第1章 有理数学科素养试卷2025-2026学年湘教版（2024)七年级数学上册

第1章 有理数 （试卷满分120，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）“白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数表示相反意义的量即可求解，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵茶水温度比低记作， ∴茶水温度比高记作， 故选：． 2．（本题3分）根据某网站统计数据，年2月8日．QucsLMobile数据显示，DeepSeek在1月日的日活跃用户数首次超越豆包，随后在2月1日突破万大关，成为史上最快达成这一里程碑的应用．其中万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，掌握方法是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，利用科学记数法进行记数即可． 【详解】解：万． 故选：C． 3．（本题3分）在，，，，中，负数的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】该题主要考查了负数的定义，有理数的乘方和化简多重符号、绝对值的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 化简后根据负数的定义即可解答． 【详解】解：，，， ∴负数有，，，共3个． 故选：B． 4．（本题3分）下列式子计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的加减乘除运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算错误； D、，故该选项计算正确； 故选：D． 5．（本题3分）将式子省略括号和加号后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，解题的关键是熟练掌握去括号的法则． 利用去括号的法则进行求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 6．（本题3分）下列各组数中，数值相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查相反数、绝对值及有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相反数、绝对值及有理数的乘方进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A.，故本选项不符合题意； B.，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，故本选项符合题意． 故选：D． 7．（本题3分）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零上 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，分别列出各选项中的算式，进行判断即可． 【详解】解：A、由题意，现在该物体在数轴上对应点的数为，该选项错误，不符合题意； B、，故他这两个月合计亏了1万元，符合题意； C、，故现在的气温是零下，该选项错误，不符合题意； D、，故现在水池中的水比原来少了，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 8．（本题3分）下列说法正确的有（    ）个 ①a的相反数是； ②正整数和负整数统称为整数； ③绝对值最小的有理数是零； ④在有理数中没有最大的数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的相关知识，认真掌握正数、负数、整数、分数、相反数、绝对值的定义与特点是解答本题的关键．注意0是整数但不是正数．根据有理数的相关知识：相反数的意义，整数的概念，绝对值的意义和有理数的大小进行解答，即可得解． 【详解】解：①a的相反数是，说法正确； ②正整数和负整数，零统称为整数，原说法错误； ③绝对值最小的有理数是零，说法正确； ④在有理数中没有最大的数，说法正确； 综上：正确的有①③④． 故选：C 9．（本题3分）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示连续的五个整数a，b，c，d，e，且，则以下说法：①点C表示的数字是0；②；③；④．正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴，有理数的加法；根据题意得到，逐一判断即可求出． 【详解】解：∵a，b，c，d，e表示连续的五个整数，且， ∴， ∴，， 于是①②④正确，而③不正确， 故选：D． 10．（本题3分）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时. 【详解】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）的倒数是 ，绝对值是 ，相反数是 ． 【答案】 / / / 【分析】本题考查了倒数、绝对值、相反数，熟记倒数、绝对值、相反数的定义是解题的关键． 根据倒数、绝对值、相反数的定义即可求解． 【详解】解：的倒数是，绝对值是，相反数是． 故答案为：，，． 12．（本题3分）写出“”所依据的运算法则： ． 【答案】减去一个数，等于加这个数的相反数（有理数减法法则）、同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加（有理数加法法则） 【分析】本题考查有理数的加减，题目依据的是有理数减法法则、加法法则． 【详解】解：“”所依据的运算法则：减去一个数，等于加这个数的相反数（有理数减法法则）、同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加（有理数加法法则）． 故答案为：减去一个数，等于加这个数的相反数（有理数减法法则）、同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加（有理数加法法则）． 13．（本题3分）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较两个负数的大小、绝对值，首先化简绝对值符号可得：，再根据绝对值的性质分别求出和的绝对值，根据两个负数绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 14．（本题3分）已知，则的值是 ． 【答案】18 【分析】先根据绝对值的定义，，，求出，的值，即可求出的值. 【详解】解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值性质的逆向运用，掌握绝对值确定数的可能值，符号条件筛选唯一解是解题的关键. 15．（本题3分）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 16．（本题3分）如果，那么 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的有理数的混合运算，解决本题的关键是理解已知信息． 根据已知信息的计算规则，列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 17．（本题3分）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查有理数的运算，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互为相反数的两个数的绝对值相同，结合有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：2或4． 18．（本题3分）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算 【答案】14 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，根据题目中给出的定义代入数字进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：14． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，． 非负分数集合{___________…}；整数集合{___________…}； 有理数集合{___________…}；非正整数集合{___________…}． 【答案】，，；，，；，，，，，，，，；， 【分析】本题主要考查了有理数及其分类．根据分数、整数、负数、正数和有理数的概念分析判断即可． 【详解】解： 非负分数集合{，，，…}； 整数集合{，，，…}； 有理数集合{，，，，，，，，，…}； 非正整数集合{，，…}． 20．（本题6分）如图所示，在数轴上表示下列各数：，0，，2，，．并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【答案】见解析； 【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 先画数轴，注意数轴的三要素：正方向、原点，单位长度，再把数表在数轴上，最后用“”连接即可解题． 【详解】解：在数轴上表示各数，如下： 按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来为： ． 21．（本题8分）计算： (1)． (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后进行加减计算； （3）利用乘法分配律计算； （4）先计算乘方，和绝对值，然后进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．（本题8分）某宾馆餐厅购进10袋大米，若每袋以50千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： ． (1)根据记录，请求出一袋大米的平均质量； (2)若每千克大米的价格是2元，购进这10袋大米需要多少钱． 【答案】(1)一袋大米的平均质量为 (2)购进10袋大米需要998元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数四则运算的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）求出记录数据的代数和，得出10袋大米的总质量，再除以10即可求解； （2）将10袋大米的总质量乘以每千克大米的价格，即可解答． 【详解】（1）解： 答：一袋大米的平均质量为； （2）解：（元） 答：购进10袋大米需要998元． 23．（本题9分）已知，． (1)当时，求的值． (2)当时，求mn的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了有理数的运算，绝对值的性质，解决本题的关键是掌握有理数和绝对值的运算法则，能够正确的分类讨论． （1）由已知条件分别求出根据可得或求出 （2）根据可得或，求出 【详解】（1）解： 当时，此时 当时，此时 综上，的值为或． （2）解 当时，此时 当时，此时 综上，的值为或． 24．（本题9分）如图是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下列问题． 计算 解：原式=……第一步 ……第二步 ……第三步 回答： (1)解题过程中有两处错误： 第1处是第______步，错误的原因是___________； 第2处是第______步，错误的原因是___________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二；运算顺序错误；二；符号处理错误； (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数混合运算法则以及运算顺序判断即可； （2）根据有理数混合运算法则以及运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）根据题意可知，第二步错误，错误原因是运算顺序错误； 第二步错误，错误原因是符号处理错误； 故答案为：二；运算顺序错误；二；符号处理错误； （2）解： ． 25．（本题10分）阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式． 解法②：原式． 解法③：原式的倒数．所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法__________是错误的；（填序号） (2)请你选择喜欢的解法计算：． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题主要考查的是有理数的除法运算，有理数乘法的分配律的应用，熟练掌握运算法则与运算顺序是解题的关键． （1）由除法没有分配律可判断解法①是错误的；； （2）利用题干解法③计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的，因为除法没有分配律，所以解法①没有计算依据，故错误， 故答案为：①； （2）解：原式的倒数 ， 故． 26．（本题10分）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数 （试卷满分120，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）“白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高记作（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）根据某网站统计数据，年2月8日．QucsLMobile数据显示，DeepSeek在1月日的日活跃用户数首次超越豆包，随后在2月1日突破万大关，成为史上最快达成这一里程碑的应用．其中万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）在，，，，中，负数的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（本题3分）下列式子计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）将式子省略括号和加号后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）下列各组数中，数值相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 7．（本题3分）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零上 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 8．（本题3分）下列说法正确的有（    ）个 ①a的相反数是； ②正整数和负整数统称为整数； ③绝对值最小的有理数是零； ④在有理数中没有最大的数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（本题3分）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示连续的五个整数a，b，c，d，e，且，则以下说法：①点C表示的数字是0；②；③；④．正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．①②④ 10．（本题3分）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）的倒数是 ，绝对值是 ，相反数是 ． 12．（本题3分）写出“”所依据的运算法则： ． 13．（本题3分）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 14．（本题3分）已知，则的值是 ． 15．（本题3分）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 16．（本题3分）如果，那么 17．（本题3分）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 18．（本题3分）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，． 非负分数集合{___________…}；整数集合{___________…}； 有理数集合{___________…}；非正整数集合{___________…}． 20．（本题6分）如图所示，在数轴上表示下列各数：，0，，2，，．并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 21．（本题8分）计算： (1)． (2) (3) (4) 22．（本题8分）某宾馆餐厅购进10袋大米，若每袋以50千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： ． (1)根据记录，请求出一袋大米的平均质量； (2)若每千克大米的价格是2元，购进这10袋大米需要多少钱． 23．（本题9分）已知，． (1)当时，求的值． (2)当时，求mn的值． 24．（本题9分）如图是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下列问题． 计算 解：原式=……第一步 ……第二步 ……第三步 回答： (1)解题过程中有两处错误： 第1处是第______步，错误的原因是___________； 第2处是第______步，错误的原因是___________； (2)请写出正确的解答过程． 25．（本题10分）阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式． 解法②：原式． 解法③：原式的倒数．所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法__________是错误的；（填序号） (2)请你选择喜欢的解法计算：． 26．（本题10分）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $