专题05 全等三角形章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题05 三角形章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 利用全等三角形的性质探究边的关系 题型二 全等三角形翻折问题 题型三 全等三角形旋转问题 题型四 全等三角形最值问题 题型五 全等三角形尺规作图问题 题型六 全等三角形中新定义问题 题型七 角平分线性质的实际应用 题型八 全等三角形判定与性质综合应用 【经典例题一 利用全等三角形的性质探究边的关系】 1．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．请说明与的关系并证明你的结论． 2．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，已知是的边和上的高，Q为的延长线上一点，P为上一点，且，．请写出与的关系，并说明理由． 3．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）（1）如图1，在四边形中，，点E是中点，若是的平分线，可判断：之间的等量关系是__________；    （2）如图2，在四边形中，，，点E是边的中点，，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，点N是延长线上一点，连接，点M是的中点，且平分，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）课本再现： (1)由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，是的外角，则 ，所以 ．（填“”、“”或“”） (2)实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：．”并作出了辅助线：作的平分线，在上截取，连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． 证明：作的平分线，在上截取，连接． 5．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计图案，小明在设计图案的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】 （1）小明将绕点A在平面内自由旋转，连接、后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段、的数量关系，并证明； 【深入探究】 （2）若，旋转过程中，当点D、点E和的中点O三点共线时，如图2，请直接写出线段、和的数量关系________．（提示：在线段上截取线段，使并连接） 【应用探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，，则________（直接写出结果） 【拓展探究】（4）如图3，当，，，则________（直接写出结果） 7．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践课上，某数学小组对“图形中两条互相垂直的线段间的关系”进行探究，请你参与． (1)观察发现 如图，在正方形中，点、、、分别在边、、、上，且．过点作于，过点作于，则________；和的数量关系是________； (2)迁移探究 将正方形换成矩形继续进行探究： 如图，在矩形中，．点、、、分别在边、、、上，且．（）中和的数量关系是否仍然成立？并说明理由． (3)拓展应用 如图，在中，，，点、分别在边、上，且．若，直接写出的长． 【经典例题二 全等三角形翻折问题】 8．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，在矩形中，点E为边上一点，将沿翻折到，点B恰好落在边上的点F处．延长交于点G，连接．求证：四边形BCFG为菱形； 9．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，已知，点D在边上，点E在边上，以为对称轴翻折三角形，使顶点C和A重合，连接．若的周长为30，，求的周长． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，点D为边上一点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处． (1)用无刻度的直尺和圆规作出直线与点E； (2)连接，若，求的度数． 12．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等腰直角三角形； (3)在图中，你能通过平移、翻折、旋转等方式使与完全重合吗？ 13．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：    (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，试求出的长． 14．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求的长； (3)如图③，直线分别交的边，于点E，F，将沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，则五边形的周长为______． 【经典例题三 全等三角形旋转问题】 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且． (1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角． (2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 16．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，中，，，，点是线段的中点，把按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合． (1)直接写出旋转中心和旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 17．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，是圆O的直径，取一把直角三角尺，按如图位置摆放，其中直角顶点放在圆心O上，两条直角边与圆O相交于点M和点N，作，垂足为点E，，垂足为点 (1)试说明的理由． (2)如果将这把直角三角尺绕圆心O旋转（点M，N与点A，B都不重合），那么与之间的数量关系是否会发生变化？如果发生变化，请写出它们的数量关系；如果不发生变化，请说明理由． 18．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 19．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图①，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点M，连接、．      (1)探究线段的关系，并加以证明； (2)其他条件不变，将正方形绕点C旋转任意角度后（如图②），探究线段的关系，并加以证明． 20．（24-25八年级上·重庆开州·阶段练习）如图1，是等腰直角三角形，其中，点D是边上一点，以为边向外作正方形，连接，将正方形绕点C顺时针旋转，如图2所示． (1)旋转过程中线段与之间存在怎样的关系，请说明理由． (2)当且时，求的面积． 21．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）如图，在正方形中，，写出与的数量关系？证明结论． （2）如图，在中，，，E，F分别是上两点，，写出之间的数量关系，并证明． （3）若将（2）中的绕点A旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论，证明． 【经典例题四 全等三角形最值问题】 22．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，且． (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 23．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积． 24．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动． (1)求线段DP的最小值； (2)当DP最小时，求CDP的面积． 25．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）新定义：若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形． 　 (1)下列四边形为对直四边形的是______（写出所有正确的序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图，在对直四边形ABCD中，已知，O为AC的中点． ①求证：BD的垂直平分线经过点O； ②若AB＝6，BC＝8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度． 26．（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示） 27．（2025·江苏扬州·模拟预测）在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究： (1)如图1，梯形中，，点是边的中点，连接，并延长交的延长线于点．求证：点E是的中点； (2)如图2，内部有一定点，若过点的直线与角的两边分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线，使得点P是线段的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，小明将直线绕着点旋转的过程中发现，的面积存在最小值，探索当在什么位置时，的面积最小，并说明理由． 28．（24-25八年级上·陕西西安·期中）问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 【经典例题五 全等三角形尺规作图问题】 29．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 30．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 31．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在答题卡指定区域尺规作图．不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据： 32．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如题图，已知． (1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (2)若，比的2倍小，求的度数． 33．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 34．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，每个小方格都是边长为1 的正方形，网格中有三个格点A、B、P．按要求进行下列用直尺作图，并标出相应的字母． ① 画线段，且； ② 在上找一点N，使线段的长度最短． （2）如图2，已知，点M在边上，利用直尺和圆规在上作一点N，使．（不写作法，保留作图痕迹） 35．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上，用无刻度直尺画图： (1)①过点C画；②过点B画，垂足为N； (2)在图①中，线段 的长度表示点A到的距离； (3)已知：，利用直尺和圆规作图；在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【经典例题六 全等三角形中新定义问题】 36．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，是中的遥望角．    (1)直接写出与的数量关系__________； (2)连接，猜想与的数量关系，并说明理由． 37．（24-25八年级上·江苏·单元测试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE． (2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，求证：∠ABD＝∠ACE． 38．（24-25八年级上·山西长治·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 筝形定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 如图，若，则四边形是筝形．    任务：如图，是的角平分线，且．求证：四边形是筝形．    39．（24-25八年级上·安徽池州·开学考试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 40．（2025·贵州遵义·模拟预测）综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 41．（24-25八年级上·全国·期末）定义：如图1，在△ABC中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系_______； ②如图3，当，时，则长为_______． 猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 42．（24-25八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究． 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【经典例题七 角平分线性质的实际应用】 43．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？ 44．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 45．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 46．（24-25八年级·全国·假期作业）根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． 47．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点． （1）求证：DE＝DF； （2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积． 48．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，求三角形的面积， 某学习小组经过合作交流，给出了下列的解题思路： (1)计算：按照他们的解题思路计算的面积； (2)应用：一块三角形种植园三边长分别为，现在需要在种植园内修建一个到三边距离相等的观测站，则观测站到三边的距离为多少？ 49．（2025·贵州黔东南·模拟预测）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD． 【探究发现】 （1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC； 【拓展迁移】 （2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝． ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC＝10，求四边形ABCD的面积． 【经典例题八 全等三角形判定与性质综合应用】 50．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 51．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 52．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数． 53．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． (1)其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）； A．如图1，过点C作 B．如图2，作 C．如图3，过上一点D作， D．如图4，过点C作 (2)请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明． 54．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）某工厂有一批斜边长为200厘米的等腰直角三角形的木板，现将三块这样的木板按图1的方式组合起来，然后沿着平行于的虚线将切割下来，再将切割下来的合理地拼接到的右侧，就可加工成一个如图2的钻石型五边形展台，材料正好没有剩余． (1)切割线应距离 厘米． (2)假设切割木板的速度保持不变，一位同学想通过只切割其中一块木板（但可多条线路进行切割），重新设计切割和拼接的方案，也得到与图2中同样大小的钻石型五边形展台，但切割的时间要减少，请你帮他在图3中用画出合理的切割线（直线，可画不止一条），此时切割长度比图1中切割的长度少 厘米． 55．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，小刚站在河边的点处，在河对面（小刚的正北方向）的点处有一电线塔．他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处．然后他左转直行，从点处开始计步，当小刚到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他恰好走了步，并且小刚一步大约米．由此小刚估计出了在点处时他与电视塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． (1)判断小刚的做法是否合理．_______（填“合理”或“不合理”） (2)若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 56．（24-25八年级上·河南南阳·期末）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目： 如图，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．    (1)判断与的大小关系，并直接写出你的结论． (2)试探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)王老师在这一题的基础上追加了一问：试求的度数．聪明的同学们你会解决吗？请写出你的求解过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 利用全等三角形的性质探究边的关系 题型二 全等三角形翻折问题 题型三 全等三角形旋转问题 题型四 全等三角形最值问题 题型五 全等三角形尺规作图问题 题型六 全等三角形中新定义问题 题型七 角平分线性质的实际应用 题型八 全等三角形判定与性质综合应用 【经典例题一 利用全等三角形的性质探究边的关系】 1．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．请说明与的关系并证明你的结论． 【答案】与互相垂直，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定以及全等三角形的判定与性质，由题意得，可证，得，得出结论是线段的垂直平分线，即可求解； 【详解】解：与互相垂，理由如下： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴与互相垂直， 2．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，已知是的边和上的高，Q为的延长线上一点，P为上一点，且，．请写出与的关系，并说明理由． 【答案】、，理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意可知，因此可得出，进而证明，从而得到，通过等量代换得，即可得出结论． 【详解】解：，，理由如下： 由题意得， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， 综上所述：与的数量关系为，位置关系为． 3．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）（1）如图1，在四边形中，，点E是中点，若是的平分线，可判断：之间的等量关系是__________；    （2）如图2，在四边形中，，，点E是边的中点，，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，点N是延长线上一点，连接，点M是的中点，且平分，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，角平分线定义，平行线性质等． （1）延长AE交DC的延长线于点F，证明，再利用角平分线定义即可得到； （2）延长交的延长线于点F，由平行线性质得，，再证明，继而可得本题答案； （3）延长相交于点P，同（1）得，再利用平行线性质得，继而得到本题答案． 【详解】解：（1）延长AE交DC的延长线于点F，   ， ，， 点E是的中点， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点F，   ， ，， 点E是的中点， ， ， ，， ，， ， ，， ； （3）．证明如下： 延长相交于点P，    ∴， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）课本再现： (1)由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，是的外角，则 ，所以 ．（填“”、“”或“”） (2)实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：．”并作出了辅助线：作的平分线，在上截取，连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． 证明：作的平分线，在上截取，连接． …… 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】（1）根据三角形外角的定义即可判断； （2）先证明，再由外角定义即可证得； 本题考查三角形内角和定理，外角的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由三角形外角的定义可知， ，， 故答案为：；； （2）证明：是的平分线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； 5．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 【答案】（1）；3（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）2 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴ 可得， 即：， ∴，的可能取值为3 故答案为：；3（答案不唯一） （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解： 由（2）可得：， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计图案，小明在设计图案的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】 （1）小明将绕点A在平面内自由旋转，连接、后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段、的数量关系，并证明； 【深入探究】 （2）若，旋转过程中，当点D、点E和的中点O三点共线时，如图2，请直接写出线段、和的数量关系________．（提示：在线段上截取线段，使并连接） 【应用探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，，则________（直接写出结果） 【拓展探究】（4）如图3，当，，，则________（直接写出结果） 【答案】（1）；理由见详解 （2），理由见详解 （3） （4） 【分析】（1）证明 即可； （2）过C作，证明，则，，由已知得，，由勾股定理得，进而得到． （3）由直角三角形的性质可分别求得、，进而求得，由即可求得结果： （4）设，则由（1）可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，，则，由勾股定理得，在中，，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得，再由即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过C作， 则， ∵O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． （3）∵，，， ∴， 由勾股定理得， 由勾股定理得， 由（2）知， ∵， ∴， 即， 故答案为：． （4）设，则， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 过点E作交延长线于点H， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴由勾股定理得：， 在中，，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键． 7．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践课上，某数学小组对“图形中两条互相垂直的线段间的关系”进行探究，请你参与． (1)观察发现 如图，在正方形中，点、、、分别在边、、、上，且．过点作于，过点作于，则________；和的数量关系是________； (2)迁移探究 将正方形换成矩形继续进行探究： 如图，在矩形中，．点、、、分别在边、、、上，且．（）中和的数量关系是否仍然成立？并说明理由． (3)拓展应用 如图，在中，，，点、分别在边、上，且．若，直接写出的长． 【答案】(1)，； (2)不成立，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与交于点，由四边形是正方形，，，则，，再证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作于，过点作于，设与交于点，由四边形是矩形，，，则，然后通过同角的余角相等得出，从而可证明，最后由相似三角形的性质即可求解； （）过，交延长线于点，则，证明，通过性质可证明，然后判定，由相似三角形的性质可得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图，设与交于点， ∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：不成立，理由如下， 如图，过点作于，过点作于，设与交于点， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过，交延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 全等三角形翻折问题】 8．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，在矩形中，点E为边上一点，将沿翻折到，点B恰好落在边上的点F处．延长交于点G，连接．求证：四边形BCFG为菱形； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，先由折叠的性质得到，，再由矩形和平行线的性质，，据此可证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进一步可证明四边形是菱形． 【详解】证明：由翻折可知：，， 四边形是矩形， ∴，即， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 9．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，已知，点D在边上，点E在边上，以为对称轴翻折三角形，使顶点C和A重合，连接．若的周长为30，，求的周长． 【答案】22 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用翻折变换的性质得出，进而得出，再求出，继而利用可得的周长． 【详解】解：由折叠可知：垂直平分，， ∴， ∵的周长为30， 则， 故的周长． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据折叠，得到，得到，利用平角的定义和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，点D为边上一点，将沿直线翻折，使点C落在边上的点E处． (1)用无刻度的直尺和圆规作出直线与点E； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查折叠的性质，尺规作图—作角平分线和线段，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，得到直线即可； （2）折叠得到，三角形的外角求出的度数，再根据折叠的性质，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）由折叠可得，，， ∵，， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等腰直角三角形； (3)在图中，你能通过平移、翻折、旋转等方式使与完全重合吗？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转和平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据全等三角形的性质得出，然后根据线段和差关系即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理可求出，等量代换可求出，根据三角形的内角和定理可求出，最后根据等腰直角三角形的定义判断即可； （3）根据旋转和平移的性质即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 又，D，E三点在同一条直线上， ， ． （2）证明：， ， ， ， 即． 是等腰直角三角形； （3）解：答案不唯一，如：将先绕点D顺时针旋转与相同的度数，再向下平移与线段相同的长度，即可与完全重合． 13．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：    (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，试求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或3 【分析】（1）根据题意得，，得，，根据得，根据得，则，，可得四边形是矩形，根据得，即可得； （2）设，根据，，矩形是正方形得，，，根据，得，，则， 在中，根据勾股定理得，进行计算即可得． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：设， ∵，，矩形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， 即或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 14．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求的长； (3)如图③，直线分别交的边，于点E，F，将沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，则五边形的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由“”可证，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，即可证平行四边形是菱形； （2）连接，由折叠的性质可得，由勾股定理可求，，再由，可求出的长； （3）过点A作，交的延长线于N，过点F作于M， 由等腰直角三角形的性质可求，由勾股定理可求，再利用勾股定理可求的长，再求出五边形的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ， ∵垂直平分， ∴， ∴， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接， 由折叠的性质得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形 ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点A作，交的延长线于N，过点F作于M， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ， ∵， ， ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴五边形的周长为 ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 【经典例题三 全等三角形旋转问题】 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且． (1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角． (2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，对应边：与与与；对应角：与与与 (2)垂直，见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键： （1）根据全等三角形的定义，以及全等三角形的性质，进行作答即可； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：； ∵绕着点B旋转（顺时针）到， ∴， ∴对应边为：与与与； 对应角为：与与与； （2）直线与相互垂直，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相互垂直． 16．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，中，，，，点是线段的中点，把按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合． (1)直接写出旋转中心和旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)点A，旋转角度是 (2)， 【分析】（1）根据旋转的性质可知对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，所以可求出，从而确定旋转角度； （2）利用周角的定义可求出，全等的性质可知． 【详解】（1）∵按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合， ∴可判断出旋转中心为：点A， ∵中，，， ∴根据旋转的性质可知：旋转角， ∴旋转角度是； （2）由旋转可知：， ∴，，， ∴． ∵为的中点，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 17．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，是圆O的直径，取一把直角三角尺，按如图位置摆放，其中直角顶点放在圆心O上，两条直角边与圆O相交于点M和点N，作，垂足为点E，，垂足为点 (1)试说明的理由． (2)如果将这把直角三角尺绕圆心O旋转（点M，N与点A，B都不重合），那么与之间的数量关系是否会发生变化？如果发生变化，请写出它们的数量关系；如果不发生变化，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)与的数量关系发生变化，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意可得，，再证明，则可证明，得到，，再由线段的和差关系即可证明结论； （2）分图1，图2，图3三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图1所示， 三角尺的两条直角边分别与交于M、N两点；直角顶点在圆心O上， ，， ，， ， ， ， ， ，， ； （2）与的数量关系发生变化 当E、F在点O两侧时，如图1所示，则； 当E、F在点O同侧时，同（1）可证≌， ，， 如图2所示，当时，， 如图3所示，当时， 18．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)结论仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用证明可得，，延长交于， 由，即可得出，进而得出结论； （）与 （）同理可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图①，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点M，连接、．      (1)探究线段的关系，并加以证明； (2)其他条件不变，将正方形绕点C旋转任意角度后（如图②），探究线段的关系，并加以证明． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)，，证明见解析 【分析】（1）延长交于点N，连接，易证，证得，再证明，得到．从而根据等腰直角三角形的判定与性质证得，； （2）延长到N，使，连接，延长与延长线交于点H．证明，即可根据等腰直角三角形的判定与性质得到线段的位置及数量关系． 【详解】（1）解：关系：，． 证明：如图，延长交于点N，连接， ∵正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，   ∴， 又∵正方形， ∴，，， 又∵正方形， ∴． ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴M为的中点， ∴， ∴，． （2）解：，， 证明：如图，延长到N，使，连接，延长与延长线交于点H． 在与中， ∵， ∴， ∴，， 又∵正方形、，   ∴，，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 在与中，   ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴M为的中点， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质和旋转的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 20．（24-25八年级上·重庆开州·阶段练习）如图1，是等腰直角三角形，其中，点D是边上一点，以为边向外作正方形，连接，将正方形绕点C顺时针旋转，如图2所示． (1)旋转过程中线段与之间存在怎样的关系，请说明理由． (2)当且时，求的面积． 【答案】(1)，，见解析 (2) 【分析】（1）证明，则，，如图1，延长交于，可求，进而可得； （2）证明，则，如图2，作的延长线于，由勾股定理得，，可求，根据，计算求解，进而可得的面积． 【详解】（1）解：，，理由如下； 由题意知，， ∵正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， 如图1，延长交于， ∴， ∴； （2）解：由题意知，，即， 又∵，， ∴， ∴， 如图2，作的延长线于， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理是解题的关键． 21．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）如图，在正方形中，，写出与的数量关系？证明结论． （2）如图，在中，，，E，F分别是上两点，，写出之间的数量关系，并证明． （3）若将（2）中的绕点A旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论，证明． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）仍然成立，理由见解析 【分析】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形判定和性质、勾股定理等知识， （1）把绕点A顺时针旋转至，使与重合，再证明，进而得到，即可得； （2）将绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质，可知，得到，得到，证，利用得到； （3）将绕点A逆时针旋转使得与重合，点E的对应点为点G，同上的方法证得，再证明即可求解； 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， 把绕点A顺时针旋转至，使与重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、B、P共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：（2），证明如下： ∵， ∴， 将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 解：（3）仍然成立，理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转使得与重合，点E的对应点为点G， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【经典例题四 全等三角形最值问题】 22．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，且． (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． （1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，再利用外角的性质求解； （2）根据垂线段最短得到当时，最小，再利用角平分线的性质求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵点F是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分， ∴． 23．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积． 【答案】△PGE的面积为12． 【分析】根据角平分线的性质和直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，PF的最小值为4cm， ∴PE=4cm ∵OE=12cm ∴△POE的面积= cm2 又点G是线段OP的中点 ∴cm2 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出PE=4． 24．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动． (1)求线段DP的最小值； (2)当DP最小时，求CDP的面积． 【答案】(1)DP的最小值是3； (2)当DP最小时，△CDP的面积为12． 【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论； （2）由勾股定理得BD=5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，则CP=BC-PB=8，然后由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小， ∵BD平分∠ABC，∠A=90°， 当DP⊥BC时，DP=AD， ∵AD=3， ∴DP的最小值是3； （2）解：∵∠A=90°， ∴BD==5， 当DP最小时，DP=3，DP⊥BC， 则∠DPB=∠DPC=90°， ∴PB==4， ∴CP=BC-PB=12-4=8， ∴△CDP的面积=CP×DP=×8×3=12， 即当DP最小时，△CDP的面积为12． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键． 25．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）新定义：若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形． 　 (1)下列四边形为对直四边形的是______（写出所有正确的序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图，在对直四边形ABCD中，已知，O为AC的中点． ①求证：BD的垂直平分线经过点O； ②若AB＝6，BC＝8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度． 【答案】(1)②④ (2)①见解析；②图见解析， 【分析】（1）直接根据对直四边形的定义判断即可； （2）①连接OB、OD，利用直角三角形的性质求出，，证明OB＝OD即可； ②设AD＝x，CD＝y，根据可求出的最大面积为25，此时AD＝CD，进而可得的最大值为49，如图，当AD＝CD时，过点D作BA、BC的垂线段，分别交BA的延长线、BC于点E、F，证明，可得四边形EBFD是正方形，然后利用正方形的性质和勾股定理求出BD即可． 【详解】（1）解：所给四边形中，矩形和正方形的一组对角均为直角，是对直四边形， 故答案为：②④； （2）①连接OB、OD， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，O为AC的中点． ∴，， ∴OB＝OD， ∴点O在对角线BD的垂直平分线上； ②设AD＝x，CD＝y，则的面积， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大面积为25，此时AD＝CD， ∵，， ∴当取最大值25时，取最大值49，此时AD＝CD， 如图，当AD＝CD时，过点D作BA、BC的垂线段，分别交BA的延长线、BC于点E、F， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴DE＝DF， ∴四边形EBFD是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了新定义“对直四边形”的理解、掌握和运用，同时还考查了直角三角形斜边中线的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、完全平方式的应用以及勾股定理等，解本题的关键是作出图形，利用数形结合的数学思想解答． 26．（24-25八年级上·重庆南川·期末）在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示） 【答案】(1)8 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点G，于点H，根据角平分线的性质及三角形面积法求解即可； （2）过点D作，交于点N，利用全等三角形的判定和性质证明即可； （3）延长交于点K，则，再倍长至点，过点作于点Q，交于点P，利用轴对称的性质及图形求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点G，于点H，如图所示： ∵， ∴，即 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴； （2）过点D作，交于点N，如图所示：    ∴， ∵，即 ∴ 在和中 ∴ ∴     ∵， ∴ 即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴     在和中 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴； （3），理由如下：    由（2）可知 延长交于点K，则 再倍长至点，过点作于点Q，交于点P 由轴对称性得 ∴最小，即 在中， ∴ 又在中， ∴． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，理解题意，作出相应辅助线综合运用这些知识点是解题关键． 27．（2025·江苏扬州·模拟预测）在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究： (1)如图1，梯形中，，点是边的中点，连接，并延长交的延长线于点．求证：点E是的中点； (2)如图2，内部有一定点，若过点的直线与角的两边分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线，使得点P是线段的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，小明将直线绕着点旋转的过程中发现，的面积存在最小值，探索当在什么位置时，的面积最小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)当为的中点时，的面积最小，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图—作平行线，作线段： （1）证明，得到即可； （2）作射线，截取，作，交于点，连接并延长，交于点即可； （3）过点的另一条直线，分别交于点，过点作，交于点，当为的中点时，可得，进而推出，根据，推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴点E是的中点； （2）如图，即为所求； 由作图可知：，， 同（1）法可得：， ∴， ∴点P是线段的中点； （3）当为的中点时，的面积最小，理由如下： 过点的另一条直线，分别交于点，不妨设，如图， 过点作，交于点， 当为的中点时，同（1）法可知：， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， 故当为的中点时，的面积最小． 28．（24-25八年级上·陕西西安·期中）问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）能达到， 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，最短距离问题，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据三点共线，两点之间，线段最短即可求解； （2）根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，确定当A、F、G三点共线时，最小，结合图形，利用各角之间关系即可求解． 【详解】解：（1）∵两点之间，线段最短， ∴当A、P、B三点共线时，取得最小值， 即； （2）证明：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当A、F、G三点共线时，最小，此时，点F位置如图所示： 此时，， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题五 全等三角形尺规作图问题】 29．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及尺规作图，掌握全等三角形的判定方法及作一条线段等于已知线段是解题关键，在延长线上截取，在延长线上截取，连接即可得出． 【详解】解：如下图，即为所求作． 30．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角的方法作出，即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【详解】因为 所以 如图所示，即为所求． 31．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在答题卡指定区域尺规作图．不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，作全等三角形，根据题意方法一利用作一条线段等于已知线段，根据边边边可得出全等三角形；方法二，根据作一条线段等于已知线段及作一个角等于已知角，作图即可，利用边角边可得出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和基本的作图方法是解题关键． 【详解】 方法一 方法二 作图区域： 作图区域： 结论：如图，为所求 结论：如图，为所求 作图依据：边边边或． 作图依据：边角边或． 32．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如题图，已知． (1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (2)若，比的2倍小，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点E、F，再以点C为圆心，相同的半径作弧，交于点G，以点G为圆心，为半径作弧，交另一条弧于点O，连接并延长，再以点C为圆心，为半径作弧，交射线于点D，即可得，，连接，再利用“” ，即可求解； （2）由题意得，根据三角形内角和定理可得，求得，从而可得，由（1）可得，，即可求解． 【详解】（1）解：以点C为顶点，为的一条边，作，， 在和中， ， ∴． （2）解：∵比的2倍小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 【点睛】本题考查作图−三角形、全等三角形的判定、三角形内角和定理及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定和作三角形方法是解题的关键． 33．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． （1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可； （2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 34．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，每个小方格都是边长为1 的正方形，网格中有三个格点A、B、P．按要求进行下列用直尺作图，并标出相应的字母． ① 画线段，且； ② 在上找一点N，使线段的长度最短． （2）如图2，已知，点M在边上，利用直尺和圆规在上作一点N，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题考查网格作图，尺规作图，作平行线掌握知识点是解题的关键。 （1）根据网格作图的特点，即可作图解答； （2）利用尺规作图作出，即可解答。 【详解】解：（1）如图所示， ∴，； （2）作图如图 作出， ∴． 35．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上，用无刻度直尺画图： (1)①过点C画；②过点B画，垂足为N； (2)在图①中，线段 的长度表示点A到的距离； (3)已知：，利用直尺和圆规作图；在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线，垂线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）在的右侧作即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）解：在图①中，线段的长度表示点A到的距离； 故答案为：； （3）解：图形如图②所示． 【经典例题六 全等三角形中新定义问题】 36．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，是中的遥望角．    (1)直接写出与的数量关系__________； (2)连接，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据和即可求得答案． （2）过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，，可证得，，进而可得到平分，进而可求得答案． 【详解】（1）∵，，， ∴． 又， ∴． 故答案为：． （2），理由见解析． 如图所示，过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，．    ∵平分，， ∴． 同理可得． ∴． ∴平分． ∴． 又， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义和性质、三角形的外角，牢记角平分线的定义和性质是解题的关键． 37．（24-25八年级上·江苏·单元测试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE． (2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，求证：∠ABD＝∠ACE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC=∠DAE ，AB＝AC，AD＝AE，从而得到∠CAE＝∠BAD，利用SAS证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC=∠DAE ，AB＝AC，AD＝AE，从而得到∠CAE＝∠BAD，利用SAS证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质即可得解； 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）证明：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE， ∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE． 【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义及熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 38．（24-25八年级上·山西长治·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 筝形定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 如图，若，则四边形是筝形．    任务：如图，是的角平分线，且．求证：四边形是筝形．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，本题先证明，结合，，证明，可得，结合新定义可得结论． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴四边形是筝形． 39．（24-25八年级上·安徽池州·开学考试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)18 【分析】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）证明，即可得； （2）延长至点P，使，证明，得到，根据邻补角的定义证明即可； （3）连接，首先得到，然后证明出，推出，然后得到，即可． 【详解】（1）证明：∵和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点， 和都是等腰三角形， ，，， ， 即 ， ； （2）理由如下：如图2，延长至点P，使， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：连接，如图3所示： ，， ， ∵和互为“兄弟三角形”， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， 是公共部分， ． 40．（2025·贵州遵义·模拟预测）综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 【答案】(1)1.5 (2)2或3 (3)见详解 【分析】（1）利用三角形中线的性质即可解决问题 （2）证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． （3）过点作，交延长线于点H，先证明，则，，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【详解】（1）如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与不全等与为积等三角形， ∴．， ∴． 当时，与为积等三角形． （2）如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． （3）如图，过点作，交延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与为积等三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 41．（24-25八年级上·全国·期末）定义：如图1，在△ABC中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系_______； ②如图3，当，时，则长为_______． 猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4；（2），证明见解析． 【分析】（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）是等边三角形， ， 是的“旋补三角形”， ， ， 是的中线， ， ∴， ， 故答案为：； 是的“旋补三角形”， ， 在和中， ， ）， ， ，是的“旋补中线”， ， 故答案为：4； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， 是的中线， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ADBC． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 42．（24-25八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究． 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)相等 (3) 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到，进而得到，再证明即可得到答案； （2）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的对应高相等得到，根据角平分线的判定定理证明结论． （3）证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可知，最后依据可得到、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：，理由如下： 如图，过点A作于G，于H， ∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴平分，即； （3）解：， 同理得，， ∴， 在等腰中，， ∴N为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键． 【经典例题七 角平分线性质的实际应用】 43．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？ 【答案】1m 【分析】先连接角平分线交点与各个定点，然后过交点作各个边的高，根据三角形的面积和周长来求交点到各个边的距离． 【详解】如图，连接IA，IB，IC，作于一点D，于点E， 于点F ∵I为的三条角平分线的交点 ∴IA，IB，IC分别为三个内角的角平分线 ∴ID=IE=IF ∵，㎡ ∴ 即 ∴ ∵m ∴ ∴m ∴ID=IE=IF=1m 即点I到每条边的距离为1m． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积联系三角形的周长求得高． 44．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 【答案】4个；图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图所示，即为加油站的位置，共有4个符合要求的位置． 45．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【答案】， 【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可． 【详解】解：过点分别作，是垂足． 由，得，， 是的平分线， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键． 46．（24-25八年级·全国·假期作业）根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． 【答案】(1)= (2)见解析 【分析】（1）根据题目挖掘条件证明△ACD≌△ABD即可 （2）在AB边上取点E，使AC=AE，证明△ACD≌△AED，利用全等对应角和∠ABD+∠ACD=180°得到∠DEB=∠B，从而推出结论 【详解】（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90° ∴∠C=90° ∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠BAD ∵AD=AD ∴△ACD≌△ABD（AAS） ∴BD=CD （2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE ∵AD平分∠BAC ∴∠CAD=∠EAD ∵AD=AD，AC=AE ∴△ACD≌△AED（SAS） ∴DC=DE，∠AED=∠C ∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180° ∴∠DEB=∠B ∴DE=DB ∴DB=DC 【点睛】本题考查全等三角形的证明，以及角平分线常见辅助线；注意第二小题难点在于辅助线 47．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点． （1）求证：DE＝DF； （2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【分析】（1）根据角平分线的性质直接可得； （2）根据已知条件证明，，再根据全等三角形的面积相等，即可求得. 【详解】解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF； （2）在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质＼全等三角形的判断和性质；解决本题的关键是掌握好全等三角形的判定和性质． 48．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，求三角形的面积， 某学习小组经过合作交流，给出了下列的解题思路： (1)计算：按照他们的解题思路计算的面积； (2)应用：一块三角形种植园三边长分别为，现在需要在种植园内修建一个到三边距离相等的观测站，则观测站到三边的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）中，根据勾股定理求得，在中，根据勾股定理求得，代入数据列出方程，解方程即可； （2）按照（1）的方法先求得面积，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，建立方程解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则 ∵是边上的高， ∴和都是直角三角形． 在中，根据勾股定理， 在中，根据勾股定理，得 ∴ 解得：，即． ∴， ∴ ∴ （2）解：如图， 设，则 ∵是边上的高， ∴和都是直角三角形． 在中，根据勾股定理，， 在中，根据勾股定理，得， ∴ 解得：，即．， ∴， ∴， 依题意，设观测站到三边的距离为多少， ∴， 解得：， 即观测站到三边的距离为多少． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 49．（2025·贵州黔东南·模拟预测）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD． 【探究发现】 （1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC； 【拓展迁移】 （2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝． ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC＝10，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根据直角三角形中是斜边的一半即可写出数量关系； （2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造证明△CFB△CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系； ②根据题意应用的正弦值求得的长，然后根据的数量关系即可求解四边形ABCD的面积． 【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝， ∴∠DAC＝∠BAC＝， ∵∠ADC＝∠ABC＝， ∴∠ACD＝∠ACB＝， ∴AD＝． ∴AD＋AB＝AC， （2）①AD＋AB＝AC， 理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F． ， ∵AC平分∠BAD， ∴CF＝CE， ∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝， ∴∠FBC＝∠EDC， 又∠CFB＝∠CED＝， ∴△CFB△CED， ∴FB＝DE， ∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF， 在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC， ∴AD＋AB＝AC； ②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝ ∴∠DAC＝∠BAC＝， 又∵AC＝10， ∴CE＝A， ∵CF＝CE，AD＋AB＝AC， ∴ ＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线． 【经典例题八 全等三角形判定与性质综合应用】 50．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据，可得到：和，根据角的和与差求出． 【详解】证明：， ，， ， ． 51．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【答案】(1)其他对应边：和，和；对应角：和，和； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应边和对应角的概念即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得：，结合等量代换即可求解 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；对应角：和，和； （2）∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等，对应角相等，掌握全等三角形的概念是关键． 52．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质． （1）利用全等三角形对应边相等，先得出，再结合已知的长度求出，进而得到； （2）利用全等三角形对应角相等求出，再结合已知角求出，最后根据三角形外角性质求出． 【详解】（1）解∶∵， ， ， ； （2）解∶∵， ， ， ， 。 53．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． (1)其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）； A．如图1，过点C作 B．如图2，作 C．如图3，过上一点D作， D．如图4，过点C作 (2)请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理的证明及辅助线的作用，解题的关键是理解不同辅助线构造思路与平行线性质、全等三角形性质的结合，判断能否转化角的关系证明内角和为 ． （1）分析各选项辅助线作用：选项A作无法建立角之间的转化关系，不能证明；选项B利用全等三角形性质可转化角；选项C通过平行线性质转移角；选项D借助平行线将角转化为平角，故不能证明的是A． （2）选择合适图形，如选项利用平行线的性质（内错角相等、同位角相等）将三角形三个内角转化为一个平角，进而证明内角和为． 【详解】（1）分析各选项辅助线能否实现角的转化： 选项过点C作此辅助线无法建立三角形内角与其他角的等量关系，不能证明三角形内角和是． 选项作可利用全等三角形对应角相等转化角的关系，能证明． 选项过上一点D作可利用平行线内错角相等转移角，能证明． 选项过点C作可利用平行线内错角相等将内角转化为平角，能证明． 故答案为：A． （2）选择图2（选项B）证明 已知：，作． 求证：． 证明：延长至E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，又（全等三角形对应角相等） ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是． 选择图3（选项C）证明： 已知：． 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 选择图4（选项D）进行证明： 已知：． 求证：． 证明：过点C作延长至 ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是． 54．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）某工厂有一批斜边长为200厘米的等腰直角三角形的木板，现将三块这样的木板按图1的方式组合起来，然后沿着平行于的虚线将切割下来，再将切割下来的合理地拼接到的右侧，就可加工成一个如图2的钻石型五边形展台，材料正好没有剩余． (1)切割线应距离 厘米． (2)假设切割木板的速度保持不变，一位同学想通过只切割其中一块木板（但可多条线路进行切割），重新设计切割和拼接的方案，也得到与图2中同样大小的钻石型五边形展台，但切割的时间要减少，请你帮他在图3中用画出合理的切割线（直线，可画不止一条），此时切割长度比图1中切割的长度少 厘米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查应用与设计作图，等腰直角三角形的三边关系，理解题意，准确切割是解题的关键． （1）记与的交点E，由题意，知厘米，由等腰直角三角形三边关系可求出，即可根据求出，从而解决问题； （2）沿着平行于的虚线，将梯形，切割下来，再将切割下来的梯形，合理地拼接到的右侧，就可加工成一个如图2的一个钻石型五边形展台，材料正好没有剩余．再求出图3中切割线长，即可求出切割长度比图1中切割的长度少多少厘米． 【详解】（1）解：如图，记与的交点， 由题意，知，都是等腰直角三角形，厘米， ∴厘米，厘米， 厘米， 即切割线应距离厘米， 故答案为：； （2）如图，沿着平行于的虚线，将梯形，切割下来，再将切割下来的梯形，合理地拼接到的右侧，就可加工成一个如图2的一个钻石型五边形展台，材料正好没有剩余． 由（1）知厘米， （厘米），（厘米）， 厘米，厘米， ∴切割长度（厘米）， ∵图1中切割的长度厘米， ∴切割长度比图1中切割的长度少（厘米）， 故答案为：． 55．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，小刚站在河边的点处，在河对面（小刚的正北方向）的点处有一电线塔．他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处．然后他左转直行，从点处开始计步，当小刚到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他恰好走了步，并且小刚一步大约米．由此小刚估计出了在点处时他与电视塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． (1)判断小刚的做法是否合理．_______（填“合理”或“不合理”） (2)若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 【答案】(1)合理 (2)米 【分析】（）证明，得到，即可求解； （）求出，再根据全等三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：小刚的做法合理，理由如下： 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴小刚的做法合理， 故答案为：合理； （2）解：由题意得，米， ∴米， 即点处时他与电线塔的距离为米． 56．（24-25八年级上·河南南阳·期末）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目： 如图，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．    (1)判断与的大小关系，并直接写出你的结论． (2)试探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)王老师在这一题的基础上追加了一问：试求的度数．聪明的同学们你会解决吗？请写出你的求解过程． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据和均为等边三角形，得，即可得到； （2）利用等式的性质、等边三角形的性质、全等三角形的概念与性质解答即可； （3）利用等边三角形的性质和全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：和均为等边三角形， ， ， （2）解：和均为等边三角形， ，，（等边三角形的性质） ， （等式的性质）． 绕点C按逆时针方向旋转，能够与重合． ， （全等三角形的对应边相等）． （3）解：为等边三角形， ， ， ∵由（1）得：， （全等三角形的对应角相等）， 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的概念与性质，正确利用全等三角形的判定定理解答是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $