24.1.2垂直于弦的直径（第2课时）（教学设计）数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦垂径定理推论及应用，通过复习垂径定理，拆解“过圆心、垂直弦、平分弦”等5个条件，引导学生探究推论，搭建前后知识衔接的学习支架。 此资料以探究式教学为主线，通过追问推导强化推理意识，例题分层设计（如求半径、证等腰三角形）渗透模型意识，结合圆弧形门洞等实际情境及中考真题培养应用意识，助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

　　　　　24.1.2垂直于弦的直径（第2课时）（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十四章圆,24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径（第2课时）,内容为圆的垂径定理推论及应用。 2. 内容解析 本节课在根据圆的轴对称性得到了垂径定理后进一步研究垂径定理的推论及应用。掌握垂径定理及其推论，并学会运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图的问题。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据。垂径定理及推论的应用是本节课的重点。另外，垂径定理推论的题设和结论比较复杂，容易混淆，所以也是难点。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为垂径定理的推论及应用。 1.教学目标 （1）通过探究垂径定理得到垂径定理的推论。 （2）掌握垂径定理及推论，并能解决相关计算和证明问题。 （3）经历探究垂直于弦的直径的过程多角度体会垂径定理的推论，激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 2.目标解析 （1）本节课从垂径定理出发，探究垂径定理的其它性质及垂径定理的推论。 （2）对于垂径定理的推论，要帮助学生分析每个性质的条件和结论，要注意让学生区分它们的条件和结论。掌握垂径定理和推论是应用好定理解决问题的前提。 （3）通过经探究垂直于弦的直径的过程多角度体会和认识垂径定理扩推论，调动了学生的多种感官，激发了学生学习圆的兴趣，激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 本节课在上节课学习了垂径定理的基础上，研究垂径定理的推论，按照每个性质中的条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论。这个结论和垂径定理类似，要注意让学生区分它们的条件和结论，另外，一定要强调“弦不是直径”的条件。因为一个圆的任意两条直径互相平分，但是它们未必垂直，这一点学生容易忽视，所以教学中要提醒学生不能忽视这个条件。掌握垂径定理和推论是应用好定理及推论解决问题的前提，这部分内容的题设和结论比较复杂，容易混淆，所以也是难点。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为垂径定理推论的题设和结论区别及垂径定理及推论应用。 创设情景，引入新课 复习：①.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 ②垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　垂径定理推论 追问1：垂径定理中可以看成一条直线具备5个条件，这个5个条件分别是什么？垂径定理是具备其中的哪些条件，可以推出另外的条件？ ①直线过圆心：即该直线是圆的直径或过圆心的直线。 ②直线垂直弦：直线与圆内的弦垂直相交。 ③直线平分弦（弦不是直径）：直线将弦分为相等的两部分，且被平分的弦不能是直径。 ④直线平分弦所对的优弧：直线将弦所对的优弧分为相等的两部分。 ⑤直线平分弦所对的劣弧：直线将弦所对的劣弧分为相等的两部分。 垂径定理是具备①②可以推出③④⑤。 探究：如果条件改为①过圆心③平分弦，可以推出②垂直于弦④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧吗? 追问2：你能把上面的探究写成命题的形式吗？ 如果有一条直径平分弦，那么它垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧. 追问3：你能根据上面命题画图并写出题设和结论吗？ 画图： 题设:有一条直径平分弦； 结论:垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 追问4：弦ＡＢ如果过圆心，这个结论成立吗？举例说明？ 结论不一定成立，如下图右，弦ＡＢ过圆心，上面的结论不成立。 追问5：上面的弦不过圆心，结论成立吗？我们一起讨论并证明。 已知:如图，CD是⊙O的直径，CD平分弦AB（AB不过圆心Ｏ）于点E. 求证:CD⊥AB于点E，,. 【分析】连接ＯＡ、ＯＢ，得到△OAB是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以得到结论. 【详解】证明:连接OA，OB. 在△OAB中， ∵　OA=OB, ∴△OAB是等腰三角形. ∵CD平分弦AB于点E, ∴OE⊥AB于点E,即CD⊥AB于点E. ∴,. 归纳总结：垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 强调：这条弦不是直径。 追问6：这条推论用符号语言如何表达？ 如图，几何语言表达如下:∵CD 是⊙0的直径，AE=BE（ＡＢ不是直径）, ∴CD⊥AB,,. （设计意图：探讨垂径定理推论.） 典型例题 例1 如图，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4cm,EM=6cm,求⊙0的半径. 【分析】根据垂径定理的推论，得EM⊥CD,连接OC,构造直角△0CM，应用勾股定理解决问题。 【详解】解:连接OC,设，则, ∵M是CD的中点， ∴ＯＭ⊥CD. ∴. 在Rt△OCM中，由勾股定理，得0C²=0M²+CM², 即. 解得： 因此，⊙0的半径为cm. 例2.已知:如图，⊙O中，半径OE、OF分别平分弦AB、AC，交AB、AC于点D、G，交于点E、F，并且弦EF分别交AB、AC于点M、N.求证:△AMN是等腰三角形. 【分析】根据垂径定理推论，可以得到OE⊥AB,OF⊥AC，进而得到∠AMN=∠ANM，可得AM=AN. 【详解】证明:∵OE、OF分别平分弦AB、AC, ∴OE⊥AB,OF⊥AC. ∴∠EDM=∠FGN=90°， ∵OE=OF, ∴∠E=∠F. ∴∠EMD=∠FNG. ∵∠EMD=∠AMN，∠FNG=∠ANM ∴∠AMN=∠ANM. ∴AM=AN. ∴△AMN是等腰三角形. （设计意图：强化垂径定理推论的应用.） 探究点2　垂径定理及推论拓展　 问题：我们发现垂径定理是已知①②推出③④⑤，推论是已知①③推出②④⑤，接下来我们不妨拓展探究一下，看看①⑤能推出②③④吗?也就是说如果一条直线经过圆心，并且平分了弦所对的劣弧，那么它能否垂直平分弦，并且平分弦所对的优弧呢? 追问1：上面的问题“平分弦所对的一条弧的直线,垂直平分这条弦，且平分弦所对的另一条弧”成立吗？. 如图，如果CD是⊙0的直径，，那么CD垂直平分AB，且.理由是：⊙0的沿直径ＡＤ对折，由知，Ａ、Ｂ点重合，可以得到结论成立。 追问2：上述五个条件中任意选取2个条件作为已知条件，其他剩余条件作为结论，一共有多少种组合呢?垂径定理推论组合是什么？ 一共有10种组合； 由①③推出了②④⑤是垂径定理推论。 讨论：在这五个条件中可以已知二个条件推出其他三个结论是否都正确？为什么？请同学们课后自己探究给出证明. 总结归纳：一条直线具备“①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧”中两个条件，就能推出其他三个结论成立。将直线CD满足的五个条件转化为直线CD经过不同的五个点，因为两点确一条直线定，所以只要知道两个条件成立就能推出其他三个结论成立。 （设计意图：进一步探究垂径定理推论.） 例3　如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论： 嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为 下列论正确的是（    ） A．两人都错 　　　　B．嘉嘉对，琪琪错 　　　C．嘉嘉错，琪琪对 　　　D．两人都对 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q，根据垂径定理得出，，设，则，根据勾股定理，建立方程，求出，则，即可判断嘉嘉的结论；由旋转的性质得出，再根据扇形面积公式，即可求出扫过的面积，即可判断淇淇的结论． 【详解】解：令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q， ∵点P是中点， ∴，， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即，解得：（舍去）， ∴， ∴，故嘉嘉对； ∵绕点A逆时针旋转后得到，∴， ∴扫过的面积，故琪琪错； 故选：B． （设计意图：强化垂径定理及推论应用.） 1．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径是多少？ 【详解】解：过作于，过作于，如图所示：    则米，， ， ， 四边形是矩形， 米，米， 设该圆的半径长为米， 根据题意得， 解得： 即门洞的半径长为米。 （设计意图：强化图形设计与应用。） 课本课堂练习：2.如围，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证:四边形ADOE是正方形. 参考答案：四边形ADOE 有三个角是直角，它是矩形;又由AB=AC，可得OD=OE，所以四边形ADOE是正方形. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．（2025·广东江门校考）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． 　　B． 　　　C． 　　　D． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 2．(2025•成都)如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ______ ． 【解答】解：如图，连接OB． ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB＝OC， ∵OA＝OC， ∴OA＝AB， ∴▱OABC是菱形， ∵OA＝OB＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴S阴影＝S扇形AOBπ×12． 故答案为：． 3.（2025·安徽一模）如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 【详解】（1）解：连接，交于一点，如图所示：    ∵B为弧的中点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解： 连接，交于一点，如图所示：    ∵ ∴，点O在的垂直平分线上 由（1）知， ∴ ∴，点H在的垂直平分线上 ∴所在的直线是的垂直平分线上 ∴ （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.一条直线具备“①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧”中两个条件，就能推出其他三个结论成立。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题24.1第10、11题 探究性作业：习题24.1第15题 （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 24.1.2垂直于弦的直径（第2课时） 探究点1　垂径定理推论 探究点2　垂径定理推论拓展 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $