1.2空间向量基本定理 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理 1 1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解. 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法. 4.培养数学抽象、直观想象、数学运算等素养. 教学目标 复 习 回 顾 平面向量基本定理： 　　如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2． 若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 问题5 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？ 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2． 空间向量基本定理 平面向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面， 那么对任意一个空间向量 p， 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)， 使得 p＝xa＋yb＋zc． 4 知识点一　空间向量基本定理 思考　零向量能否作为基向量？ 走进教材 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 答案　不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面． 注意：①一组基底选定后，空间中所有的向量均可由这组基底唯一表示， 不同的基底下同一向量的表达式也可能不同. ②几何体本身具有的性质不会因为基底不同而发生改变. 空间向量基本定理 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． a i j k P Q O 6 【明辨是非】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底.( ) 提示:由空间向量基本定理可知:任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. (2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量.( ) 提示:三个不共面的向量可以构成空间的一个基底,所以a,b,c不共面,所以a,b,c全不是零向量. (3)若a,b,c是空间三个向量,则对空间任一向量p,总存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.( ) 提示:若a,b,c是空间三个不共面的向量,由空间向量基本定理可知,对空间任一向量p,总存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc;当a,b,c共面时,则不成立. × √ × 基底概念理解 8 9 课本12页例1 10 【即学即练】 　(教材提升·例3)如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',E,F分别为AA'和CC'的中点.求证:BF∥ED'. 类型二证明垂直(逻辑推理) 【典例2】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°, ∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分别为D1C1,C1B1的中点.求证:MN⊥AC1. 例题 应用2—证平行 例2 如图示， 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D'，D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 判断向量平行 例题 应用2—证平行 例2 如图示， 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D'，D'D的中点. (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 求向量夹角 12.(5分)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1 =60°,∠BAA1=30°,N为A1D1上一点,且A1N=λA1D1,若BD⊥AN,则λ的值为_________; 若M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N,则λ的值为______.  　-1　 　　 2.用基向量解决立体几何中的线线平行，垂直，角的简单问题的通法 用求长度， 用＝λ ⇔， 用·＝0⇔⊥， 用求夹角． 立体几何 定相同的基底 用基底表示向量 向量 向量的解 立体几何的解 课堂小结 1.用平面向量基本定理类比空间向量基本定理（基底、正交基底、正交分解） 例4：已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 eq \o(OA,\s\up16(→)) ＝e1＋2e2－e3， eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝－3e1＋e2＋2e3， eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝e1＋e2－e3，试判断{ eq \o(OA,\s\up16(→)) ， eq \o(OB,\s\up16(→)) ， eq \o(OC,\s\up16(→)) }能否作为空间的一个基底． 解析：假设 eq \o(OA,\s\up16(→)) ， eq \o(OB,\s\up16(→)) ， eq \o(OC,\s\up16(→)) 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使 eq \o(OA,\s\up16(→)) ＝x eq \o(OB,\s\up16(→)) ＋y eq \o(OC,\s\up16(→)) 成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，)) 此方程组无解，不存在实数x，y，使 eq \o(OA,\s\up16(→)) ＝x eq \o(OB,\s\up16(→)) ＋y eq \o(OC,\s\up16(→)) 成立， ∴ eq \o(OA,\s\up16(→)) ， eq \o(OB,\s\up16(→)) ， eq \o(OC,\s\up16(→)) 不共面．故{ eq \o(OA,\s\up16(→)) ， eq \o(OB,\s\up16(→)) ， eq \o(OC,\s\up16(→)) }能作为空间的一个基底． 解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 ，用 表示 【即学即练】 1.(2024·莆田高二检测)斜三棱柱ABC-A1B1C1中,设=a,=b,=c,若=2,则= (　　) A.a+b+c　 B.a+b+c C.a-b-c　 D.a-b-c 【解析】选A.因为=+=+ =+(-)=+(+)=a+b+c. 2.(2025·焦作高二检测)如图所示,在三棱锥O-ABC中,=a,=b,=c,点M,N满足=4,=,则+= (　　) A.a+b-c　 B.a-b+c C.-a+b+c　 D.a+b-c 【解析】选A.因为=,所以=+=+(-)=+=a+b,又=4,即=, 所以=-=a+b-=a+b-c,因此+=a+b-c+a+b=a+b-c. 【证明】=+=+=+, =+=+=+, 所以=,所以∥, 因为直线BF与ED'没有公共点, 所以BF∥ED'. 【证明】设=a,=b,=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底,则 =+=a-b, =++=a+b+c, 所以·=(a-b)·(a+b+c) =a·a+a·b+a·c-b·a-b·b-b·c =×42+×42×cos 60°+×4×5×cos 60°-×42×cos 60°-×42-×4×5×cos 60° =0,所以MN⊥AC1. 【解析】设该六面体的棱长为1,取空间中的一个基底:=a,=b,=c. 若BD⊥AN,则·=0. 因为=-=b-a,=+=c+λb,所以(b-a)·(c+λb)=0, 所以+λ--=0,所以λ=-1. 当M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N时,=-a+b+c,=λb+c,=a+c. 因为BM∥平面AB1N,所以向量,,共面,所以∃x,y∈R, 使得=x+y, 即-a+b+c=ya+xλb+(x+y)c,所以解得λ=. $