24.1.3弧、弦、圆心角（导学案）数学人教版九年级上册

4.1.3 弧、弦、圆心角（导学案）（原卷版） 1.教学目标 （1）理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角。 （2）掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算。 （3）在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题。 重点：掌握圆心角、弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算。 难点：理解圆的旋转不变性和对定理推论的应用。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：在平面内，把一个图形 ，如果 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它 。如平行四边形，圆等。 【学法指导】 自研课本P83-85页内容 (一)圆的中心对称和旋转不变性 探究：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°。 1.所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 2.圆还具有什么性质？ (二)圆心角及其所对的弧、弦之间的关系 1.观察下面几个角的顶点，有什么共同特征？这样的角叫什么角？ 思考：圆心角及其所对的弧、弦之间的关系. 2.如图，⊙O中，当圆心角∠AOB=∠AOB时，它们所对的弧和、弦AB和AB相等吗？为什么? 3.同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？ 自研课本P83-85页内容 典型例题 例1.已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC的距离为4，求点A'的坐标。 例2　如图 ，在⊙O中，，∠ACB=60°,求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例3　如图，为的直径，弦于点E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 第二环节 合作探究 1. 讨论圆的中心对称性和旋转不变性. 2. 讨论圆心角及其所对的弧、弦之间的关系;同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系. 3. 合作探究提升：1．如图，将正方形中的绕点B顺时针旋转到的位置．若，求点P经过的路径长． ． 练习：1. 如图，AB，CD 是OO 的两条弦. (1）如果 AB=CD，那么　　　　　　　，　　　　　；　 (2) 如果，那么　　　　　　　，　　　　　；　 (3）如果∠AOB=∠COD，那么　　　　　　　，　　　　　；　 (4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE 与OF 相等吗？为什么？ 　　 2. 如图，AB 是OO的直径，，∠COD=35°求∠AOE 的度数. 1.（2025·吉林松花江期中）如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，；．    (1)求的度数； (2)连接，若，则的半径为_____． 2．（2025·廊坊·九年级期中）如图，在中，，，直径于点，连接，． (1)求的度数； (2)求的长度． 1. 圆是 图形， 就是它的对称中心；把圆 ，所得的图形都与 。 2. 在 中，相等的圆心角所对的 ，所对的 。 3.在同圆或等圆中，两个 、两条 、两条 中有 相等，它们 也相等。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.3 弧、弦、圆心角（导学案）（解析版） 1.教学目标 （1）理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角。 （2）掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算。 （3）在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题。 重点：掌握圆心角、弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算。 难点：理解圆的旋转不变性和对定理推论的应用。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。如平行四边形，圆等。 【学法指导】 自研课本P83-85页内容 (一)圆的中心对称和旋转不变性 探究：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°。 1.所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 重合；圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。 2.圆还具有什么性质？ 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。 (二)圆心角及其所对的弧、弦之间的关系 1.观察下面几个角的顶点，有什么共同特征？这样的角叫什么角？ 顶点都在圆心。我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 思考：圆心角及其所对的弧、弦之间的关系. 2.如图，⊙O中，当圆心角∠AOB=∠AOB时，它们所对的弧和、弦AB和AB相等吗？为什么? 我们把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与OA重合. ∵∠AOB=∠AOB， ∴射线 OB 与OB重合. 又OA=OA，OB=OB， :点A与A重合，点B与B重合. 因此，和重合，AB与AB′重合. 即=，AB=AB′. 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？ 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等. 自研课本P83-85页内容 典型例题 例1.已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC的距离为4，求点A'的坐标。 【分析】将对称的动点问题看作是画圆的问题，即可将问题转化为直线与圆的交点问题，通过勾股定理即可求解。 【详解】解：如图，点A关于OP的对称点为A'， 由对称性可知△AA'O为等腰三角形，且腰为OA=10， 所以距离CB直线为4的点分布在直线BC的两侧， A可以看作是以0为圆心，OA为半径的圆与直线y=9，与直线y=1的交点 由勾股定理可得，当A’在y轴左侧BC上方时，A'， 当A'在y轴左侧BC下方时，A'， 当A’在y轴右侧BC上方时，A'， 故点A'的坐标为或或. 例2　如图 ，在⊙O中，，∠ACB=60°,求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC. 【分析】要证明∠AOB=∠BOC=∠AOC，只要证明AB=BC=CA. 【详解】证明：∵， ∴AB=AC，△ABC 是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例3　如图，为的直径，弦于点E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识． （1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． 【详解】（1）∵是的直径，， ∴． ∴； （2）连接，    ∵， ∴． ∵直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴． 第二环节 合作探究 1. 讨论圆的中心对称性和旋转不变性. 2. 讨论圆心角及其所对的弧、弦之间的关系;同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系. 3. 合作探究提升：1．如图，将正方形中的绕点B顺时针旋转到的位置．若，求点P经过的路径长． 【详解】解：∵将正方形中的绕点顺时针旋转到的位置，， 由旋转性质可得，， ∴点所走过的路径是以为圆心，为半径，圆心角为弧长， ∴点所走过的路径的长为：． 练习：1. 如图，AB，CD 是OO 的两条弦. (1）如果 AB=CD，那么　　　　　　　，　　　　　；　 (2) 如果，那么　　　　　　　，　　　　　；　 (3）如果∠AOB=∠COD，那么　　　　　　　，　　　　　；　 (4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE 与OF 相等吗？为什么？ 　　 2. 如图，AB 是OO的直径，，∠COD=35°求∠AOE 的度数. 答案：1. (1)，∠AOB=∠OOD;(2)AB=CD，∠AOB=∠OOD；(3) AB = CD，;(4）相等，证明略。　　2.∠AOE=75° 1.（2025·吉林松花江期中）如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，；．    (1)求的度数； (2)连接，若，则的半径为_____． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：如图，连接，    ，°， ， ， 中， ，， 解得．故答案为：． 2．（2025·廊坊·九年级期中）如图，在中，，，直径于点，连接，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 1. 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。 2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $