22..3实际问题与二次函数—面积问题（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级上学期数学大单元教学分层优化

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22..3实际问题与二次函数—面积问题（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 二次函数实际问题解题步骤 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 知识点2图形面积最值问题  实际问题与二次函数的图形问题主要涉及二次函数在实际场景中的应用，包括面积最值、几何图形变换等。 面积最值问题 矩形/围栏问题：如篱笆围矩形养鸡场（墙长限制），设一边长为x，面积y = x（总长-2x），通过顶点公式求最大值。 题型1二次函数与一面靠墙问题 例1．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是　 　平方米． 【答案】450 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 【分析】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据题意可得，列出菜园的面积关于x的函数关系式，配方为顶点式得到最值解答即可． 【变式1-1】．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． （2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x-)2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）设CG为am，DG为(12-a)m，根据矩形面积公式列方程解答即可； （2）设两块矩形总种植面积为ym2， BC长为xm，根据矩形的面积公式列二次函数，化成顶点式求出最值解答即可 . （1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． （2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x-)2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 【变式1-2】．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】解：设这个矩形与墙平行的一边长为，面积为，那么不与墙平行的一边长为， 根据题意，得， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值， 最大值为， ， 答：当这个矩形的长(不与墙平行)为、宽(与墙平行)为时，菜园的面积最大，最大面积是． 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】 设这个矩形与墙平行的一边长为，面积为，则与墙垂直的边长为，再由矩形面积公式可得是关于的二次函数，由于二次函数的二次项系数为负，则在对称轴左侧y随x的增大而增大，因为x的最大值为墙的长度，即当x =18时S有最大值，求出这个最大值即可． 【变式1-3】．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为． （1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）解：∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，∴较大矩形的宽为． ∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为． ∴养殖场的总面积为． ∵墙的长度为10米， ∴， ∴． ∴关于的函数关系式为 （2）解：由题意，∵，∴当时，随的增大而增大． 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为：． 答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到矩形养殖场的长和宽，再利用矩形的面积公式可得到y关于x的函数解析式，利用墙的长度可求出x的取值范围. （2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及x的取值范围，可得到矩形面积的最大值及此时x的值. （1）解：由题意，∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形， ∴较大矩形的宽为． ∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为． ∴养殖场的总面积为． ∵墙的长度为10米， ∴， ∴． ∴关于的函数关系式为． （2）解：由题意，∵， ∴当时，随的增大而增大． 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为：． 答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 题型2二次函数与两面靠墙问题 例2．如图，用长为的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃．设矩形的一边为，面积为． （1）求关于的函数关系式为 ； （2）写出自变量的取值范围（墙足够长）； （3）当时，求的值． 【答案】（1）解： 设矩形的一边为 ，则矩形的另一边长为 ∴ 故答案为：. （2）解：由题意可得 解得： ∴自变量的取值范围为. （3）解：令 ∴ ∴ 解得： ∴当时，的值为9． 【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1） 设矩形的一边为 ，则矩形的另一边长为，根据矩形的面积公式列出关系式即可. （2）根据题意列出不等式：，解出不等式组的解集即可. （3）令得到：，解出x即可. （1）解：由已知，矩形的另一边长为， 则； 即； （2）解：根据实际意义，得， 解得：． ∴自变量的取值范围为； （3）解：当时，则， 解得：， 即当时，的值为9． 【变式2-1】．如图，九（1）班劳动实践基地位于形围墙的内侧，已知，墙长7米，墙长3米．同学们准备用10米长的围栏，在基地内围出一块矩形菜地（可利用围墙）．请问他们能围出的最大面积是　 　米2． 【答案】 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设矩形的宽为，面积为 ①∵墙长7米，墙长3米， ∴， ∵10米长的围栏， ∴当围成的矩形在以为边围成的矩形的内部时，矩形的最大面积为， ②当矩形的长大于7，宽小于3时，则：矩形的长为， ∴， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴， ③当矩形的长小于7，宽大于3时，则：矩形的长为， ∴， ∴当时，的最大值为； 综上：他们能围出的最大面积是米； 故答案为： ． 【分析】 分两种情况：矩形在以AB、BC为边围成的矩形的内部或外部，设矩形的宽为x，面积为y，建立二次函数，利用二次函数的性质求解即可。 【变式2-2】． 在“校园劳动节”活动中，某劳动小组借助如图所示的直角墙角墙角两边和足够长，用长的篱笆围成一个矩形劳动基地篱笆只围和两边，设，则． （1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形劳动基地的面积为时，求的长； （3）如果在点处有一棵树不考虑粗细，它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形劳动基地内部含边界，试求矩形劳动基地面积的最大值． 【答案】（1）解：由题意，， ． ． ， ． 与的关系式为． （2）解：由题意，令，则， 解得或， 长为或． （3）解：由题意，点在矩形内部， ． 解得． ， 当时，随增大而增大， 时，取最大值为． 答：花园面积最大值为． 【知识点】一元一次不等式组的应用；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）根据题意表示出AB、BC，进而即可得到y与x的二次函数关系式； （2）令y=192，进而即可求解； （3）根据题意列出不等式组，进而即可求出x的取值范围，再根据二次函数的性质即可求解。 【变式2-3】．【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活. 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设. 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）. 【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可. （1）请用含有x的代数式表示的长； （2）花园的面积能否为?若能，求出x的值，若不能，请说明理由； （3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大? 【答案】（1）解：，则； （2）解：，则，， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以花园的面积可等于，此时x的值为12； （3）解：①， （在点P与，的距离分别是和，，） 面积S与x的函数解析式为： ②，抛物线的开口向下，对称轴为 当时，S随x的增大而增大 当时，S取到最大值为：， 即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米. 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）由AB=xm，AB+BC=28，则BC=(28-x)m. （2）根据矩形的面积=AB·BC=192列出方程并解之即可； （3）利用（2）可得S=AB·BC=x（28-x），由点P与，的距离可得出6≤x＜13，再利用二次函数的性质求解即可. 知识点3几何图形面积组合问题 几何图形组合：如菱形内接矩形，利用对称性或坐标法求解面积表达式，再通过求导或配方法求最值 要点诠释： 边界条件：如墙长限制、动点不重合等，需在自变量取值范围内讨论。 函数性质：结合开口方向、对称轴判断最值位置。 题型3二次函数中常见几何图形组合问题 例3．用 12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计） （1）窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大?最大透光面积是多少? （2）若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取 3）. 【答案】（1）设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如图所示： 则 (米) ， 根据题意得： ∴当 时， S最大， 最大值为6，∴窗框的宽为2米时，窗户的透光面积最大，最大透光面积是6平方米； （2）解：设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如上图所示： 则半圆周长为 (米)， 米， ∴当 时，S最大，最大值为 答：该窗户的最大透光面积为 平方米. 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】(1)设窗框的宽为. 则长为 (米)，表示出面积利用二次函数最值求法得出即可； (2)设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，则半圆周长为 (米)， 米，根据窗户的透光面积=半圆的面积+矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值. 【变式3-1】．如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x． （1）求y关于x的表达式及自变量x的取值范围． （2）求y的最小值． 【答案】（1）解：∵四边形是矩形，∴ ∵边长为x， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：∵∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 在范围内．当时，函数有最小值，为 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可表示出BE、AH、AE、DH的长，再利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，可得到y与x的函数关系. （2）将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的增减性，可求出在范围内y的最小值.． （1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵边长为x， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 在范围内．当时，函数有最小值，为 【变式3-2】．如图，线段AB=8cm，C是AB上一点，D，E分别是AC的三等分点，分别以AD，DE，EC，CB为边作正方形，设AD为xcm，四个正方形的面积之和为S． （1）S关于x的函数表达式为　 　，自变量的取值范围是　 　 （2）当AD=　 　时，四个正方形的面积之和最小，最小值是　 　cm2． 【答案】（1）S=12x2-48x+64；0<x< （2）2；16 【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：（1）∵AB＝8cm，C是AB上一点，点D，E分别是AC的三等分点，AD＝x， ∴BC＝8−3x， ∵分别以AD，DE，EC，CB为边作正方形， ∴面积和S＝3x2＋（8−3x）2＝12x2−48x＋64（0＜x＜）， 故答案为：S＝12x2−48x＋64，0＜x＜； （2）S＝12x2−48x＋64＝12（x2−4x＋）＝12（x−2）2＋16． ∴当AD＝2cm时，四个正方形的面积之和的最小值是16cm2． 故答案为：2，16． 【分析】（1）利用正方形的面积公式列出函数关系式，再求出自变量x的取值范围即可； （2）先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再利用二次函数的性质分析求解即可. 【变式3-3】．课本中有一个例题： 图1中窗户边框的上部分是4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m)? 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05m2． 我们如果改变这个窗户边框的形状，上部分改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料的总长度仍为6m，利用图3，解答下列问题． （1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积． （2）与课本中的例题比较，改变窗户边框的形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明． 【答案】（1）解：根据题意可得，AD==m， ∴S=1×=m2. （2）解：设AB=xm，则AD=3-x， ∵3-x>0， ∴0<x<， 设窗户面积为S， 根据题意可得：S=AB·AD=x(3-x)=-x2+3x=-(x-)2+， ∴当x=m时(在0<x<的范围内)，S取得最大值m2． ∵>1.05， ∴窗户透光面积的最大值变大． 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）利用窗户边框的材料的总长度为6m，求出AD的长，再利用长方形的面积公式列出算式求解即可； （2）设AB=xm，则AD=3-x，窗户面积为S，再利用长方形的面积公式可得S=AB·AD=x(3-x)=-x2+3x=-(x-)2+，最后利用二次函数的性质分析求解即可. 知识点4几何图形中动点面积问题 解决二次函数中动点面积问题的关键在于： 灵活转化：将动态问题转化为代数表达式或几何模型。 方法综合：结合铅垂高、等积法、分割补全等多种策略确定函数解析式。 验证合理性：通过几何直观与代数计算双重检验答案 题型4二次函数中动点形成的几何图形面积 例4．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是　 　． 【答案】 【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设运动时间为， 由题意得，，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为， 故答案为：． 【分析】设运动时间为，由题意得，，，根据三角形的面积可得的面积为，结合二次函数的性质即可求出答案. 【变式4-1】．配方 （1）若，则　 　，　 　； （2）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 【答案】（1）-3；-2 （2）解：∵ 动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动． ∴AP=2t，BQ=4t，则BP=12-2t， ∴， ∵-4＜0， ∴抛物线的开口向下， ∴当t=3时△BPQ的面积最大，最大值是36 【知识点】配方法的应用；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：（1）x2-6x+7=x2-6x+9-9+7=（x-3）2-2， ∵ 若， ∴m=-3，n=-2. 故答案为：-3，；-2. 【分析（1）将等式的左边配方可得到，据此可求出m、n的值. （2）利用点P和点Q的运动方向和速度，可表示出AP，BQ，BP的长，利用三角形的面积公式可得到△PBQ的面积与t的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解. 【变式4-2】．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ （3）在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）解：设经过x秒，则，， ∵面积为 ∴ ∴ 解得：或舍 ∴1秒后的面积等于. （2）解：设经过t秒，则，， ∵ ∴ 解得：， ∴0秒或2秒后，的长度等于5cm. （3）解：不能，理由如下： 令： ∴ ∵△= ∴该方程没有实数根 ∴的面积不能等于． 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）设经过x秒，则，，，再根据面积为，列出方程：，解出x，进行取舍即可. （2）同（1）可得：，，，再利用勾股定理列出方程：求解即可. （3）由（2）知：令，化简该方程得到：，再计算该方程的判别式△与0的关系，当△≥0则可以，当△<0不可以． （1）设经过x秒以后，面积为， 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：或舍， ∴1秒后的面积等于 ； （2）设经过t秒后，的长度等于 由， 即， 解得：，， ∴0秒或2秒后，的长度等于5cm； （3）不能，理由如下： 由题意，得： 整理得：， 由于， ∴该方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【变式4-3】．有一根长方形直尺宽为4cm，长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的宽DE与直角三角板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角板重叠部分的面积为Scm2， ​​ （1）当直角顶点C落在直尺的长上时，x=　 　cm； （2）当0＜x＜12时，求S与x之间的函数关系式； （3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在直接写出x的值，若不存在，请说明理由。 【答案】（1）4或8 （2）解：①当0＜x≤4时，S=4x+8； ②当4＜x≤8时，S=-x2+12x-8； ③当8＜x＜12时，S=-4x+56 （3）解：存在，当x=6cm时，阴影部分面积为28cm2。 【知识点】分段函数；二次函数的实际应用-几何问题；三角形-动点问题 【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：DE=4，AB=16，直角三角形的锐角为45°， ①当直角顶点C落在直尺的点E边上时，CE为等腰直角△ABC的高，如图所示： ∴AE=AB=8cm， ∴x=AE-DE=4cm； ②当直角顶点C落在直尺的点D边上时，CD为等腰直角△ABC的高，如图所示： ∴x=AD=AB=8cm， 综上，x的值为4cm或8cm， 故答案为：4或8； （2）设直尺与直角三角形的直角边交于点M、N两点， ①当0<x≤4时，如图所示： 根据题意可得：DN=AD=x，ME=AE=x+4， ∴S=； ②当4<x≤8时，过点C作CG⊥AB于点G，如图所示： ∴DN=AD=x，BEEM=16-x-4=12-x，CG=8，DG=8-x，GE=x+4-8=x-4， ∴S=S梯形NDGC+S梯形CGEM=； ③当8<x<12时，如图所示： ∴DN=BD=16-x，EM=BE=16-x-4=12-x， ∴S=， 综上，； 故答案为：； （3）当x=4时，S=24， ∴当S=28时，x必然大于4，即， 解得：x1=x2=6， ∴当x=6cm时，阴影部分的面积为28cm2， 故答案为： 存在，当x=6cm时，阴影部分面积为28cm2。 【分析】（1）根据等腰三角形的高的性质求解即可； （2）设直尺与直角三角形的直角边交于M、N两点，分情况讨论：①当0＜x≤4时；②当4＜x≤8时； ③当8＜x＜12时，用含有x的式子表示梯形的各条边，再根据梯形的面积公式列出式子化简即可； （3）根据重叠部分面积为28cm2，列出方程求解即可。 题型5 二次函数中面积最优化问题 例5．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大． 初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)． 若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)． 若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小． （2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？ 【答案】（1）解：方案①将二次函数的解析式由一般式化为顶点式可得：， 当时，取得最大值，最大值为； ②如图所示，过点作于，于，则， 设，梯形的面积为，则， 又∵， ∴，，， ； 当， ∵， ； （2）解：由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大． 【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）①然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据将解析式化为顶点式，即可求出最值； ②过点作于，于，可设为那么也为可用正方形的边长求得．通过构建的直角三角形，用表示出和的长，求出的长，根据梯形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出函数的最大值； （）由（）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大． （1）解：方案①， 当时，取得最大值，最大值为； ②如图所示，过点作于，于，则， 设，梯形的面积为，则， 又∵， ∴，，， ； 当， ∵， ； （2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大． 【变式5-1】．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，垂足为点，且，若四边形有最大面积，则求出此时的与的长及这个最大的面积． 【答案】解： 设，则， ， 当时，最大， ，最大面积为． 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】 设，则，从而得出，利用二次函数的性质求解即可. 【变式5-2】．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S△BDE的最大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】等腰直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， 设，则， ， ， 时，最大，最大值是4， 故答案为：B. 【分析】由题意易得三角形DEC是等腰直角三角形，设DE=EC=x，由线段的构成AE=AC-CE可将AE用含x的代数式表示出来，然后根据图形的构成S△BDE=S△ABC-S△ABE-S△CDE可将S△BDE与x之间的关系式表示出来，并配成顶点式，根据二次函数的性质可求解. 【变式5-3】．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． （2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x- )2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC= m时，y最大= m2. 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）根据题意先求出 12×3-1×（12-a）=32 ，再求解即可； （2）根据题意先求出 y=x·(21-3x) ，再根据函数解析式的性质计算求解即可。 题型6二次函数中动点产生的几何图形面积最优化问题 例6．如图，在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，AC=1，AB=2，则何时矩形PMCN的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】解：设PA=x ，矩形PMCN的面积为y 则BP=AB﹣AP=2﹣x， 在直角△ABC中：∵AC=1 AB=2， ∴BC= ， ∵PM⊥BC，PN⊥AC， ∴PM‖AC，PN‖BC， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴PM= ，PN= x， ∴y=PM×PN= × x= （2x﹣x2）， =﹣ （x﹣1）2+ ∴当x=1时，即PA=1，P是AB的中点时矩形PMCN的面积最大，最大面积是 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】设PA=x ，矩形PMCN的面积为y 则BP=AB﹣AP=2﹣x，利用勾股定理求出BC的长，再根据相似三角形的性质可求出PM、PN的值，然后根据矩形的面积公式列出y与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可解答。 【变式6-1】．如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示． （1）m的值为　 　． （2）面积的最大值为　 　． 【答案】； 【知识点】弧长的计算；动点问题的函数图象；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：（1）由图象得：扇形的半径为10， ∴ ， ∴， 故答案为：； （2）设从点B处开始经过时，面积的面积为y， 则： ∴ ∵， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值，为， 故答案为：． 【分析】（1）由图象可得扇形的半径为10，然后弧长公式计算解题； （2）用二次函数表示△OPQ的面积并得到最值解题即可． 【变式6-2】．如图，正方形的边长为4，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且；点，分别是边，上的点，，，设的长度为，四边形的面积为． （1）求关于的函数表达式及自变量的取值范围； （2）四边形的面积有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，并计算此时长度，如果没有，请说明理由． 【答案】（1）解：设的长度为，四边形的面积为． ∴ ∵正方形的边长为4，，， ∴，， ∴ ∴ ​​​​​​​ （2）解：∵， ∴当时，即时，有最小值，最小值为 答：时，四边形的面积有最小值． 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）设的长度为，四边形的面积为，根据ｙ等于正方形的面积减去4个三角形的面积列出函数关系式即可； （2）结合（1）根据二次函数的性质求得最值，即可求解． （1）解：设的长度为，四边形的面积为． ∴ ∵正方形的边长为4，，， ∴，， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴当时，即时，有最小值，最小值为 答：时，四边形的面积有最小值． 【变式6-3】．如图，在矩形中，点E为边AD的中点，点F为边AB上的一个动点，连接FE并延长，交CD的延长线于点G，以FG为底边在FG下方作等腰，且． （1）如图1，若点H恰好落在BC上，连接BE，EH．求证： ①≌；②； （2）如图2，点H落在矩形内，连接CH，若，，当点F在什么位置时，四边形的面积最大，并求它的最大值． 【答案】（1）解：①∵四边形为矩形，∴． ∵E为AD中点，∴． ∵，，， ∴≌． ②证明：过点H作于T． ∵四边形为矩形，∴， ∴四边形为矩形，∴． ∵≌，∴． ∵为等腰直角三角形，∴，． ∵，， ∴，∴≌（AAS）． ∴．∴，∴． （2）解：解：设，过点H作于T，连接EH． 由（1）得：≌（ASA）， ∴，，， ∴， ， ∴当时，四边形的面积的最大，最大值为． 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；四边形的综合 【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质并结合已知可用角边角证明△AEF≌△DEG； ②过点H作HT⊥AD于T，由矩形的性质易证四边形ABHT是矩形；于是HT=AB，由（1）中的全等三角形可得EF=EG，由等腰直角三角形的性质可得HE=EF=EG，HE⊥FG，由同角的余角相等可得∠AEF=∠EHT，结合已知用角角边可证△AEF≌△TEH，所以AE=HT，则结论可求解； （2）设AF=x，过点H作HT⊥AD于T，连接EH；由（1）中的全等三角形可得AF=ET=x，AE=HT，TD=ED-ET=2-x，由图形的构成得S四边形BCHF=S矩形ABCD-S梯形AFHT-S梯形HTDC，于是可得S四边形BCHF=与x之间的函数关系式，配成顶点式并根据二次函数的性质可求解. 例7．用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案 B．方案 C．方案 D．都一样 【答案】C 【知识点】弧长的计算；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设围成的图形的面积为， 方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米， 由题意得：， 当时，有最大值为； 方案二：如图： 设等腰三角形底边长为，高为， ∵为等腰三角形， ∴，， ∴，即，整理得：， ∵， ∴， 令，则， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最大值，最大值为； 方案三：设圆的半径为米，则：， 解得：， ∴， ∵， 故答案为：C． 【分析】先根据题意求出三种方案中菜园的面积，再比较大小即可. 【变式7-1】．如图，在中，，，．点从点出发，沿以每秒4的速度向终点运动．当点不与点重合时，过点作交射线于点，以为一边向上作正方形，设点的运动时间为（秒）． （1）求线段的长．（用含的代数式表示） （2）求点与点重合时的值． （3）当正方形与的重叠部分为四边形时，设其面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （4）作点关于直线的对称点，连结，当与的边垂直或重合时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题 【变式7-2】．已知在中，底边与对应的高的长度之和为30． （1）设边长为x，直接写出的面积S与x的函数关系式 　　，其中x的取值范围是 　　； （2）当　　时，的面积达到最大，最大值是 　　； （3）当底边与高的比值为2：1时（如图），其周长是否有最小值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）， （2）15， （3）解：其周长有最小值， 理由：∵底边与对应的高的长度之和为30，底边与高的比值为， ∴，， 设，则， ∴，， ∵一定， ∴的周长取最小值时，只有最小， ∴， 如图，设，，，， 则求的最小值， 即求图形的距离和最小， 作点M关于直线的对称点，连接交于， 当点P与点P'重合时，的距离和最小， 过作交的延长线于H， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【知识点】二次函数的最值；勾股定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， （2） 解：， ∵， ∴时，S的最大值为， 即当时，的面积达到最大，最大值是． 【分析】（1）根据三角形面积即可求出答案. （2）根据二次函数性质即可求出答案. （3）由题意可得，，设，则，根据勾股定理可得AB，AC，当的周长取最小值时，只有最小，根据边之间的关系可得，设，，，，即求图形的距离和最小，作点M关于直线的对称点，连接交于，过作交的延长线于H，则，再根据勾股定理即可求出答案. （1）解：∵，， ∴， ∴， （2）解：， ∵， ∴时，S的最大值为， 即当时，的面积达到最大，最大值是． （3）解：其周长有最小值， 理由：∵底边与对应的高的长度之和为30，底边与高的比值为， ∴，， 设，则， ∴，， ∵一定， ∴的周长取最小值时，只有最小， ∴， 如图，设，，，， 则求的最小值， 即求图形的距离和最小， 作点M关于直线的对称点，连接交于， 当点P与点P'重合时，的距离和最小， 过作交的延长线于H， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为y，则y与x的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：由题意得平行于墙的边长为， ∴ y与x的函数关系式是， 故答案为：D． 【分析】根据长方形面积等于长乘宽，再结合图形求函数关系式即可。 2．正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【解析】【解答】解：∵正方形的周长为C ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， 故答案为：A． 【分析】求出正方形的边长为，再利用正方形的面积公式解题即可． 3．已知一个直角三角形两直角边长的和为10，设其中一条直角边长为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是（　　） A．y=-x2+5x B．y=-x2+10x C．y=x2+5x D．y=x2+10x 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【解析】【解答】解： 设其中一条直角边长为x ，∵直角三角形两直角边长的和为10 ，∴另外一条直角边为则直角三角形的面积为： 故答案为：A. 【分析】本题主要考查二次函数与几何面积的实际运用，根据题意求出直角三角形的另外一条直角边，再运用三角形的面积公式求解即可. 4．用长为12m的铝合金型材做一个形状如右图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面积为（　　） A．4m2 B．6m2 C．12m2 D．16m2 【答案】B 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设窗框的长为x，面积为y， ∴宽为 即 ∴y有最大值， 即： 故答案为：B. 【分析】设窗框的长为x，面积为y，则表示宽为利用矩形的面积列关系式，根据顶点坐标公式计算最值即可. 5．如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且、AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3， ∴∠AOB＝∠A＝45°， ∵CD⊥OB， ∴CD//AB， ∴∠OCD＝∠A， ∴∠AOD＝∠OCD＝45°， ∴OD＝CD＝t， ∴S△OCD＝×OD×CD＝t2（0≤t≤3），即S＝t2（0≤t≤3）． 故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为0≤t≤3、开口向上的二次函数图象； 故答案为：D． 【分析】先求出∠AOD＝∠OCD＝45°，可得OD＝CD＝t，再利用三角形的面积公式求出S△OCD＝×OD×CD＝t2（0≤t≤3），即S＝t2（0≤t≤3），故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为0≤t≤3、开口向上的二次函数图象. 6．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长。小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2。则：（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式 【解析】【解答】解：设垂直于墙的一边的长为xm，隔离区的面积为ym2， ∴y=x（12-x）=-3（x-2）2+12， ∵12-3x≤5， ∴x≥， ∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下， ∴当x=时，y有最大值为， 故小明错误， 当x=3时，y=9， 故小亮正确. 故答案为：B. 【分析】设垂直于墙的一边的长为xm，隔离区的面积为ym2，根据题意得出y=-3（x-2）2+12，x≥，根据二次函数的性质得出当x=时，y有最大值为，即可判断小明错误，当x=3时，y=9，即可判断小亮正确. 7．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x(0<x<2)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式是（　　） A．y=x2 B．y=4-x2 C．y=x2-4 D．y=4-2x 【答案】B 【知识点】列二次函数关系式 【解析】【解答】解：设剩下部分的面积为y， 根据题意可得：y＝−x2＋4（0＜x＜2）， 故答案为：B． 【分析】利用“剩余部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积”列出函数解析式即可. 8．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式；三角形全等的判定；勾股定理的应用 【解析】【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点， ∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ∴∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90° ∴△ABC≌△ADE（AAS） ∴BC=DE，AC=AE， 设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a， CF=AC-AF=AC-DE=3a， 在Rt△CDF中，由勾股定理得， CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2， 解得：， ∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF =×（a+4a）×4a=10a2=． 故选C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是　 　． 【答案】平方米 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为(4-x)米，矩形的面积为S平方米， 其面积为， ∴当边长为2米时，矩形的最大面积为平方米． 故答案为：平方米． 【分析】此题告知了矩形的周长，设矩形的一边长为x米，则另一边长为(4-x)米，矩形的面积为S平方米，然后根据矩形计算计算公式建立出S关于x的函数关系式，进而利用所得函数关系式的性质可求出答案. 10．某学校准备修建一个面积为y平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列函数为　 　，化为一般形式为　 　． 【答案】； 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：∵某学校准备修建一个面积为y平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米， ∴ 可列函数为：， ∴化为一般形式为：， 故答案为：；. 【分析】根据矩形的面积公式求出函数解析式为，再计算求解即可。 11．如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，养鸡场的面积最大为　 　． 【答案】300 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设养鸡场的长为，则宽为，养鸡场的面积为， 根据题意可得， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值， 即当时，养鸡场的面积最大，最大值为， 故答案为：． 【分析】设养鸡场的长为，则宽为，养鸡场的面积为，利用长方形的面积公式可得，再利用二次函数的性质分析求解即可. 12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm．点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动，若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连结PQ．设运动的时间为ts，线段PQ的长为Lcm． （1）L2与t的函数表达式为　 　，自变量t的取值范围是　 　 （2）当t=　 　时，L取到最小值　 　 【答案】（1）L2=2t2-12t+36；0<t≤2 （2）2； 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；三角形-动点问题 【解析】【解答】解：当运动时间为时，， ． ， ，即， ，且， 随t的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值， 又为正值， ∴当时，L取得最小值，最小值为． 故答案为：L2=2t2-12t+36；0<t≤2；2； 【分析】根据题意得到当运动时间为时，，则，再根据勾股定理即可得到L2=2t2-12t+36，进而求出x的取值范围，再求出二次函数的最值结合题意即可求解。 13．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为　 　m2. 【答案】144 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：设：AB＝x，则BC＝24﹣x， S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x， 此函数的对称轴为：x＝﹣ ＝﹣ ＝12， ∵a＝﹣1，故函数有最大值， 当x＝12时，函数取得最大值， 则：S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x＝﹣144+24×12＝144. 故答案为：144. 【分析】设AB＝x，则BC＝24﹣x，根据矩形的面积等于长乘以宽建立函数关系式，然后根据二次函数的性质可得最大面积. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米. （1）若两个鸡场的面积之和为S，求S关于的关系式； （2）两个鸡场面积之和S有最大值吗？若有，求出这个最大值. 【答案】（1）解：∵的长为米 ∴BC的长度=34+2-3x=36-3x ∴S=（36-3x）x=-+36x （2）解：∵墙的长度为20m ∴BC≤20-2=18m ∴BC=34-2x≤18，解得x≥8； ∴S=-+36x=-3（）= 当x=9时，可得S的最大值=108. 【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）根据矩形的周长公式，可得BC的长度；根据矩形的面积公式，可得关于S的二次函数； （2）根据墙的长度，可得x的取值范围；根据二次函数的最值，将二次函数化为顶点式，即可求得S的最大值. 15．已知，在中，，两直角边，的和为，设． （1）求的面积关于的函数表达式及的取值范围． （2）当时，求的值． 【答案】（1）解：∵两直角边，的和为，设， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴关于的函数表达式是，的取值范围是； （2）解：当时，有， 解得：或， ∴x的值为1或7. 【知识点】列二次函数关系式；三角形的面积 【解析】【分析】（1）由题意得出，然后利用三角形面积公式可得，结合，，即可得出的取值范围； （2）将代入（1）中的函数表达式，解方程求出x的值即可. （1）解：∵两直角边，的和为，设， ∴． 由三角形的面积公式，得，即， ∵，， ∴， ∴关于的函数表达式是，的取值范围是． （2）解：当时，， 解得或． 16．某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，解决问题： （1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 【答案】（1）解：设AB=x米，可得BC=69+3﹣2x=72﹣2x （2）解：小英说法正确； 矩形面积S=x（72﹣2x）=﹣2（x﹣18）2+648， ∵72﹣2x＞0， ∴x＜36， ∴0＜x＜36， ∴当x=18时，S取最大值， 此时x≠72﹣2x， ∴面积最大的不是正方形 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）根据题意表示BC为总长加3去掉AB的长。（2）根据矩形的面积公式进行判断. 17．如图 1 所示风筝的箏面可以抽象成图 2 的箏形 ，风箏的骨架由 3 条竹棒 组成，其中 分别是 和 的中点．现有一根总长为 90 cm 的竹棒可截成三段做风箏的骨架．为合理利用筝面 的材料，作了如下探究： （1）设筝面 的面积为 ，骨架 的长度为 ，求 关于 的函数关系式； （2）在图 3 中画出（1）中 关于 的函数图象； （3）利用图象分析，当骨架 长度大于 长度且筝面的面积超过 时，骨架 的长度范围． 【答案】（1）解：， ∴AC是BD的垂直平分线， ∵E， F分别是CB和CD的中点， 设筝面ABCD的面积为 骨 架BD的长度为x(cm)， ； （2）解： ∴.当 时， s取最大值675； 当 时， 得： 解得： ∴函数的图象，如图即为所求； （3）解：当 时， 解得 或48， 由 得， 解得 ∴当 时，箏面的面积不超过 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】(1)根据题意可知AC是BD的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式； (2)根据 (1)中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可； (3)根据筝面的面积为 即 求出x的值，结合骨架AC长度必须骨架AC长度大于BD长度且筝面的面积超过 确定x的值可得. 18．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为. （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． （2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．求总占地面积最大为多少? 【答案】（1）解：由题意得：， ， ， 故：，； （2）解：由题意得：， 故：当时，由最大值192平方米 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】本题考查二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）利用据此的面积计算公式可得：，根据题意可得，解不等式可求出自变量x的取值范围； （2）利用据此的面积计算公式可得：，利用二次函数的性质可求出最值，据此可求出答案. （1）解：由题意得：， ， ， 故：，； （2）解：由题意得：， 故：当时，由最大值192平方米； 19．某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形开心农场．某数学兴趣小组设计了三种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的矩形水池，且需保证总种植面积为，试确定的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ （3）方案三：如图③，在图中所示三处位置各留宽的门，且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【答案】（1）解：， Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为， 设水池的长为，则水池的面积为， ，解得， ， 即的长为； （2）解：设长为，则长度为， 总种植面积为， 当时，总种植面积有最大值为， 即应设计为总种植面积最大，此时最大面积为； （3）解：设长为，则长度为， 总种植面积为， 当时，种植面积随的增大而减小 当时，总种植面积有最大值为， 即应设计为总种植面积最大，此时最大面积为． 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）已知全部利用围墙的长度，即AB=CD=25.2m，所以AD=HG=BC=(48-25.2)÷3=7.6m，可求得两区的总面积为7.6×25.2=191.52cm2. 需保证总种植面积为 ，设水池的长为am，则水池面积为2am2，所以191.52-2a=185.52，a=3，即EF=DG=3m，CG=CD-DG=22.2m； （2）此小题可用二次函数来求最值；设BC=xm，则CD=(48-3x)m，总面积可表示为x(48-3x)=-3(x-8)2+192，函数图象开口向下，且0＜48-3x≤25.2，所以，当x=8时，总种植面积有最大值为； （3）此小题也需利用二次函数来求最值；设BC=xm，则CD=(51-3x)m，总面积可表示为x(51-3x)=-3(x-)2+216.75，函数图象开口向下，且0＜51-3x≤25.2，所以，当x=8.5时，总种植面积有最大值为216.72m2. 20．湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题. 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的． 素材二 一般采用的是长方体包装盒． （1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率； （2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长． 【答案】（1）解：设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为， 根据题意得： 解得：，（不符合题意舍去） 纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为 答：纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为. （2）解：设裁掉正方形的边长为， 根据题意得：， ∴当时，有最大值 ∴被裁掉的正方形边长为厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大． 故答案为：有，被裁掉的正方形边长为20厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大. 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为，根据“ 2022年达到了72千克 ”列出方程，再求解即可； （2）设裁掉正方形的边长为，再利用长方形的面积公式求出，最后利用二次函数的性质分析求解即可. B抓核心 二大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 A夯基础 四大题型提分练 达标检测 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22..3实际问题与二次函数—面积问题（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 二次函数实际问题解题步骤 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 知识点2图形面积最值问题  实际问题与二次函数的图形问题主要涉及二次函数在实际场景中的应用，包括面积最值、几何图形变换等。 面积最值问题 矩形/围栏问题：如篱笆围矩形养鸡场（墙长限制），设一边长为x，面积y = x（总长-2x），通过顶点公式求最大值。 题型1二次函数与一面靠墙问题 例1．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是　 　平方米． 【变式1-1】．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【变式1-2】．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 【变式1-3】．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为． （1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 题型2二次函数与两面靠墙问题 例2．如图，用长为的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃．设矩形的一边为，面积为． （1）求关于的函数关系式为 ； （2）写出自变量的取值范围（墙足够长）； （3）当时，求的值． 【变式2-1】．如图，九（1）班劳动实践基地位于形围墙的内侧，已知，墙长7米，墙长3米．同学们准备用10米长的围栏，在基地内围出一块矩形菜地（可利用围墙）．请问他们能围出的最大面积是　 　米2． 【变式2-2】． 在“校园劳动节”活动中，某劳动小组借助如图所示的直角墙角墙角两边和足够长，用长的篱笆围成一个矩形劳动基地篱笆只围和两边，设，则． （1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形劳动基地的面积为时，求的长； （3）如果在点处有一棵树不考虑粗细，它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形劳动基地内部含边界，试求矩形劳动基地面积的最大值． 【变式2-3】．【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活. 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设. 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）. 【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可. （1）请用含有x的代数式表示的长； （2）花园的面积能否为?若能，求出x的值，若不能，请说明理由； （3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大? 知识点3几何图形面积组合问题 几何图形组合：如菱形内接矩形，利用对称性或坐标法求解面积表达式，再通过求导或配方法求最值 要点诠释： 边界条件：如墙长限制、动点不重合等，需在自变量取值范围内讨论。 函数性质：结合开口方向、对称轴判断最值位置。 题型3二次函数中常见几何图形组合问题 例3．用 12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计） （1）窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大?最大透光面积是多少? （2）若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取 3）. 【变式3-1】．如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x． （1）求y关于x的表达式及自变量x的取值范围． （2）求y的最小值． 【变式3-2】．如图，线段AB=8cm，C是AB上一点，D，E分别是AC的三等分点，分别以AD，DE，EC，CB为边作正方形，设AD为xcm，四个正方形的面积之和为S． （1）S关于x的函数表达式为　 　，自变量的取值范围是　 　 （2）当AD=　 　时，四个正方形的面积之和最小，最小值是　 　cm2． 【变式3-3】．课本中有一个例题： 图1中窗户边框的上部分是4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m)? 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05m2． 我们如果改变这个窗户边框的形状，上部分改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料的总长度仍为6m，利用图3，解答下列问题． （1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积． （2）与课本中的例题比较，改变窗户边框的形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明． 知识点4几何图形中动点面积问题 解决二次函数中动点面积问题的关键在于： 灵活转化：将动态问题转化为代数表达式或几何模型。 方法综合：结合铅垂高、等积法、分割补全等多种策略确定函数解析式。 验证合理性：通过几何直观与代数计算双重检验答案 题型4二次函数中动点形成的几何图形面积 例4．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是　 　． 【变式4-1】．配方 （1）若，则　 　，　 　； （2）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 【变式4-2】．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ （3）在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【变式4-3】．有一根长方形直尺宽为4cm，长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的宽DE与直角三角板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角板重叠部分的面积为Scm2， ​​ （1）当直角顶点C落在直尺的长上时，x=　 　cm； （2）当0＜x＜12时，求S与x之间的函数关系式； （3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在直接写出x的值，若不存在，请说明理由。 题型5 二次函数中面积最优化问题 例5．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大． 初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)． 若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)． 若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小． （2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？ 【变式5-2】．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S△BDE的最大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 题型6二次函数中动点产生的几何图形面积最优化问题 例6．如图，在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，AC=1，AB=2，则何时矩形PMCN的面积最大？最大面积是多少？ 【变式6-1】．如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示． （1）m的值为　 　． （2）面积的最大值为　 　． 【变式6-2】．如图，正方形的边长为4，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且；点，分别是边，上的点，，，设的长度为，四边形的面积为． （1）求关于的函数表达式及自变量的取值范围； （2）四边形的面积有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，并计算此时长度，如果没有，请说明理由． 【变式6-3】．如图，在矩形中，点E为边AD的中点，点F为边AB上的一个动点，连接FE并延长，交CD的延长线于点G，以FG为底边在FG下方作等腰，且． （1）如图1，若点H恰好落在BC上，连接BE，EH．求证： ①≌；②； （2）如图2，点H落在矩形内，连接CH，若，，当点F在什么位置时，四边形的面积最大，并求它的最大值． 例7．用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案 B．方案 C．方案 D．都一样 【变式7-1】．如图，在中，，，．点从点出发，沿以每秒4的速度向终点运动．当点不与点重合时，过点作交射线于点，以为一边向上作正方形，设点的运动时间为（秒）． （1）求线段的长．（用含的代数式表示） （2）求点与点重合时的值． （3）当正方形与的重叠部分为四边形时，设其面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （4）作点关于直线的对称点，连结，当与的边垂直或重合时，请直接写出的值． 【变式7-2】．已知在中，底边与对应的高的长度之和为30． （1）设边长为x，直接写出的面积S与x的函数关系式 　　，其中x的取值范围是 　　； （2）当　　时，的面积达到最大，最大值是 　　； （3）当底边与高的比值为2：1时（如图），其周长是否有最小值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为y，则y与x的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 2．正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 3．已知一个直角三角形两直角边长的和为10，设其中一条直角边长为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是（　　） A．y=-x2+5x B．y=-x2+10x C．y=x2+5x D．y=x2+10x 4．用长为12m的铝合金型材做一个形状如右图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面积为（　　） A．4m2 B．6m2 C．12m2 D．16m2 5．如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且、AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　） A． B． C． D． 6．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长。小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2。则：（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 7．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x(0<x<2)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式是（　　） A．y=x2 B．y=4-x2 C．y=x2-4 D．y=4-2x 8．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(　　) A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是　 　． 10．某学校准备修建一个面积为y平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列函数为　 　，化为一般形式为　 　． 。 11．如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，养鸡场的面积最大为　 　． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm．点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动，若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连结PQ．设运动的时间为ts，线段PQ的长为Lcm． （1）L2与t的函数表达式为　 　，自变量t的取值范围是　 　 （2）当t=　 　时，L取到最小值　 　 13．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为　 　m2. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米. （1）若两个鸡场的面积之和为S，求S关于的关系式； （2）两个鸡场面积之和S有最大值吗？若有，求出这个最大值. 15．已知，在中，，两直角边，的和为，设． （1）求的面积关于的函数表达式及的取值范围． （2）当时，求的值． 16．某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，解决问题： （1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 17．如图 1 所示风筝的箏面可以抽象成图 2 的箏形 ，风箏的骨架由 3 条竹棒 组成，其中 分别是 和 的中点．现有一根总长为 90 cm 的竹棒可截成三段做风箏的骨架．为合理利用筝面 的材料，作了如下探究： （1）设筝面 的面积为 ，骨架 的长度为 ，求 关于 的函数关系式； （2）在图 3 中画出（1）中 关于 的函数图象； （3）利用图象分析，当骨架 长度大于 长度且筝面的面积超过 时，骨架 的长度范围． 18．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为. （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． （2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．求总占地面积最大为多少? 19．某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形开心农场．某数学兴趣小组设计了三种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的矩形水池，且需保证总种植面积为，试确定的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ （3）方案三：如图③，在图中所示三处位置各留宽的门，且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 20．湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题. 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的． 素材二 一般采用的是长方体包装盒． （1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率； （2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长． B抓核心 二大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $