蜜蜂受到重力、幕墙对它的支持力以及幕墙对它的摩擦力，根据物体的平衡条件可知，蜜蜂所受的摩擦力大小为，方向垂直水平直线沿幕墙向上。 故选A。 【变式训练2·变载体】如图所示，竖直墙壁和水平地面均光滑，两个质量相同的小球A和B通过轻质弹簧连接，在水平推力F的作用下处于静止状态。改变水平推力的大小，使A球缓慢向左移动，弹簧始终在弹性限度内且不会发生弯曲，当弹簧与水平方向夹角为45°时撤去推力F，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球A向左移动过程中推力F一直增大 B．小球A向左移动过程中弹簧长度不断变长 C．撤去推力F的瞬间小球A有大小为g方向水平向右的加速度 D．撤去推力F的瞬间小球B有大小为g方向竖直向下的加速度 【答案】BC 【详解】AB．设弹簧与竖直方向的夹角为α，改变推力F，水平面上A球向左缓慢移动，则α减小， 以竖直墙壁的B球为研究对象，由分析受力情况，根据平衡条件得 α减小，cosα增大，则F弹减小，弹簧变长； 墙壁对小球的弹力N=mgtanα α减小，N减小；对两球的整体分析可知F=N，可知F减小，故A错误，B正确； CD．当α=45°时弹簧弹力为 撤去推力F的瞬间弹簧的弹力不变，则小球A有方向水平向右的加速度，大小为 此时小球B受合力不变，则加速度为零，选项C正确，D错误。 故选BC。 考向3 极限法求极值问题 例3小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（　　） A. B.R C.R D.R 【答案】C 【解析】以整体为研究对象进行分析，设一个方形积木的质量为m，地面对其的支持力为N，根据平衡条件可得2N＝4mg，则N＝2mg，当两方形积木的距离最远时，设OA和OB之间的夹角为2θ，此时方形积木与地面间的摩擦力达到最大，对球形积木受力分析，根据平衡条件可得2Fcos θ＝2mg，对其中一个方形积木受力分析，根据平衡条件可得Fsin θ＝μN，联立解得tan θ＝1，则θ＝45°，根据几何关系可得AB之间的距离为x＝R，故C正确，A、B、D错误。 1．（2025·广东·高考真题）如图所示，无人机在空中作业时，受到一个方向不变、大小随时间变化的拉力。无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动。已知拉力与水平面成30°角，其大小F随时间t的变化关系为F = F0－kt（F ≠ 0，F0、k均为大于0的常量），无人机的质量为m，重力加速度为g。关于该无人机在0到T时间段内（T是满足F > 0的任一时刻），下列说法正确的有（   ） A．受到空气作用力的方向会变化 B．受到拉力的冲量大小为 C．受到重力和拉力的合力的冲量大小为 D．T时刻受到空气作用力的大小为 【答案】AB 【详解】AD．无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动，则无人机受到空气作用力与重力和拉力的合力等大反向，随着F的减小重力和拉力的合力如图 可知无人机受到空气作用力的大小和方向均会改变，在T时刻有，F = F0－kT 解得 故A正确、D错误； B．由于拉力F随时间t均匀变化，则无人机在0到T时间段内受到拉力的冲量大小为F—t图像与坐标轴围成的面积为，故B正确； C．将拉力分解为水平和竖直方向，则无人机受重力和拉力的合力在水平方向有 无人机受重力和拉力的合力在竖直方向有 0到T时间段内无人机受重力和拉力的合力在水平方向的冲量为 0到T时间段内无人机受重力和拉力的合力在竖直方向的冲量为 则0到T时间段内无人机受到重力和拉力的合力的冲量大小为 故C错误。 故选AB。 2．（2025·山东·高考真题）球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，，，A、B两点间距离为，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是（　　） A．甲的质量小于乙的质量 B．C点电势高于D点电势 C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同 D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低 【答案】BD 【详解】A．对甲、乙两小球受力分析如图所示，甲、乙两小球分别受到重力、支持力、库仑力作用保持平衡。 设与线段交点为点，由几何关系 解得 因此有， 根据正弦定理，对甲有 对乙有 因为 是一对相互作用力，可得 A错误； B．根据点电荷场强公式，由场强叠加知识，可知C到D之间的圆弧上各点场强方向都向右下方，若有一正试探电荷从C运动到D的过程中，电场力做正功，电势能减小，故可判断C点电势高于D点电势，B正确； C．两带电小球连线上的电场分布可以等效成一对等量异种点电荷的电场和在点带电量为的正点电荷的电场相互叠加的电场。在等量异种点电荷的电场中E、F两点电场强度大小相等，方向相同。但是点带电量为的正点电荷在E、F两点的电场强度不同。E、F两点电场强度大小不同，C错误； D．电势是标量，与线段的交点距离两带电小球最近，所以该点电势最大，那么沿直线从O点到D点，电势先升高后降低，D正确。 故选BD。 / 学科网（北京）股份有限公司 $