24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）（教学设计）数学人教版九年级上册.

该初中数学教学设计聚焦垂径定理及应用，通过复习圆的对称性导入，先折叠直观感知圆的轴对称性，再几何证明严谨推导，搭建从直观到抽象的学习支架，梳理圆的性质到垂径定理的知识脉络。 特色在于融合几何直观与推理能力，折叠实验与证明结合理解对称性，赵州桥实例培养应用意识，中考题强化知识迁移。帮助学生提升空间观念和创新意识，为教师提供清晰流程与丰富例题，提升教学效率。

　　　　　　　24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十四章圆,24.1圆的有关性质，24.1.2垂直于弦的直径（第1课时),内容为圆的垂径定理及应用。 2. 内容解析 本节课结合研究圆的轴对称性，得到了垂径定理。通过本节课的教学，应使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理论解决一些有关证明、计算和作图的问题。垂径定理反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据。尽管在《课标(2011年版)》中，垂径定理的探索与证明是选学内容，但垂径定理的应用是教科书的重点。另外，这部分内容的题设和结论比较复杂，容易混淆，所以也是难点。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为垂径定理的应用。 1.教学目标 （1）通过探究圆的对称性探索垂径定理。 （2）掌握垂径定理，并能解决相关计算和证明问题。 （3）经历探究垂直于弦的直径的过程，激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 2.目标解析 （1）本节课从圆的对称性出发，让学生探索圆的轴对称性，把圆沿它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起，很直观。学生不难理解“圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴”，探究垂直于弦的直径的性质。 （2）对于垂径定理，要帮助学生分析定理的条件和结论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论。掌握垂径定理是应用好定理解决问题的前提。 （3）通过经探究垂直于弦的直径的过程多角度体会和认识圆性质，调动了学生的多种感官，激发了学生学习圆的兴趣，激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 本节课开始，让学生探索圆的轴对称性，把圆沿它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起，很直观。学生不难理解“圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴”。对于圆是轴对称图形的证明，采用“在圆上任取一点，证明它关于对称轴(直径所在直线)对称的点也在圆上”进行证明。这种方法是证明一个图形是轴对称图形的常用方法，要让学生掌握。对于垂径定理，要帮助学生分析定理的条件和结论，即一条直线若满足:(1)过圆心，(2)垂直于弦，则可以推出:(1)平分弦，(2)平分弦所对的优弧，(3)平分弦所对的劣弧。这样既可以加深学生对定理的理解，又为学习推论作好准备。掌握垂径定理和推论是应用好定理解决问题的前提，这部分内容的题设和结论比较复杂，容易混淆，所以也是难点。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为垂径定理的题设和结论区别及应用。 创设情景，引入新课 复习：①连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 ②圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　圆是轴对称图形 问题：我们在小学学习了圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，怎样证明这个结论呢？ 追问1：证明一个图形是轴对称图形的常用方法是什么？怎样证明圆是轴对称图形？ 只需证明图形上任意一点关于一条直线(对称轴)的对称点也在这个图形上；要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上。 追问2：你能说出证明的过程吗？ 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点. 过点A作AA'⊥CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'. 在△OAA'中， ∵OA=OA', ∴△OAA’是等腰三角形. 又AA'⊥CD, ∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分线. 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A’，因此⊙O关于直线CD对称。 即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 （设计意图：证明并进一步认识圆的对称性） 典型例题 例1　如图，在中，是的直径，，，M是上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【分析】作点C关于的对称点，连接与相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为的最小值时的位置，根据圆的对称性可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，连接与相交于点M， 此时，点M为的最小值时的位置，即点M与点O重合 由圆的对称性得，， ∴， ∵，为直径， ∴为直径， 即 ∴的最小值是 故选：D． （设计意图：强化圆的对称性.） 探究点2　垂径定理 追问1：从上面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA'，垂足为M，那么点A 和点A'是对称点。把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A'重合，你能得到哪些相等的线段和相等弧？ AM与A'M 重合，分别与重合.因此，，，. 即直径CD平分弦AA'，并且平分，. 追问2：由上面的推导过程，我们得到垂径定理，请你用自己的语言表达？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 追问3：这里弦所对的两条弧是指什么弧？ “优弧”“劣弧”或两个半圆。 追问4：这个定理的条件是什么？结论是什么？对照下面的图怎样用几何符号语言表达？ 条件是垂直于弦的直径；结论是平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 在⊙O中，∵AA'是弦，ＣＤ是直径，CD⊥AA'于点Ｍ，∴，，. （设计意图：探究垂径定理.） 典型例题 例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位). 　　　　 【分析】:解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形. 【详解】解:如图24.1-8，用弧AB表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线ＯＣ,D为垂足， OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高. 由题设可知：　　AB=37，CD=7.23， 所以 . 在 Rt△OAD中，由勾股定理，得OA²=AD²+OD², R²=18.5²+(R-7.23)². 解得　　R≈27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. 例3．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 【分析】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． （设计意图：强化垂径定理及应用 ） 1．已知的直径为10，为上一动点（不与、重合），连接、． (1)如图1，若，求的值； (2)如图2，弦平分，过点作于点，连接． ①当为直角三角形时，求的值； ②在点的运动过程中，请直接写出的最小值． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴，又，， ∴； （2）解：①∵，弦平分， ∴， 当时，如图，连接，则, ∵， ∴， ∴点E和O重合，即为等腰直角三角形，则； 当时，如图， ∵， ∴， 则为等腰直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， 综上，满足题意的的长为5或； ②连接，，分别取、的中点F、H，连接，，如图， 则，，，， ∴，，， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∵，当点B、E、F共线时取等号， ∴的最小值为． （设计意图：强化图形设计与应用。） 1.如图，在中，弦AB的长为8cm，圆心0到AB的距离为3cm.求⊙0的半径， 答案：1.由AE=4cm，OE=3cm，利用勾股定理可得⊙O的半径AO为5cm. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．(2025•宜宾)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是(　　) A．3 B．2 C．6 D． 【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D， ∴ADAB8＝4， ∵OA＝OC＝5， ∴OD3． 故选：A． 2．(2025•内江)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是______ ． 【解答】解：∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB8＝4， 在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4， ∴OD3， ∴DC＝OC－OD＝5－3＝2． 故答案为：2． 3.（2025·内蒙古通辽校联考）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求：(1)桥拱的半径； (2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 【详解】（1）解：如图1， 设圆的半径是r， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题24.1第5、8题 探究性作业：习题24.1第9题 （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 24.1.2垂直于弦的直径（第1课时） 探究点1　圆是轴对称图形 探究点2　垂径定理 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $