22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元教学分层优化练2025－2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质，从配方法转化顶点式出发，系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标等核心概念，通过题型1至题型8层层递进，构建“一般式→顶点式→图象特征→实际应用”的学习支架，帮助学生建立数形结合的思维路径。 本资料突出数学眼光与数学思维的融合，以真实情境问题驱动探究，如实心球飞行轨迹、宾馆房价优化等，强化几何直观与模型意识，培养学生用数学语言表达现实的能力。习题设计分层清晰，基础练夯实概念，提升练发展推理，拓展练激发创新，尤其在变式训练中体现“左同右异”“上正下负”等口诀记忆法，有效提升学生运算能力与逻辑推理素养，助力课堂高效落实核心素养目标。

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的关系 1.利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即 y =ax2+bx+c =a =a 顶点是 对称轴是直线 2. 要点诠释： 两种形式本质相同，只是表达方式不同。通过配方实现互化，可灵活运用顶点式分析图象特征，或通过一般式处理实际问题。 题型1把二次函数y＝ax2＋bx＋c化为顶点式 例1．请将二次函数化为形式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 【答案】解： ， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】首先把一般式用配方法转化成顶点式，即可得出 它的对称轴和顶点坐标． 【变式1-1】．抛物线 的顶点坐标是　 　. 【答案】（1，2） 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】∵y=x2-2x+3=x2-2x+1-1+3=（x-1）2+2， ∴抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是（1，2）. 【分析】由题意将抛物线的解析式配成顶点式即可求解。 【变式1-2】．用配方法把二次函数写成的形式为　 　． 【答案】 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：， 故答案为：． 【分析】 ． 【变式1-3】．用配方法将二次函数化为的形式为　 　． 【答案】 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解： ， 故答案为：． 【分析】运用配方法直接化简运算即可． 题型2二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 例2．请画出函数的图象，并写出函数顶点坐标，对称轴，以及函数增减性． 【答案】解：， 列表如下： 描点、连线画图如下： 顶点坐标为，对称轴为， 当时，随着的增大而增大； 当时，随着的增大而减小． 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；作图-二次函数图象 【解析】【分析】将函数解析式配方后，从对称轴向两边取值，描点、连线作出图象，从而得到函数顶点坐标，对称轴，以及函数增减性． 【变式2-1】．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）解：根据题意得：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：. 把点代入，得， ∴抛物线解析式为：，即. （2）解：二次函数的图象如图所示： （3） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；作图-二次函数图象 【解析】【解答】解：（3）解：， 当时，有最小值， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是． 【分析】(1)利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可. (2)利用描点法画二次函数图象； (3)根据、0时的函数值即可写出y的取值范围． （1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 把点代入，， 得， 故抛物线解析式为，即； （2）解：如图所示： （3）解：， 当时，有最小值， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是． 【变式2-2】．已知二次函数 ． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图象； （3）结合函数图象：直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）解：， 该二次函数的顶点坐标为. （2）解：列表如下， x ．．． -1 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 -3 -4 -3 0 ．．． 的图象如图， （3）​​​​​​ 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；作图-二次函数图象 【解析】【解答】（3）解：根据图象可知，当时，y取得最大值，y的最大值为0， 当时，y取得最小值，y的最小值为-4， 当时，y的范围为． 【分析】（1）先利用配方法的计算方法及步骤将二次函数的一般式化为顶点式，再根据二次函数的顶点式直接求出其顶点坐标即可； （2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可； （3）结合函数图象直接求出y的取值范围即可. （1）， 该二次函数的顶点坐标为； （2）列表如下， x ．．． -1 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 -3 -4 -3 0 ．．． 的图象如图， （3）由图象可知，当时，y取得最大值，y的最大值为0， 当时，y取得最小值，y的最小值为-4， 当时，y的范围为． 【变式2-3】．已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象； x … 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 … （2）根据图象回答下列问题： ①当时，x的取值范围是 　 　； ②当时，y的取值范围是 　 　． 【答案】（1）解：列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 描点、连线： （2）解：①当时，x的取值范围是或； ②当时，y的取值范围是； 故答案为：或；． 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；作图-二次函数图象 【解析】【分析】（1）先任取五组数据进行列表，然后在平面直角坐标系中进行描点，最后用平滑的曲线把各点连接起来即可； （2）①由函数图象可知，当y<0时，观察在x轴下方的函数图象，即可得x的取值范围； ②当-3<x<0时，观察横坐标-3到0之间的图像，即可得y的取值范围. （1）解：列表： x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 描点、连线： （2）解：观察图象，①当时，x的取值范围是或； ②当时，y的取值范围是； 故答案为：或；． 题型3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点、开口方向 例3．拋物线 的开口向下，则 的值可以取　 　．（写出一个即可） 【答案】-1 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【解答】解：∵抛物线 的开口向下， ∴a的值可以为 . 故答案为： 【分析】二次函数的开口方向由二次项系数a决定， 当时， 开口向上， 当 时，开口向下. 【变式3-1】． 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线， ∴观察图象，可得，选项C符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据题意先求出a＜0，b＜0，再求出 二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线，最后对每个选项逐一判断即可。 【变式3-2】．关于二次函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴在 轴的右侧 B．图象与 轴的交点坐标为 C．图象与 轴的交点坐标为 和 D． 的最小值为－9 【答案】D 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】∵ ∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，A不符合题意； 令x=0，则y=-8，所以图象与 轴的交点坐标为 ，B不符合题意； 令y=0，则 ，解得x1=2，x2=-4，图象与 轴的交点坐标为 和 ，C不符合题意； ∵ ，a=1＞0，所以函数有最小值-9，D符合题意． 故答案为：D． 【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【变式3-3】．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：， 抛物线的顶点坐标为， 故答案为：A． 【分析】将解析式转换为顶点式即可得顶点坐标. 知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 a的符号 a>0 a<0 图象     开口方向 向上 向下 对称轴   顶点坐标   增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小 最值 当时 y最小值= 当时 y最大值= 2.要点诠释: (1) a决定抛物线的开口方向，简记为“上正下负” (2) C决定抛物线与y轴交点位置，简记为“上正下负原点0” (3) a、b符号共同决定对称轴的位置，简记为“左同右异，y轴b的值为0” 题型4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性 例4．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：， 可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵，，是抛物线上的三点， 且， ∴， 故答案为：D． 【分析】由题意，先将抛物线的解析式配成顶点式，根据解析式可知：a=-1＜0，可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，然后根据三个点到对称轴的距离即可判断求解． 【变式4-1】．已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标； （2）求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大． 【答案】（1）解：令， 解得：， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标为； ​​​​​​​ （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【分析】（1）令，进行求解即可； （2）利用对称轴公式求出对称轴，利用增减性进行判断即可． （1）解：令， 解得：， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标为； （2）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 【变式4-2】．已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是　 　． 【答案】 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵二次函数（m为常数）的图象与轴有交点， ∴． 解得：； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大， ∴， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 【分析】由题可得判别式，再根据增减性得到，解出m的取值范围即可． 【变式4-3】．二次函数中，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 8 5 4 5 8 … 下列结论：①函数y有最大值；②函数图象的开口方向向上；③该函数图象的对称轴是直线；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：由数据可得：当和3时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线， ∴顶点坐标为， ∵数据从到0对应的y值不断减小， ∴抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减少，函数有最小值， 故说法②③正确，①④错误． 故答案为：D． 【分析】先得到函数的对称轴为是直线，即可得到抛物线开口向上，然后根据增减性解题即可． 题型5二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式 例5．已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1）解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； （2）二次函数解析式为， 则顶点坐标为 ​​​​​​​ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式的一般式转化成化为顶点式，即可得出顶点坐标． （1）解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； （2）二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【变式5-1】．二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求这个二次函数的解析式． （2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标． （3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为. （2）解：∵ 图象上的点称为函数的不动点， ∴， 解得：，， ∴这个函数不动点的坐标为和. （3）解：∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线，， ∴当时，y有最小值， 当时，y有最大值5， ∴的最大值与最小值的差为． 【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）先根据点（4，-1）及对称轴，得到关于b，c的方程组求解，再代回解析式，求得函数表达式； （2）将点代入解析式中，得到关于x的方程求解，求出不动点的坐标； （3）先将解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可． （1）解：由题意，，解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：将代入中，得， 即， 解得，， ∴这个函数不动点的坐标为和； （3）解：由（2）知，， ∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， 当时，y有最大值5， ∴的最大值与最小值的差为． 【变式5-2】．抛物线 经过点 ，则 的值为　 　． 【答案】-4 【知识点】利用一般式求二次函数解析式 【解析】【解答】将点(1，0)， (3，0)代入 得： ， 解得 故答案为： . 【分析】根据二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键. 【变式5-3】．已知抛物线y＝﹣x2+ax+b经过点A（1，0），B（0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式； （2）求此抛物线的顶点坐标． 【答案】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+ax+b经过点A（1，0），B（0，﹣4）． A，B两点代入解析式得：，解得， 因而抛物线的解析式是：y＝﹣x2+5x﹣4． （2）∵y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的顶点坐标为（，）． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】（1）根据待定系数法把A，B两点代入计算即可； （2）把函数解析式转化为顶点式计算即可； 题型6二次函数y＝ax2＋bx＋c的平移 例6．将抛物线y＝-2x2+4x-6先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标为　 　. 【答案】（2，-1） 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】解：∵抛物线， ∴将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线， ∴抛物线顶点坐标是． 故答案为：． 【分析】先将抛物线转化为顶点式，，再根据函数图象的平移规则，“上加下减，左加右减”，可以得到，即可求解. 【变式6-1】．若抛物线平移后经过原点，则抛物线经过了（　　） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】解：依题意，得， A、向上平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故不经过原点，A不符合题意； B、向下平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故经过原点，B符合题意； C、向左平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故不经过原点，C不符合题意； D、向右平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故不经过原点，D不符合题意； 故答案为：B 【分析】先把化为顶点式，二次函数的平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，得各选项平移后的解析式，再把代入进行计算，算出时，则平移后经过原点，即可作答． 【变式6-2】．二次函数 的图象可以由二次函数 的图象平移而得到，下列平移正确的是（　　） A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】C 【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ 的图形是由 的图形，向左平移2个单位，然后向上平移1个单位得到的. 故答案为：C. 【分析】二次函数平移都是通过顶点式体现，将 转化为顶点式，与原式 对比，利用口诀“自变量左加右减，函数值上加下减”，即可得到答案 【变式6-3】．请将二次函数化为的形式，并给出一种平移方式，使平移后的图象过原点. 【答案】解： ， 该抛物线顶点坐标是： ∴向左平移2个单位，向下平移2个单位，图象过原点. 【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】将一般式y=x2+bx+c通过配方法化为顶点式y=a(x-m)2+k，其顶点为（m，k）；本题y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2，顶点为（2，2），将其平移后使得平移后的图象经过顶点，有无数种方法，只需要在函数图象上任取一点通过平移到原点即可，本题答案是将顶点平移到原点即向左平移2个单位，向下平移2个单位，图象过原点，便于观察和操作. 题型7二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值 例7．求下列函数的最大值或最小值． （1）y=2x2+3． （2）y=x2-2x+1． （3）y=-2x2+4x+1(2≤x≤4)． 【答案】（1）解：∵二次函数y=2x2+3中的a=2>0， ∴该函数图象有最小值3． （2）解：∵y= x2-2x+ 1= (x2-8x+16)-4+1= (x-4)2-3，二次项系数>0， ∴当x=4时，y取最小值-3． （3）解：∵y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3， ∴对称轴为直线x=1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当x=2时，y=1；当x=4时，y=-15． ∴当2≤x≤4时，y=-2x2+4x+1的最大值为1，最小值为-15． 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【分析】利用二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可. 【变式7-1】．二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：二次函数 的大致图象如解图， ∵ ，且 ， ∴ ， ， ①当 时，当 时，y取最小值，即 ， 解得 (舍去)或 ； 当 时，y取最大值，即 ， 解得 (舍去)或 (舍去)； ②当 时，当 时y取最小值，即 ， 解得 (舍去)或 ； 当 时，y取最大值，即 ， 解得 ， ∴ ． 故答案为：D． 【分析】由 ，且 ，可得 ， ，分两种情况①当 时，得出当 时，y取最小值，当 时，y取最大值；②当 时，得出当 时y取最小值当 时，y取最大值，据此分别解答即可. 【变式7-2】．已知二次函数，当时，的最大值与最小值之和为　 　． 【答案】4 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：二次函数，则该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是， 所以当时，y的最大值是4， 因为， 所以当时，， 所以y的最大值与最小值之和为：． 故答案为：4． 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案. 【变式7-3】．已知二次函数，当-1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值． 当时，则. 当时，则 所以函数的最小值为2，最大值为4 彤彤的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答. 【答案】解：不正确 ∵y=2x2-x+1=2（x-）2+ ∵a=2＞0 ∴抛物线的开口向下， ∴当x=时y最小值= 当 ∵-1≤x≤1， ∴函数的最小值为，最大值为4 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出二次函数的最小值；再分别求出大当x=1和x=-1时的函数值，利用x的取值范围，可求出此时函数的最大值和最小值. 题型8二次函数y＝ax2＋bx＋c的实际问题 例8．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，小宇此次实心球训练的成绩为多少米． 【答案】解：对于， 令，由 得，（舍去）， ∴小宇此次实心球训练的成绩为10米。 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【分析】令y=0，求出x的值，然后再对x的值进行取舍，即可求解。 【变式8-1】．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是　 　． 【答案】6 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：∵， ∴当时，， 解得：或（舍去）； ∴该运动员此次掷铅球的成绩是； 故答案为：6． 【分析】本题可以先将抛物线方程转变为一元二次方程，求出x的两个值之后，从图上可以发现，x的值只能是正数，此时即可得出答案。 【变式8-2】．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为　 　秒． 【答案】50 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：对于二次函数， 令，可得， 解得，（舍去）， 所以，当炮弹落到地面时，经过的时间为50秒． 故答案为：50． 【分析】本题考查二次函数的应用．对于二次函数，根据 炮弹落到地面，可令，据此可得方程，解方程可求出的值，进而可求出答案． 【变式8-3】．某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到　 　元时，客房的日营业收入最大。 【答案】150 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个10元， 将有6x间客房空出，客房租金总收入为y， 由题意可得： y=(100+10x)(120-6x)(10≤x≤ 50且x是整数)， =60(-x2+10x+200) =-60(x-5)2+13500 当x=5时，ymax=13500， 因此每间租金100+10×5=150元时，客房租金总收入最高，日租金13500元. 故答案为：150. 【分析】设标准房价格为x元，客房的日营业收入为y元，根据题意列出函数关系式，然后根据二次函数的性质即可求解. 问题9二次函数y＝ax2＋bx＋c的综合问题 例9．已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，对称轴是直线 。 （1）求此二次函数的表达式。 （2）求二次函数 的最大值。 （3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围。 【答案】（1）解： 对称轴是直线 ． 的图象经过点 ． ​​​​​​​ （2）解： ， 其最大值为 （3）解： 的对称轴是直线 ． 当 时，二次函数取得最大值 ． 当 时，二次函数值为 2 ． 而 当 时，恰好符合． 根据二次函数的对称性可得， 当 时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 时对应的函数值，亦符合． 故 【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式 【解析】【分析】(1)利用点A(3，2)和对称轴求出函数表达式； (2)利用公式求出函数最大值； (3)利用图象分析即可. 【变式9-1】．已知二次函数（为常数）， （1）若，求该二次函数图象的对称轴； （2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值； （3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 【答案】（1）解：∵， ∴（为常数）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． ​​​​​​​ （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴是． 当时，函数有最小值．即， 解得：（舍去）或； 当时，函数有最小值．即， 解得：（舍去）或 综上，或． （3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大， 当时，恒成立，即时，m的最大值为． ∴，得（舍去）或3． ∴，得或． ∴m的最大值为． 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数图象的平移变换 【解析】【分析】（1）先得到解析式，然后根据对称轴公式解题； （2）先配方得到顶点式，求出对称轴为．再分为和两种情况，根据二次函数的最值列方程解题； （3）令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．然后借助图象解答即可． （1）解：∵， ∴（为常数）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴是． 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或； 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或 综上，或． （3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大， 当时，恒成立，即时，m的最大值为． ∴，得（舍去）或3． ∴，得或． ∴m的最大值为． 【变式9-2】．已知二次函数． （1）若该函数的图象经过点，． ①求该函数的表达式及顶点坐标． ②当时，该函数的最大值与最小值的差为3，求m的值． （2）若点，都在该函数图象上，且，求n的取值范围． 【答案】（1）解：①将，代入，得， 解得：， ∴函数的表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； ②由①可得，函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为， 当时，有， 当时，有， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差为3， ∴当时，函数在上随着的增大而减小，此时最大值为，最小值为， ∴， 解得：或（舍去）； 当时，函数在的最大值为，最小值为，，不符合题意； 当时，函数在的最大值为，最小值为，，不符合题意； 当时，函数在的最大值为，最小值为， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述，的值为0； （2）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时，点关于直线对称的点为， ∵点，都在该函数图象上，且， ∴， 解得：， 当时，点关于直线对称的点为， ∵点，都在该函数图象上，且， ∴或， 解得：或； 综上所述，当时，；当时，或． 【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用 【解析】【分析】（1）①先利用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式即可； ②由①可得，函数的对称轴为直线，开口向上，再结合二次函数的最值知识分4种情况讨论，求出符合条件的的值即可； （2）先求出二次函数的对称轴，然后分两种情况：当时或当时，利用二次函数对称性得到与点关于对称轴对称的点的坐标，然后结合，得到关于的不等式组并解之即可求解. （1）解：①∵该函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴函数的表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； ②由①可得，函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为，当时，，当时，， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差为3， ∴当时，函数在上随着的增大而减小，此时最大值为，最小值为，即，解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，函数在的最大值为，最小值为，，不符合题意； 当时，函数在的最大值为，最小值为，，不符合题意； 当时，函数在的最大值为，最小值为，即，解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为； （2）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时，点关于直线对称的点为， ∵点，都在该函数图象上，且， ∴， 解得：， 当时，点关于直线对称的点为， ∵点，都在该函数图象上，且， ∴或， 解得：或； 综上所述，当时，；当时，或． 【变式9-3】．如图， 已知点 在二次函数 的图象上， 且 . （1） 若二次函数的图象经过点 . ①求这个二次函数的表达式. ②若 ， 求顶点到 的距离. （2） 当 时，二次函数的最大值与最小值的差为 1 ，点 在对称轴的异侧，求 的取值范围。 【答案】（1）解：①∵二次函数y=a(x-2)2-1(a >0)经过(3，1)， ∴1=a-1； ∴a=2， ∴二次函数的解析式为y=2(x-2)2-1； ②∵y1=y2， ∴M，N关于抛物线的对称轴对称， ∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3， ∴， 当时， ∴当y1=y2时，顶点到MN的距离 （2）解：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2， ∴x1+3>2， ∴x1>-1， ∵x2-x1=3， ∴ ∴ ∵函数的最大值为y=a(x1-2)2-1，最小值为-1， ∴y1-(-1)=1， ∴ ∴， ∴ 若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1≤2， ∵ ∴ ∵函数的最大值为y2=a(x2-2)2-1，最小值为-1， ∴y2-(-1)=1， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式 【解析】【分析】(1)①把点(3，1)代入二次函数的解析式求出a即可； (2)判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论； (2)分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1≤2，分别求解即可. 例10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数，图象经过、两点． （1）求二次函数的解析式及它的对称轴； （2）设点是抛物线上的一个动点，横坐标为， ①当，则点的纵坐标的取值范围是_▲_； ②过点做轴，交直线于，当线段时，请求出m的值． 【答案】（1）解：由题意得：， 解得： ， 则抛物线的表达式为：； 其对称轴为直线； （2）解：①∵， ∴当时有最大值，即； 又∵离对称轴最远， ∴当时，， ∴当，则点的纵坐标的取值范围是， 故答案为：； ②设直线的解析式为，把、代入得： ，解得， ∴， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 当时方程无解； 当时， 解得，． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式 【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入二次函数解析式可得抛物线的表达式为：，再根据二次函数性质求出对称轴即可. （2）①根据二次函数性质即可求出答案. ②设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得，设点的坐标为，则点的坐标为，根据两点间距离公式建立方程，解方程即可求出答案. 【变式10-1】．如图，将抛物线P1：y=x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y=x2﹣5x+n，两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B． （1）求抛物线P1的对称轴和点A的横坐标． （2）求线段AB和CD的长度． 【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 轴， 又A、E两点关于对称轴对称，E点横坐标为1， 点A的横坐标为； 故抛物线P1的对称轴为直线和点A的横坐标为． （2）解：抛物线的对称轴为直线， 轴， 点B与点E关于对称轴对称， 点B的横坐标为4， ； 点E是抛物线与抛物线的交点， ， ， ， 令， 则， ； 故线段AB和CD的长度均为7． 【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，根据A、E两点关于对称轴对称可得点A的横坐标； （2）由抛物线P2的解析式可得对称轴，结合B、E关于对称轴对称可得点B的横坐标为4，则AB=7，由E是两抛物线的交点可得n-m=7，令x=0，求出y，表示出C、D的坐标，进而可得CD的值. 【变式10-2】．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点．点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线下方的抛物线上运动时，求线段长度的最大值； （3）若点是平面内任意一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：对于， 令，得， ∴． 将，代入， 得 解得 故抛物线的解析式为． （2）解：易得，， ∴ ∵点在直线下方的抛物线上， ∴． ∵ ∴当时，线段的长度有最大值，为． （3）解：存在，的值为，，或． 【知识点】二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题 【解析】【解答】解：（3）存在，的值为，，或． 解法提示：当以，，，为顶点的四边形为菱形时，必为等腰三角形． 由，，， 得，， ． 分以下三种情况讨论． ①当时，， 即， 解得（不合题意，舍去），． ②当时，， 即， 解得，． ③当时，， 即， 解． 综上可知，的值为，，或． 【分析】(1)由直线解析式得b和c的值，即可得抛物线的解析式； (2)设点，求出点D的坐标，得PD的长度表达式，即可求出其最大值； (3)当四边形为菱形时，△BCP为等腰三角形，分类讨论当BC=PB，BC=PC和PB=PC时的m的值即可. 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．对于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．图象过原点 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．有最小值1 【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵当x=0时，y=0+1=1≠0，故A不正确； ∵，∴对称轴是直线，顶点是(0，1)，故B正确，C错误； ∵-2＜0，∴抛物线开口向下，有最大值1，故D错误． 故答案为：B． 【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案. 2．关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是 （　　） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数的图象向左平移1个单位长度得到 D．在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】解：、由二次函数得，对称轴为直线；故本项错误； 、由二次函数得，顶点坐标为；故本项错误； 、由二次函数的图象可由二次函数的图象向上平移1个单位得到；故本项错误； 、由二次函数得，其开口向下，顶点为，则在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小；故本项正确； 故选：D 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系逐项进行判断即可求出答案. 3．已知抛物线经过三点，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线为，∴对称轴是直线． 若，则， ∴抛物线开口向上． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵经过三点， 又， ∴，故A错误，C正确． 若，则， ∴抛物线开口向下． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∵经过三点， 又， ∴，故B、D错误． 故答案为：C． 【分析】首先可求得抛物线的对称轴为x=2，进而根据a＞0和a＜0两种情况分别进行讨论，根据二次函数的增减性即可得出答案。 4．若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A．-8 B．-6 C．-3 D．0 【答案】B 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式 【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点 和 ∴函数为 ∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为 ∴函数的最大值与最小值之和是： 故答案为：B. 【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解. 5．如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点为B．有下列结论：①；②；③若，则；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，故①符合题意； 二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为， 由图可知抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故②符合题意； ∵抛物线与x轴交于点， ∴， ∴， 由①知，即， ∴． ∵， ∴， ∴，故③符合题意； 由图可知，二次函数的图象开口向下，有最大值，最大值为n， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故④符合题意． 综上所述，正确的有①②③④共4个． 故答案为：D． 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。 6．已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵当y> 0时，-1<x<2， ∴函数与x轴的交点为(-1，0)和(2，0)，且开口向下，故A、B、D选项错误； 故答案为：C. 【分析】根据图象分析即可. 7．已知二次函数，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，y随x的增大而增大.其中说法正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：因为二次项系数为-2＜0，所以 ①其图象的开口向下正确 ；其图象的对称轴为直线，所以②正确； 二次函数=-2（x+3）2+1，所以顶点坐标为（-3，1），所以③不正确；由②知图象的对称轴为直线x=-3，且由①知抛物线开口向下，所以当x＜-3时，y随x的增大而增大 ，所以④正确。综上可得出说法正确的有3个。 故答案为：B。 【分析】根据二次函数各项的系数与函数图象的关系，分别进行判断，即可得出答案。 8．下列关于二次函数的图象和性质说法正确的是（　　） A．该函数的图象开口向上 B．若点和是该函数的图象上的两点，则． C．该函数的图象对称轴为直线 D．该函数的最大值为 【答案】D 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误； 该函数的图象的对称轴为，故C选项错误； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴，故B选项错误； 当时，该函数的最大值为，故D选项正确； 故选：D． 【分析】 对于二次函数，当时抛物线开口向上，反之则开口向下；当开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越大则改点对应的函数值越小，反之函数值越大；抛物线的对称轴为直线； 当时二次函数有最小值，反之，二次函数有最大值． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若抛物线的顶点在x轴上，则b的值为　 　． 【答案】±6 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】因为抛物线的顶点在x轴上， 所以， 所以， 解得b=±6， 故答案为：±6． 【分析】根据顶点在x轴上，可得出纵坐标为0，即可得出方程，解方程求解即可． 10．二次函数，当时，y随x的增大而　 　．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵，对称轴为直线， ∴函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【分析】根据可得函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小即可求解． 11．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为　 　. 【答案】6 【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【解答】解：当y=0时，-x2+x+2=0 解之：x1=-1，x2=2， ∴当0＜x＜2时y＞0 设点P（x，-x2+x+2）， ∴矩形OAPB的周长为2（x-x2+x+2）=-2（x-1）2+6， ∵-2＜0，抛物线的开口向下， ∴当x=1时矩形OAPB的周长最大值为6. 故答案为：6. 【分析】由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到y＞0时x的取值范围；设点P（x，-x2+x+2），可得到矩形OAPB的周长与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质和x的取值范围可得到矩形OAPB的周长的最大值. 12．当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则　 　． 【答案】或 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线， ①当时，即，， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； ②当时，即， 最大值与最小值的差为3， ， 即， 解得； 故答案为：或. 【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，然后分为和两种情况，利用函数的增减性得到最大值和最小值解题即可． 13．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号是　 　（填写正确的序号）． 【答案】②③⑤ 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1， ∴b=2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2-4ac＞0，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）， ∴9a-3b+c=0，所以③正确； ∵点（-0.5，y1）到直线x=-1的距离比点（-2，y2）到直线x=-1的距离小， 而抛物线开口向上， ∴y1＜y2；所以④错误； ∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确， 故答案为：②③⑤． 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．已知抛物线 （1）求该抛物线与轴交点坐标，与轴交点坐标． （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）解：当时，，解得，， ∴抛物线与轴交点坐标为和； 当时，， ∴该抛物线与轴交点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】（）根据x轴和y轴上的点的特征。只需把和代入函数解析式进行计算，即可求解； （）首先进行二次函数解析式一般式和顶点式的互化，可得出抛物线，再根据顶点式，直接得出抛物线的对称轴和顶点坐标即可。 （1）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴交点坐标为和； 当时，， ∴该抛物线与轴交点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 15．已知二次函数． （1）将写成的形式，并写出它的顶点坐标； （2）当时，直接写出函数值的取值范围； 【答案】（1）解：因为， 所以顶点坐标为：； （2）解：因为，所以对称轴为直线，开口向上， 所以当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又， 所以当时，， 当时，， 所以当时，函数的取值范围为． 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】（1）利用完全平方差公式转化为顶点式，根据顶点式写出顶点坐标； （2）利用二次函数的性质求出的取值范围； （1）解：， 则得顶点坐标为：； （2）解： ∴对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又， 当时，， 当时，， 当时，函数的取值范围为． 16．某超市购入一批进价为12元/盒的巧克力进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x … 20 22 24 … 销售量y … 40 36 32 … （1）求y与x的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒巧克力向顾客赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种巧克力日销售获得的最大利润为288元，求m的值． 【答案】（1）解：设，由题意得 ， 解得， 所以y与x的函数表达式为． （2）解：设日销售利润为w元，由题意得， ∴当时，w有最大值392元． 即当销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元． （3）解：由题意得，当时， ，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，w有最大值288元． ∴． 解得，． 当时，，每盒巧克力的利润， ∴不合题意，舍去． ∴． 【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】 （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，则w是销售单价x的二次函数，由于该二次函数的二次项系数为负，则函数w有最大值，再求出这个最大值即可； （3）由于每销售一盒巧克力向顾客赠送一件价值为m元的礼品，则单件利润减少m元，则日销售总利润w变为，由于二次项系数不变，则w仍然有最大值，利用二次函数的性质求出这个最大值即得到关于m的一元二次方程，再解这个方程并对根进行适当取舍即可. （1）解：设，由题意得 ， 解得， 所以y与x的函数表达式为． （2）解：设日销售利润为w元，由题意得 ， ∴当时，w有最大值392元． 即当销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元． （3）解：由题意得， 当时， ，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，w有最大值288元． ∴． 解得，． 当时，，每盒巧克力的利润， ∴不合题意，舍去． ∴． 17．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移3个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 【答案】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴是直线，∴， 解得， ∴二次函数的关系式为 （2）解：将点向上平移3个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上，∴， 解得（舍去）， ∴ （3）解：当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 解得，不符合题意都舍去． 综上所述，n的取值范围是 【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式及对称轴可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到二次函数解析式 （2）利用点的平移规律可表示出平移后的点的坐标，再代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值. （3）分情况讨论：当时；当时；当时；分别根据最大值与最小值的差等于9得出方程或等式，可求出符合题意的n的值，可得到n的取值范围. （1）∵抛物线经过点，且对称轴是直线， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为； （2）将点向上平移3个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上， ∴， 解得（舍去）， ∴； （3）当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 解得，不符合题意都舍去． 综上所述，n的取值范围是． 18．已知二次函数的图像经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）求出该抛物线的顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小． 【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴其顶点坐标为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【分析】（1）根据 二次函数的图像经过点，利用待定系数法求解二次函数解析式 （2）将二次函数转化为顶点式，求得顶点坐标，再利用增减性求解． （1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）∵， ∴其顶点坐标为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小． 19．根据以下素材，探索完成任务． 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材1 我国的大棚种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，． 素材2 已知大棚共有支架根，为增加棚内空间，拟将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图2所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），现有改造经费元． 问题解决 任务1 确定大棚形状 在图1中以O为原点，OB方向为x轴建立直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试改造方案 当米，请通过计算说明完成改造需要花费多少经费． 任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】解：任务1：如图，以为原点，建立如图1所示的坐标系， ∴，，∴设抛物线解析式为， ∵，，∴抛物线的对称轴为直线， ∴，将代入解析式得，， ∴． 任务2：如图，建立与（1）相同的坐标系， ∵，∴为， ∵改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为， 将代入解析式得，∴， ∴为，为，∴， ∴共需改造经费 任务3：如图2，设改造后抛物线解析式为， 则为，为，∴， 由题意可列不等式，，解得， ∵，∴时，的值最大，为米． 【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的其他应用；利用一般式求二次函数解析式 【解析】【分析】任务1：由结合已知得抛物线的对称轴，再将点C的坐标代入即可得a的值，即可得解析式； 任务2：由对称轴不变设抛物线解析式，将点C'坐标代入即可得新抛物线的解析式，即可求得改造经费； 任务3：由新抛物线解析式得G'坐标，E'坐标，结合题意列不等关系即可得a的范围，即可得CC'的最大值. 20．如图，抛物线y=-x2+bx十c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于C(0，3)，点P在抛物线上，横坐标设为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围； （3）当点P到y轴的距离是1时，直接写出△BCP的面积； （4）若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为-1-m，求m的值． 【答案】（1）解：将点A(-1，0)，C(0，3)代入抛物线解析式得： 解得： 则抛物线的解析式为y=-x2+2x十3 （2）-1<m<3 （3）6或3 （4）解：当m≤1时 若抛物线再点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为-1-m 则顶点的纵坐标为-1-m，即4=-1-m 解得：m=-5 当m>1时，则抛物线在x=m处取得最大值 即-1-m=-m2+2m+3 解得：m=-1（舍去）或4 故答案为：m=-5或4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：（2）令y=-x2+2x十3=0 解得：x=-1或3 故当点p在x轴上方时，m的取值范围为：-1<m<3 故答案为：-1<m<3 （3）由题意可得：m=±1 则点P（1，4）或（-1，0） 当点p（1，4）时 过点P作PH∥y轴交BC于点H 由点B，C的坐标得，直线BC的表达式为：y=-x+3 则点H（1，2），则PH=4-2=2 则 当点P（-1，0）时，则点A，P重合 则 综上，△BCP的面积为6或3 【分析】（1）根据待定系数法将点坐标代入抛物线解析式即可求出答案. （2）根据函数图象即可求出答案. （3）当点p（1，4）时，过点P作PH∥y轴交BC于点H，求出直线BC的解析式，，当点P（-1，0）时，则点A，P重合，，即可求出答案. （4）当m≤1时，若抛物线再点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为-1-m，根据题意列出方程，解方程可得m值，当m>1时，则抛物线在x=m处取得最大值，根据题意列出方程，解方程即可求出答案. B抓核心 四大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象性质(基础练+提升练+拓展练+达标检测) 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的关系 1.利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即 y =ax2+bx+c =a =a 顶点是 对称轴是直线 2. 要点诠释: 两种形式本质相同,只是表达方式不同。通过配方实现互化,可灵活运用顶点式分析图象特征,或通过一般式处理实际问题。 题型1把二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式 例1.请将二次函数化为形式,并写出它的对称轴和顶点坐标. 【变式1-1】.抛物线 的顶点坐标是 . 【变式1-2】.用配方法把二次函数写成的形式为 . 【变式1-3】.用配方法将二次函数化为的形式为 . 题型2二次函数y=ax2+bx+c的图象 例2.请画出函数的图象,并写出函数顶点坐标,对称轴,以及函数增减性. 【变式2-1】.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示: x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式; (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象; (3)当时,直接写出y的取值范围. 【变式2-2】.已知二次函数 . (1)求该二次函数的顶点坐标; (2)在平面直角坐标系 中,画出二次函数 的图象; (3)结合函数图象:直接写出当时,的取值范围. 【变式2-3】.已知二次函数. (1)在平面直角坐标系中,用五点法画出该二次函数的图象; x … … y … … (2)根据图象回答下列问题: ①当时,x的取值范围是 ; ②当时,y的取值范围是 . 题型3 二次函数y=ax2+bx+c的顶点、开口方向 例3.拋物线 的开口向下,则 的值可以取 .(写出一个即可) 【变式3-1】. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限,则二次函数的图象只可能是( ) A. B. C. D. 【变式3-2】.关于二次函数 ,下列说法正确的是( ) A.图象的对称轴在 轴的右侧 B.图象与 轴的交点坐标为 C.图象与 轴的交点坐标为 和 D. 的最小值为-9 【变式3-3】.抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 a的符号 a>0 a<0 图象     开口方向 向上 向下 对称轴   顶点坐标   增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小 最值 当时 y最小值= 当时 y最大值= 2.要点诠释: (1) a决定抛物线的开口方向,简记为“上正下负” (2) C决定抛物线与y轴交点位置,简记为“上正下负原点0” (3) a、b符号共同决定对称轴的位置,简记为“左同右异,y轴b的值为0” 题型4 二次函数y=ax2+bx+c的增减性 例4.设,,是抛物线上的三点,则,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 【变式4-1】.已知二次函数. (1)求该二次函数的图象与轴交点的坐标; (2)求该函数图象的对称轴,并写出在什么范围内,随的增大而增大. 【变式4-2】.已知二次函数(为常数)的图象与轴有交点,且当时,随的增大而增大,则的取值范围是 . 【变式4-3】.二次函数中,自变量x与函数y的部分对应值如下表: x … 0 1 2 … y … 8 5 4 5 8 … 下列结论:①函数y有最大值;②函数图象的开口方向向上;③该函数图象的对称轴是直线;④当时,y随x的增大而增大.其中正确的是( ) A.①② B.①④ C.②④ D.②③ 题型5二次函数y=ax2+bx+c的解析式 例5.已知二次函数经过点与. (1)求b,c的值. (2)求该二次函数图象的顶点坐标. 【变式5-1】.二次函数的图象经过点,且对称轴为直线. (1)求这个二次函数的解析式. (2)图象上的点称为函数的不动点,求这个函数不动点的坐标. (3)若是二次函数图象上不动点之间的点(包括端点),求的最大值与最小值的差. 【变式5-2】.抛物线 经过点 ,则 的值为 . 【变式5-3】.已知抛物线y=﹣x2+ax+b经过点A(1,0),B(0,﹣4). (1)求抛物线的解析式; (2)求此抛物线的顶点坐标. 题型6二次函数y=ax2+bx+c的平移 例6.将抛物线y=-2x2+4x-6先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到新抛物线的顶点坐标为 . 【变式6-1】.若抛物线平移后经过原点,则抛物线经过了( ) A.向上平移个单位 B.向下平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 . 【变式6-2】.二次函数 的图象可以由二次函数 的图象平移而得到,下列平移正确的是( ) A.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位 B.先向右平移2个单位,再向下平移1个单位 C.先向左平移2个单位,再向上平移1个单位 D.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位 【变式6-3】.请将二次函数化为的形式,并给出一种平移方式,使平移后的图象过原点. 题型7二次函数y=ax2+bx+c的最值 例7.求下列函数的最大值或最小值. (1)y=2x2+3. (2)y=x2-2x+1. (3)y=-2x2+4x+1(2≤x≤4). 【变式7-1】.二次函数 ,当 且 时,y的最小值为 ,最大值为 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 【变式7-2】.已知二次函数,当时,的最大值与最小值之和为 . 【变式7-3】.已知二次函数,当-1≤x≤1时,求函数y的最小值和最大值. 当时,则. 当时,则 所以函数的最小值为2,最大值为4 彤彤的解答正确吗?如果不正确,请写出正确的解答. 题型8二次函数y=ax2+bx+c的实际问题 例8.在中考体育训练期间,小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度(米)与水平距离(米)之间的关系式为,小宇此次实心球训练的成绩为多少米. 【变式8-1】.如图,铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是,则该运动员此次掷铅球的成绩是 . 【变式8-2】.在一次炮弹发射演习中,记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为,当炮弹落到地面时,经过的时间为 秒. 【变式8-3】.某宾馆有 120 间标准房,当标准房价格为 100 元时,每天都客满,市场调查表明单间房价在 元之间(含 100 元, 150 元)浮动时,每提高 10 元,日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素,该宾馆将标准房价格提高到 元时,客房的日营业收入最大。 问题9二次函数y=ax2+bx+c的综合问题 例9.已知二次函数 ( 为常数)的图象经过点 ,对称轴是直线 。 (1)求此二次函数的表达式。 (2)求二次函数 的最大值。 (3)当 时,二次函数 的最大值与最小值的差为 ,求 的取值范围。 【变式9-1】.已知二次函数(为常数), (1)若,求该二次函数图象的对称轴; (2)若,该二次函数在时有最小值2,求的值; (3)将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为:.若时,恒成立,求m的最大值. 【变式9-2】.已知二次函数. (1)若该函数的图象经过点,. ①求该函数的表达式及顶点坐标. ②当时,该函数的最大值与最小值的差为3,求m的值. (2)若点,都在该函数图象上,且,求n的取值范围 【变式9-3】.如图, 已知点 在二次函数 的图象上, 且 . (1) 若二次函数的图象经过点 . ①求这个二次函数的表达式. ②若 , 求顶点到 的距离. (2) 当 时,二次函数的最大值与最小值的差为 1 ,点 在对称轴的异侧,求 的取值范围。 例10.如图,在平面直角坐标系中,二次函数,图象经过、两点. (1)求二次函数的解析式及它的对称轴; (2)设点是抛物线上的一个动点,横坐标为, ①当,则点的纵坐标的取值范围是_ _; ②过点做轴,交直线于,当线段时,请求出m的值. 【变式10-1】.如图,将抛物线P1:y=x2+2x+m平移后得到抛物线P2:y=x2﹣5x+n,两抛物线与y轴分别交于点C,D.抛物线P1,P2的交点E的横坐标是1,过点E作x轴的平行线,分别交抛物线P1,P2于点A,B. (1)求抛物线P1的对称轴和点A的横坐标. (2)求线段AB和CD的长度. 【变式10-2】.如图,直线交轴于点,交轴于点,抛物线经过点,交轴于点.点为抛物线上一动点,过点作轴的垂线,交直线于点,设点的横坐标为. (1)求抛物线的解析式; (2)当点在直线下方的抛物线上运动时,求线段长度的最大值; (3)若点是平面内任意一点,是否存在点,使以,,,为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接出的值;若不存在,请说明理由. 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.对于抛物线,下列结论正确的是( ) A.图象过原点 B.对称轴是直线 C.顶点是 D.有最小值1 2.关于二次函数的图象,下列说法中,正确的是 ( ) A.对称轴为直线 B.顶点坐标为 C.可以由二次函数的图象向左平移1个单位长度得到 D.在y轴的左侧,y随x的增大而增大,在y轴的右侧,y随x的增大而减小 3.已知抛物线经过三点,则下列说法正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 4.若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点(-1,1)和(1,-7),则当-3≤x≤0时,函数的最大值与最小值之和是( ) A.-8 B.-6 C.-3 D.0 5.如图,二次函数的图象与x轴交于点,顶点坐标为,与y轴的交点为B.有下列结论:①;②;③若,则;④关于x的方程有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知二次函数为常数,,当时,,则二次函数的图象可能为( ) A. B. C. D. 7.已知二次函数,下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线;③其图象顶点坐标为;④当时,y随x的增大而增大.其中说法正确的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8.下列关于二次函数的图象和性质说法正确的是( ) A.该函数的图象开口向上 B.若点和是该函数的图象上的两点,则. C.该函数的图象对称轴为直线 D.该函数的最大值为 . 二、填空题(每小题4分,共20分) 9.若抛物线的顶点在x轴上,则b的值为 . 10.二次函数,当时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”) 11.如图,是抛物线在第一象限上的点,过点分别向轴和轴引垂线,垂足分别为,,则四边形周长的最大值为 . 12.当时,二次函数的最大值与最小值的差为3,则 . 13.抛物线的对称轴为直线,部分图象如图所示,下列判断中:①;②;③;④若点均在抛物线上,则;⑤.其中正确的序号是 (填写正确的序号). 三、解答题(每小题8分,共56分) 14.已知抛物线 (1)求该抛物线与轴交点坐标,与轴交点坐标. (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标. 15.已知二次函数. (1)将写成的形式,并写出它的顶点坐标; (2)当时,直接写出函数值的取值范围; 16.某超市购入一批进价为12元/盒的巧克力进行销售,经调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,下表是y与x的几组对应值. 销售单价x … 20 22 24 … 销售量y … 40 36 32 … (1)求y与x的函数表达式. (2)当销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少? (3)若超市决定每销售一盒巧克力向顾客赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种巧克力日销售获得的最大利润为288元,求m的值. 17.已知二次函数(b,c为常数)的图象经过点,对称轴为直线. (1)求二次函数的表达式; (2)若点向上平移3个单位长度,向左平移个单位长度后,恰好落在的图象上,求m的值; (3)当时,二次函数的最大值与最小值的差为9,求n的取值范围. 18.已知二次函数的图像经过点. (1)求此二次函数的表达式; (2)求出该抛物线的顶点坐标,并指出当x为何值时y随x的增大而减小. 19.根据以下素材,探索完成任务. 如何调整蔬菜大棚的结构? 素材1 我国的大棚种植技术已十分成熟,一块土地上有一个蔬菜大棚,其横截面顶部为抛物线型,大棚的一端固定在墙体上,另一端固定在墙体上,其横截面有2根支架,相关数据如图1所示,其中支架,. 素材2 已知大棚共有支架根,为增加棚内空间,拟将图1中棚顶向上调整,支架总数不变,对应支架的长度变化如图2所示,调整后与上升相同的高度,增加的支架单价为元/米(接口忽略不计),现有改造经费元. 问题解决 任务1 确定大棚形状 在图1中以O为原点,OB方向为x轴建立直角坐标系,求抛物线的函数表达式. 任务2 尝试改造方案 当米,请通过计算说明完成改造需要花费多少经费. 任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下,求出的最大值. 20.如图,抛物线y=-x2+bx十c交x轴于A(-1,0),B两点,交y轴于C(0,3),点P在抛物线上,横坐标设为m. (1)求抛物线的解析式; (2)当点P在x轴上方时,直接写出m的取值范围; (3)当点P到y轴的距离是1时,直接写出 BCP的面积; (4)若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为-1-m,求m的值. B抓核心 四大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 五大题型提分练 学科网(北京)股份有限公司 $