22.1.3二次函数y=ax2+k图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版数学九年级上册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22.1.3二次函数y=ax2+k图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1二次函数Y=ax2+k的图像 1.要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取点（0，k），然后以点（0，k）为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 2.形状位置：形状与y＝ax²相同，对称轴Y轴，位置不同 二次函数y＝ax²向上平移k个单位长度 二次函数y＝ax²＋h(k＞0)， 二次函数y＝ax²向下平移k个单位长度 二次函数y＝ax²＋h(k＜0) 口诀：上加下减． 3. 要点诠释： 解二次函数 y=ax²+k（a≠0）的图象问题注意两点： 1.熟练掌握y=ax2的图象画法； 2.抛物线y=ax2 +k可由抛物线y=ax2 向上或下平移得到，可简记为“上加下减” 题型1二次函数y=ax²+k的识别 例1．若，，则二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．将拋物线 向上平移 3 个单位后得到的拋物线的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】．抛物线的顶点坐标是　 　． 【变式1-3】．抛物线y＝x2通过平移，得到抛物线y＝x2+1，则该平移方式正确的是（　　） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 题型2画二次函数y=ax²+k的图像 例2 .已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 【变式2-1】．下列图象中，函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 ，的图象. （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线 可由抛物线 向 平移个 单位长度得到. 【变式2-2】．在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图像大致是（　　） A． B． C． D． 知识点2 二次函数Y=ax2+k的性质 y＝ax²＋h(a≠0) a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，h)  (图象有最低点) (0，h)  (图象有最高点) 对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0) 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈下降趋势)；当x＞0时，y随x的增大而增大(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈上升趋势). 当x＜0时，y随x的增大而增大(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈上升趋势)；当x＞0时，y随x的增大而减小(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈下降趋势). 最值 当x＝0时，y最小＝h. 当x＝0时，y最大＝h. 草图 要点诠释： 解二次函数 y=ax²+k（a≠0）的问题注意 1 .二次函数的符号 开口方向； 2.二次项系数的绝对值相等 抛物线的形状相同 3.K 顶点纵坐标 题型3 二次函数y=ax²+k的图像的性质 例3 .已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【变式3-1】．已知抛物线经过点，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式-2】．关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5 【变式3-3】．将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（　　） A． B． C． D． 题型4 二次函数y=ax²+k的图像性质综合 例4 .如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【变式4-1】．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，则与的大小关系是______． 【变式4-2】．已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． ． 【变式4-3】．如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 题型5 二次函数y=ax²+k的最值 例5．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ） A．没有最大值，有最小值 B．没有最大值，也没有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．有最大值，也有最小值 【变式5-1】．已知抛物线，则当时，的最大值是（　　） A．1 B． C． D．-2 【变式5-2】．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【变式5-3】．（1）若二次函数有最小值5，求a的值． （2）若抛物线与x轴不相交，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据二次函数的性质列式计算； （2）分和两种情况进行计算． 【详解】解：（1）由题意，得，解得． （2）分两种情况：①，无解； ②，解得． 故a的取值范围是． 题型6 二次函数y=ax²+k图像性质的实际应用 例6．有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x，建立直角坐标xOy． （1）求该抛物线的表达式； （2）如果水面BC上升3米 即 至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长． 【变式6-1】．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，求水面宽度为多少． 【变式6-2】．．如图，抛物线y＝ax2+c（a＜0）交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C，四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为　 　. 【变式6-3】．．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计抛物线型拱桥的广告牌？ 素材1 某文化园搭建一座抛物线型拱桥．如图①，桥在路面的跨度的宽为，桥拱最高处距离路面的距离． 图① 素材2 在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩． 图② 素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，现要在桥拱下方，横杆的上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称． 图③ 问题解决 任务1 确定桥拱形状 如图①，以A的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； 任务2 确定桥墩位置 求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）； 任务3 拟定设计方案 给出一种广告牌的设计方案，并根据建立的坐标系，求出矩形广告牌右上方顶点的坐标． 题型7二次函数y=ax²+k图像与几何图形的综合 例7．抛物线的图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题： （1）点A，B的坐标分别是A 　 　，B 　 　 ； （2）若函数值y>0，则x的取值范围是　 　 ； （3）函数值y的最小值是　 　 ； （4）若点P为抛物线上的一点，且 =4，求点P的坐标. 【变式7-1】．．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c． （1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　； （3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m n p 表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）． 【变式7-2】．．已知抛物线y＝x2－4与x轴交于A(-2，0)、B(2，0)两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4. （1）在直角坐标系中画出图形； （2）写出抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）求P点的坐标. 例8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ 与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称 （1）填空：点B的坐标是　 　； （2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由； （3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标． 【变式8-1】．．把y= x2的图象向上平移2个单位. （1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； （2）画出平移后的函数图象； （3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值. 【变式8-2】．．已知二次函数与的部分对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 5 … … 1 0 … … 1 0 / / … （1）直接写出的值，并求出的解析式； （2）函数的图象可以由函数的图象通过怎样的变换得到？请直接写出的解析式： （3）若点在该二次函数图象上，当时，求p的取值范围． 一（选择题，每小题3分，共24分） 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．若将抛物线向下平移2个单位长度，则新抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 3．函数y=ax2+c与y=ax+c(a≠0)在同一平面直角坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．已知A（﹣1，y1），B（3，y2），C（0，y3）在二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 5．函数的图象，可以由抛物线平移得到，其平移过程是（　　） A．向左1个单位 B．向右1个单位 C．向上1个单位 D．向下1个单位 6．函数和为常数，且，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（　　） A． B． C． D．无法判断 8．函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 二、（填空题，每小题4分，共20分） 9．函数的最大值是　 　． 10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2-3上，且0＜x1＜x2，则y1　 　y2.（填“＜”或“＞”或“＝”） 11．把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，则的值是　 　． 12．已知点，在抛物线上，且，则　 　．（填“<”或“>”或“=”） 13．已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为　 　． 三、（解答题，每小题8发，共56分） 14.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 15．填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 、 16．把的图象向上平移2个单位. (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值. 17．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米.以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求： (1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)有一辆宽2.8米，高1米的农用货车(货物最高处与地面AB的距离)能否通过此隧道？ 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上. （1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标. （2）在该抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 19．综合与实践 如图,是某公园的一座抛物线形拱桥,夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为,秋季水位会下降约,此时水面宽度约为. (1)如图1,以的中点O为原点,所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,求抛物线的解析式； (2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过,已知游船的宽度约为,船顶高出水面约为,为保证安全,游船要尽量从桥下正中间通过,且船顶与拱桥至少要间隔,请问当水位处于正常水位(即水面为)时,游船是否能够通过？并说明理由； (3)如图2,国庆节期间为装点节日的气氛,公园决定在拱桥上挂一串小彩灯,这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行,两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称,彩灯两端的最低点到水面的距离为,求这串彩灯的最大长度. 20．已知点P是抛物线上的任意一点,设点P到直线的距离为,点P到点的距离为. (1)求抛物线的顶点坐标和对称轴; (2)判断的大小关系并证明; (3)若线段的延长线交抛物线于点Q,且线段的长度是m,线段的中点M到x轴的距离是n.直接写出m与n的函数关系式. B抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22.1.3二次函数y=ax2+k图象性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1二次函数Y=ax2+k的图像 1.要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取点（0，k），然后以点（0，k）为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 2.形状位置：形状与y＝ax²相同，对称轴Y轴，位置不同 二次函数y＝ax²向上平移k个单位长度 二次函数y＝ax²＋h(k＞0)， 二次函数y＝ax²向下平移k个单位长度 二次函数y＝ax²＋h(k＜0) 口诀：上加下减． 3. 要点诠释： 解二次函数 y=ax²+k（a≠0）的图象问题注意两点： 1.熟练掌握y=ax2的图象画法； 2.抛物线y=ax2 +k可由抛物线y=ax2 向上或下平移得到，可简记为“上加下减” 题型1二次函数y=ax²+k的识别 例1．若，，则二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 【变式1-1】．将拋物线 向上平移 3 个单位后得到的拋物线的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向上平移3个单位后得到的抛物线的函数表达式是y=x2+3. 故答案为：B. 【分析】根据二次函数图象的平移变换规律，上加下减，左加右减，即可得出平移后的函数表达式. 【变式1-2】．抛物线的顶点坐标是　 　． 【答案】(0，-2) 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是(0，-2)，故答案为：(0，-2)． 【分析】抛物线的顶点式为，其顶点坐标为． 【变式1-3】．抛物线y＝x2通过平移，得到抛物线y＝x2+1，则该平移方式正确的是（　　） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线向上平移1个单位即可得到抛物线． 故答案为：A 【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可求解 题型2画二次函数y=ax²+k的图像 例2 .已知二次函数的图像经过点． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出此函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； (2)当时，y的取值范围是多少？ 【答案】(1)图像见解析，函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (2)当时，y的取值范围是 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用二次函数的解析式的特点和点的坐标，画出图像即可，再利用图像解决问题即可． （2）利用图像分析当时，y的取值范围，需要看图分析：当时，y取得最小值；当时，y取得最大值，且最大值为2．从而得到答案． 【详解】（1）解： 将代入得即解得：． 列表： … 0 1 2 … … 2 2 … 描点画出函数的图像，如图所示． 此函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）根据图像分析可得，若，则当时，y取得最小值，且最小值为-2， 当时，y取得最大值，且最大值为2． 所以当时，y的取值范围是． 【变式2-1】．下列图象中，函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：当a＞0时，-a＜0， ∴函数图象的顶点在y轴的负半轴，开口向上，故A、B不符合题意； 当a＜0时，-a＞0， ∴函数图象的顶点在y轴的正半轴，开口向下，故C不符合题意，D符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用函数解析式，可知此函数图象的顶点在y轴上，排除选项B，再分情况讨论：当a＞0时；当a＜0时，可得到函数图象的位置，据此可作出判断. 【变式2-2】．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 ，的图象. （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线 可由抛物线 向 平移个 单位长度得到. 【答案】解：画图如下： （1）函数y=-x2，开口向下，对称轴为x=0，顶点坐标为（0，0）； 函数y=-x2+1，开口向下，对称轴为x=0，顶点坐标为（0，1）； （2）上；3. 【解析】【解答】解：（2）∵由抛物线 得到 抛物线 ， x没有变化，只有常数+3， ∴是向上平移了3个单位长度， 故答案为： 上；3. 【分析】画函数图象用列表、描点、连线； （1）根据二次函数图象的性质可得； （2）根据二次函数图象上下平移是常数上加下减，可得结论. 【变式2-2】．在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：由一次函数的性质可知，y= 3x的函数图象过一、三象限， 由二次函数性质可得y= －x2+1中a<0，抛物线开口向下， 故答案为：D. 【分析】根据一次函数和二次函数的图象基本性质即可判断。 知识点2 二次函数Y=ax2+k的性质 y＝ax²＋h(a≠0) a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，h)  (图象有最低点) (0，h)  (图象有最高点) 对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0) 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈下降趋势)；当x＞0时，y随x的增大而增大(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈上升趋势). 当x＜0时，y随x的增大而增大(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈上升趋势)；当x＞0时，y随x的增大而减小(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈下降趋势). 最值 当x＝0时，y最小＝h. 当x＝0时，y最大＝h. 草图 要点诠释： 解二次函数 y=ax²+k（a≠0）的问题注意 1 .二次函数的符号 开口方向； 2.二次项系数的绝对值相等 抛物线的形状相同 3.K 顶点纵坐标 题型3 二次函数y=ax²+k的图像的性质 例3 .已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 【变式3-1】．已知抛物线经过点，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小； 分别求出和时的函数值，然后可得答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故选：C． 【变式-2】．关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5 【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数中， ，函数图象开口向下，A不符合题意； 函数图象的顶点坐标是，当时，函数有最大值，最大值是5，C符合题意，D不符合题意； 函数图象的对称轴为，时y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，B不符合题意． 故答案为：C． 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质及二次函数的最值逐项判断即可。 【变式3-3】．将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为：， 当时，，故不在此抛物线上，故A选项不合题意； 当时，，故在此抛物线上，故B选项符合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故C选项不合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故D选项不符合题意； 故答案为：B. 【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可． 题型4 二次函数y=ax²+k的图像性质综合 例4 .如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别令，代入计算求解； （2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． （2）解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式4-1】．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，则与的大小关系是______． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）求得该函数的对称轴为y轴，且开口向上，由点，，知． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数的对称轴为y轴，且开口向上， ∴在对称轴右边，y随x的增大而增大， ∵点，， ∴．． 【变式4-2】．已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 【变式4-3】．如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 【答案】(1)①；②； ③；证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图像与性质，求点的坐标，整式的乘法． （1）①若，抛物线的表达式为：，从而得到，，， 根据待定系数法即可求出直线的解析式； ②求出点E的坐标，根据即可解答； ③根据各点坐标得到，，，即可得到； （2）同（1）思路即可解答； （3）设点，点，由点A、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，表示出，，即可解答． 【详解】（1）解：①若，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为：； ②对于直线：，当时，， ∴， ∴， 故答案为：； ③，理由如下： ，，，， ，，， ； （2）解：，理由如下： 当时，抛物线的表达式为：， ∴，，， 同理可得：直线的表达式为：， ∴， ∴， ，， ∴； （3）解：，理由如下： 设点，点， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， ，， 则， ， ， 故答案为： 题型5 二次函数y=ax²+k的最值 例5．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ） A．没有最大值，有最小值 B．没有最大值，也没有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．有最大值，也有最小值 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．解题的关键在于表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质．比较综合．根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， ∴， ∵， 随t的增大而减小， ∵， ∴， ∴有最小值，没有最大值． 故选：． 【变式5-1】．已知抛物线，则当时，的最大值是（　　） A．1 B． C． D．-2 【答案】B 【分析】根据抛物线解析式判断出函数的增减性，然后选取x值代入即可． 【详解】由抛物线可知，抛物线的对称轴为， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小， ∴在的范围内，当时，y的值最大，， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，判断出二次函数的增减性是解题关键． 【变式5-2】．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 【变式5-3】．（1）若二次函数有最小值5，求a的值． （2）若抛物线与x轴不相交，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据二次函数的性质列式计算； （2）分和两种情况进行计算． 【详解】解：（1）由题意，得，解得． （2）分两种情况：①，无解； ②，解得． 故a的取值范围是． 题型6 二次函数y=ax²+k图像性质的实际应用 例6．有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x，建立直角坐标xOy． （1）求该抛物线的表达式； （2）如果水面BC上升3米 即 至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长． 【答案】（1）解：设抛物线解析式为： ，由题意可得图象经过 ， ， 则 ， 解得： ， 故抛物线解析为： （2）解：由题意可得： 时， 解得： ， 故EF ， 答：水面宽度EF的长为5m． 【解析】【分析】（1）观察图像，可得出此二次函数是形如y=ax2+c的形式，再利用待定系数法，将（5，0）、（0，4）代入解析式求出二次函数解析式即可。 （2）要求EF的长，由y=0代入函数解析式求出点E、F的坐标，再求出点E、F的横坐标的差的绝对值，即可解答。 【变式6-1】．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，求水面宽度为多少． 【答案】解：如图，建立直角坐标系， 可设这条抛物线为 把点代入，得 解得 当水面下降2.5米，此时y=-2-2.5=-4.5 当时， 解得 水面下降时，水面宽度为． 答：水面下降 ，水面宽度为6m. 【解析】【分析】通过建立直角坐标系，设抛物线顶点式，利用已知点求解析式，再代入水面下降后的y值求x，进而得水面宽度. 【变式6-2】．．如图，抛物线y＝ax2+c（a＜0）交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G，B在y轴左侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C，四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为　 　. 【答案】4 【解析】【解答】解：由于抛物线的对称轴是y轴，根据抛物线的对称性知： S四边形ODEF＝S四边形ODBG＝10； ∴S△ABG+S△BCD＝S四边形ODBG﹣S四边形OABC＝10﹣6＝4. 【分析】根据抛物线的对称性知：四边形ODBG的面积应该等于四边形ODEF的面积；由图知△ABG和△BCD的面积和是四边形ODBG与矩形OCBA的面积差，由此得解. 【变式6-3】．．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计抛物线型拱桥的广告牌？ 素材1 某文化园搭建一座抛物线型拱桥．如图①，桥在路面的跨度的宽为，桥拱最高处距离路面的距离． 图① 素材2 在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩． 图② 素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，现要在桥拱下方，横杆的上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称． 图③ 问题解决 任务1 确定桥拱形状 如图①，以A的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； 任务2 确定桥墩位置 求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）； 任务3 拟定设计方案 给出一种广告牌的设计方案，并根据建立的坐标系，求出矩形广告牌右上方顶点的坐标． 【答案】解：任务1：如图，以的中点为原点，建立平面直角坐标系， 则桥拱最高点的坐标为， ∵， ∴， ∴． 设抛物线的解析式为， 则， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 任务2：令，则，解得，． ∴两个桥墩之间的距离是． 任务3：∵矩形广告牌的面积为，且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落上）： ①；②；③；④；⑤；⑥． ∵拱桥的最高点到的距离， ∴方案①，②，③不符合题意． ∵， ∴方案⑥不符合题意． 方案④：当时，． 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为． ∵， ∴方案④可以满足要求． 此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是． 方案⑤： 当时，． 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为． ∵， ∴方案⑤可以满足要求． 此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是． 综上所述，共有两种设计方案： 方案一：矩形广告牌的长为，宽为，右上方顶点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，右上方顶点的坐标是． 【解析】【解答】任务1：以的中点为原点，建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出函数解析式即可； 任务2：将y=4代入函数解析式，再求出x的值即可； 任务3： 根据矩形的长、宽均为整数，矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落上）：①；②；③；④；⑤；⑥，逐个分析得出方案④⑤可以满足要求，进而得出矩形广告牌右上方顶点的坐标，再求解即可. 题型7二次函数y=ax²+k图像与几何图形的综合 例7．抛物线的图象与x轴交于A，B两点，利用图象解答下列问题： （1）点A，B的坐标分别是A 　 　，B 　 　 ； （2）若函数值y>0，则x的取值范围是　 　 ； （3）函数值y的最小值是　 　 ； （4）若点P为抛物线上的一点，且 =4，求点P的坐标. 【答案】（1）（-2，0）；（2，0） （2）x＜-2，或x＞2 （3）-4 （4）解：由图象可得，抛物线的顶点为（-4，0）， 设抛物线的解析式为 ， 则 ， ∵A（-2，0）， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为 ， ∵ =4，设点P的纵坐标为b， ∴ ， 即 =2， ∴b=2，或b=-2， 当b=2时， ，解得x=± ， 此时点P的坐标为（ ，2），（- ，2）， 当b=-2时， ，解得x=± ， 此时点P的坐标为（ ，-2），（- ，-2）， 由上可知，点P的坐标为（ ，2），（- ，2）， ， . 【解析】【解答】解：（1）由图象可得A（-2，0）， ∵点B与点A关于y轴对称， ∴B（2，0）； 故答案为：（-2，0），（2，0）； （2）∵函数值y>0， ∴图象在x轴上方， ∴x＜-2，或x＞2； 故答案为：x＜-2，或x＞2； （3）函数值y的最小值即是图象最低点的纵坐标， 由图象可得函数值y的最小值是-4； 故答案为：-4； 【分析】(1)观察图象，在坐标系中读出A、B两点坐标即可； (2)看图象，找出图象在x轴上方时x的范围即可； (3)看图象，读出顶点坐标的y值，即可解答； (4)根据顶点和A点的坐标求出抛物线的解析式， 设点P的纵坐标为b， 根据 =4， 列出关于b的方程求解，然后分别将b的值代入函数式求P点坐标即可. 【变式7-1】．．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c． （1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　； （3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m n p 表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）． 【答案】（1）解：二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变； （2）±2；﹣2 （3）p＜m＜n 【解析】【解答】解：（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同， ∴a＝±2， ∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合， ∴c＝﹣2， 故答案为：±2，﹣2．（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0， ∴p＜m＜n， 故答案为：p＜m＜n． 【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论； (2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2； (3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断。 【变式7-2】．．已知抛物线y＝x2－4与x轴交于A(-2，0)、B(2，0)两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4. （1）在直角坐标系中画出图形； （2）写出抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）求P点的坐标. 【答案】（1）解：抛物线y＝x2－4的图像如下： （2）解：抛物线的对称轴为x=0，顶点坐标为（0，-4） （3）解：∵AB=4，S△PAB＝4，得到三角形的高为2， 令y=±2，即x2－4=2，或x2－4=-2 解得x1= ，x2=- ，x3= ，x4=- ， ∴P点坐标为（ ，2），（- ，2），（ ，-2），（- ，-2） 【解析】【分析】（1）由于抛物线与 x轴交于A(-2，0)、B(2，0)两点 ，且其顶点坐标为（0，4），故利用三点法即可画出抛物线的图象； （2）利用顶点坐标公式及对称轴直线公式即可写出抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）根据三角形的面积计算方法由S△ABP=建立方程，求出点p的纵坐标的绝对值等于2，从而将y=2与-2分别代入抛物线的解析式即可算出对应的自变量的值，从而求出点P的坐标. 例8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ 与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称 （1）填空：点B的坐标是　 　； （2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由； （3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标． 【答案】（1）（0， ） （2）解：∵B点坐标为（0， ），∴直线解析式为y=kx+ ，令y=0可得kx+ =0，解得x=﹣ ，∴OC=﹣ ，∵PB=PC，∴点P只能在x轴上方，如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，则BD=OC=﹣ ，CD=OB= ，∴PD=PC﹣CD=m﹣ ， 在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2， 即m2=（m﹣ ）2+（﹣ ）2，解得m= + ，∴PB= + ，∴P点坐标为（﹣ ， + ），当x=﹣ 时，代入抛物线解析式可得y= + ，∴点P在抛物线上 （3）解：如图2，连接CC′，∵l∥y轴，∴∠OBC=∠PCB，又PB=PC，∴∠PCB=∠PBC， ∴∠PBC=∠OBC， 又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上， ∴∠PBC=∠PBC′，∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°， 在Rt△OBC中，OB= ，则BC=1 ∴OC= ，即P点的横坐标为 ，代入抛物线解析式可得y=（ ）2+ =1， ∴P点坐标为（ ，1） 【解析】【解答】（1）∵抛物线y=x2+ 与y轴相交于点A， ∴A（0， ）， ∵点B与点O关于点A对称， ∴BA=OA= ， ∴OB= ，即B点坐标为（0， ）， 故答案为：（0， ） 【分析】（1）由x=0，得出y的值，求出点A的坐标，再根据点B与点O关于点A对称，就可求出点B的坐标。 （2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上。 （3）利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标。 【变式8-1】．．把y= x2的图象向上平移2个单位. （1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； （2）画出平移后的函数图象； （3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值. 【答案】（1）解：把y=- x2的图象向上平移2个单位后得到抛物线的解析式为：y=- x2+2， 所以它的顶点坐标是（0，2），对称轴是x=0，即y轴 （2）解：由y=- x2+2，得 其函数图象如图所示： （3）解：如图所示：当x=0时，y最大=2 【解析】【分析】（1）根据二次函数图象平移规律，上加下减，可得出平移后的函数解析式；再根据二次函数的性质，得出此函数的顶点坐标和对称轴。 （2）利用描点法画出平移后的函数图象。 （3）利用抛物线y=ax2+k的性质解答即可。 【变式8-2】．．已知二次函数与的部分对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 5 … … 1 0 … … 1 0 / / … （1）直接写出的值，并求出的解析式； （2）函数的图象可以由函数的图象通过怎样的变换得到？请直接写出的解析式： （3）若点在该二次函数图象上，当时，求p的取值范围． 【答案】（1）解：由表格知时，，时，∴ 抛物线对称轴为直线， ∴点与点是关于直线对称的， ∴， ∵的对称轴为，顶点坐标为， 故设的解析式为： 将，代入，得 得： （2）解：由过点，，，过点，，，则函数的图象可以由函数的图象通过向左平移2个单位长度得到（或者关于直线对称） ∴． （3）解：当时， ， 当时，， 当时，结合函数图象可得： 或． 【解析】【分析】（1）由表格可得抛物线对称轴为直线，再利用对称性求出m的值，根据待定系数法求出的解析式； （2）根据表格数据可得出函数的图象是由函数的图象向左平移2个单位长度得到，利用平移规律“左加右减，上加下减”的到解析式； （3）根据二次函数的增减性解答即可． （1）解：由表格知时，，时， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点与点是关于直线对称的， ∴， ∵的对称轴为，顶点坐标为， 故设的解析式为： 将，代入，得 得： （2）解：由过点，，，过点，，， 则函数的图象可以由函数的图象通过向左平移2个单位长度得到（或者关于直线对称） ∴． （3）解：当时， ， 当时，， 当时，结合函数图象可得： 或． 一（选择题，每小题3分，共24分） 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：C． 【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可. 2．若将抛物线向下平移2个单位长度，则新抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵将抛物线向下平移2个单位长度， ∴平移后的抛物线表达式为， 故答案为：B． 【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，据此即可求解. 3．函数y=ax2+c与y=ax+c(a≠0)在同一平面直角坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】∵函数 y=ax2+c (a≠0) 的图像为抛物线且顶点坐标为（0，c），函数y=ax+c(a≠0) 的图像为一条直线，且与y轴交于点（0，c） 所以两个函数的图象与y轴的交点重合，故排除A选项和C选项； 二次函数图象开口向上，所以a﹥0，一次函数y=ax+c的图像，直线从左向右上升趋势，所以D选项错误。 两个函数的图象与y轴的交点重合，∵二次函数图象开口向下，∴a﹤0，一次函数y=ax+c的图像，直线从左向右下降趋势，所以B选项正确. 故答案为：B 【分析】根据函数 y=ax2+c (a≠0) 的图像为抛物线且顶点坐标为（0，c），函数y=ax+c(a≠0) 的图象为一条直线，且与y轴交于点（0，c） 所以两个函数的图象与y轴的交点重合，判断A选项和C选项； 根据二次函数图象开口向上，所以a﹥0，一次函数y=ax+c的图象，直线从左向右上升趋势，判断D选项。 根据两个函数的图象与y轴的交点重合，二次函数图象开口向下，a﹤0，一次函数y=ax+c的图象，直线从左向右下降趋势，判断B选项。 4．已知A（﹣1，y1），B（3，y2），C（0，y3）在二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【答案】D 【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0）， ∴图象开口向上，对称轴为y轴， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大， ∵A（-1，y1），B（3，y2），C（0，y3）在二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上， ∴A（-1，y1）关于y轴的对称点（1，y1）也在二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上， ∵0＜1＜3， ∴y3＜y1＜y2. 故答案为：D. 【分析】利用二次函数的解析式可得图象开口向上，对称轴为y轴且当x＞0时，y随x的增大而增大，再利用二次函数的对称性和增减性判断即可. 5．函数的图象，可以由抛物线平移得到，其平移过程是（　　） A．向左1个单位 B．向右1个单位 C．向上1个单位 D．向下1个单位 【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 所以，函数的图象，可以由抛物线向下1个单位平移得到， 故答案为：D． 【分析】利用两个抛物线的顶点坐标可知它们的横坐标相同，纵坐标分别为0和-1，利用二次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移过程 6．函数和为常数，且，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】 假设a0，的图象是开口向上、y轴是对称轴、顶点在y轴正半轴的抛物线， 函数 的图象是经过一、三、二象限的一条直线； 假设a0，的图象是开口向下、y轴是对称轴、顶点在y轴正半轴的抛物线， 函数 的图象是经过二、四、一象限的一条直线. 由此判定如下： A、抛物线开口向上，但顶点在负半轴，不符合题意； B、抛物线开口向上，但顶点在负半轴且直线过第四象限，不符合题意； C、抛物线开口向下，顶点在正半轴，直线过二、一、四象限，符合题意； D、抛物线开口向下，顶点在正半轴，但直线过第三象限，不符合题意。 故选：C 【分析】掌握一次函数和二次函数的图象的性质，找到各选项图中矛盾之处即可找出正确选项。最简洁的思路是：根据抛物线交y轴于正半轴排除AB，正确答案在CD中，a小于0，-a大于0，直线交y轴于正半轴，故选C. 7．抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【解析】【解答】解：将、代入抛物线， 所以 ， 所以， 故选C． 【分析】根据抛物线的图像和性质，将和代入抛物线方程求出、的值比较即可． 8．函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：函数的二次项系数为-1，所以抛物线开口向下， 因为当取时，， 所以抛物线与y轴的交点为（0，1）. 符合条件的图象是B． 故选B． 【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可． 二、（填空题，每小题4分，共20分） 9．函数的最大值是　 　． 【答案】1 【解析】【解答】解：∵， ∴此函数图形开口向下，顶点坐标为， 即当时，函数取最大值1． 故答案为：1． 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案. 10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2-3上，且0＜x1＜x2，则y1　 　y2.（填“＜”或“＞”或“＝”） 【答案】＜ 【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2-3的对称轴为y轴，开口向上， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∴0＜x1＜x2， ∴y1＜y2， 故答案为：＜. 【分析】根据抛物线的性质得出抛物线的对称轴为y轴，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，即可得出答案. 11．把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，则的值是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，即， 故答案为：． 【分析】利用二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可． 12．已知点，在抛物线上，且，则　 　．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【解析】【解答】 抛物线的对称轴为x=0，图象在时单调递增， 故答案为： 【分析】根据二次函数图象性质，图象在时单调递增来判定y的大小。 13．已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，， ， ， 当时，有，解得，， ， ， ， 点是的中点， 为三角形的中位线，即有， ，当、、三点共线等号成立，即， 故的最小值为， 故答案为：． 【分析】求出、两点的坐标，连接，取的中点，连接，，利用勾股定理得到，可得长， 利用中位线定理得出的值，然后根据三角形三遍关系的应用得到的最小值即可． 三、（解答题，每小题8发，共56分） 14.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？ 【答案】画图见解析；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，2），抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，－2）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）；当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的． 【分析】首先利用取值，描点，连线的方法画出二次函数的图像，再根据函数图像得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，通过观察函数图像即可得到它们之间的关系． 【详解】解：如图所示，即为三者的函数图像： 由函数图像可知：函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）； 函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）； 函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-2）； 由此可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k），由此可知当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，二次函数图像的平移，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 15．填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 【答案】见解析 【分析】根据二次函数，，的图象与性质即可完成填表． 【详解】 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 上 y轴 最小值0 y随x增大而增大 下 y轴 最大值1 y随x增大而减小 上 直线 最小值0 y随x增大而增大 【点睛】本题考查了一类特殊的二次函数的图象与性质，掌握这些知识是关键． 、 16．把的图象向上平移2个单位. (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值. 答案：(1)把的图象向上平移2个单位后得到抛物线的解析式为：， 所以它的顶点坐标是，对称轴是直线，即y轴； (2)见解析； (3)如图所示：当时，. 解析：(2)由，得 x -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y -16 -6 0 2 0 -6 -16 -30 其函数图象如图所示： 17．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米.以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求： (1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)有一辆宽2.8米，高1米的农用货车(货物最高处与地面AB的距离)能否通过此隧道？ 答案：(1)，x的取值范围是 (2)能够通过此隧道 解析：(1)设所求函数的解析式为. 由题意，得函数图象经过点， . ∴. ∴所求的二次函数的解析式为. x的取值范围是. (2)当车宽2.8米时，此时CN为1.4米，对应， EN长为，车高米， ∵， ∴农用货车能够通过此隧道. 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上. （1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标. （2）在该抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）抛物线的对称轴是y轴，顶点d的坐标为 （2）不存在 解析：（1）抛物线的对称轴是y轴，顶点d的坐标为. （2）不存在.理由如下： 当时，，解得，， 所以点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故是等腰直角三角形. 假设在抛物线上存在一点M，使， 因为为公共边，， 所以点M和点O关于直线对称， 所以四边形是正方形，所以点M的坐标为. 当时，， 所以点M不在抛物线上，与假设相矛盾， 所以在该抛物线上不存在一点M，使得. 19．综合与实践 如图,是某公园的一座抛物线形拱桥,夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为,秋季水位会下降约,此时水面宽度约为. (1)如图1,以的中点O为原点,所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,求抛物线的解析式； (2)一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过,已知游船的宽度约为,船顶高出水面约为,为保证安全,游船要尽量从桥下正中间通过,且船顶与拱桥至少要间隔,请问当水位处于正常水位(即水面为)时,游船是否能够通过？并说明理由； (3)如图2,国庆节期间为装点节日的气氛,公园决定在拱桥上挂一串小彩灯,这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行,两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称,彩灯两端的最低点到水面的距离为,求这串彩灯的最大长度. 答案：(1)坐标见解析, (2)游船能够通过,见解析 (3)米 解析：(1)设抛物线的解析式为：, 由题意得：拱顶的坐标为,点D的坐标为, , 解得：, ∴抛物线的解析式为：； (2)游船能够通过. 理由：由(1)得：抛物线解析式为：； 当时,, , ∴游船能够通过； (3)如图： 设此时彩灯右边与抛物线交于点, , ∵彩灯两端的最低点到水面的距离为米,秋季水位会下降约米, ∴彩灯的最低点Q在直线上, ∴点N为, , 设彩灯的长度为w, , , 时,w最大,. 答：这串彩灯的最大长度为米. 20．已知点P是抛物线上的任意一点,设点P到直线的距离为,点P到点的距离为. (1)求抛物线的顶点坐标和对称轴; (2)判断的大小关系并证明; (3)若线段的延长线交抛物线于点Q,且线段的长度是m,线段的中点M到x轴的距离是n.直接写出m与n的函数关系式. 答案：(1)(0,1);y轴 (2) (3) 解析：(1)∵抛物线的解析式为, ∴抛物线的顶点坐标是(0,1),对称轴为y轴. (2).证明:设,则,,.. (3)作轴,轴,取的中点N,连接,如图.同(2)可证得, .由梯形中位线得,,所以. B抓核心 三大题型提升练 A夯基础 四大题型提分练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 学科网（北京）股份有限公司 $$