专题02 角的平分线重难点题型专训（3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题02 角的平分线重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 根据角平分线的性质求角度 题型二 根据角平分线的性质求长度 题型三 根据角平分线的性质求面积 题型四 作角平分线(尺规作图) 题型五 角平分线的性质定理 题型六 角平分线的判定定理 题型七 角平分线性质的实际应用 拓展训练一 角平分线的判定与性质多结论问题 拓展训练二 角平分线的判定与性质综合应用 拓展训练三 角平分线的常见辅助线添加 知识点一：角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）到三角形三边距离相等的点是（    ） A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．（24-25八年级上·山西·开学考试）如图，若作出和的角平分线，交点为，则点到、、的距离相等，理由是 ． 知识点二： 角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，平分，于C，于D，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）如图，中，的平分线交于点，若，则点到的距离是 ． 【经典例题一 根据角平分线的性质求角度】 【例1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将沿折叠，点落在点处，连接，若平分，平分，且，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数． (2)求证：点到三边、、所在直线的距离相等． 【经典例题二 根据角平分线的性质求长度】 【例2】（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（    ）．    A．3 B．4 C．6 D．5 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（   ） A．3 B．5 C． D．6 2．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足． (1)求证：. (2)若，，求的长； (3)求证：． 【经典例题三 根据角平分线的性质求面积】 【例3】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，是的平分线，是边上的中线，如果的面积是，，，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 3．（24-25八年级上·重庆潼南·期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积等于 ．    4．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【经典例题四 作角平分线(尺规作图)】 【例4】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G，若，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 1．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，为上一动点，则的最小值为（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是 ． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知锐角，点在边上，过点作，交于点．请你利用尺规在射线上求作一点，使点到射线的距离等于．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【经典例题五 角平分线的性质定理】 【例5】（24-25八年级上·全国·期中）如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于 ． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，．若，，则 ． 4．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【经典例题六 角平分线的判定定理】 【例6】（24-25八年级上·云南·期中）如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）叙述点在角平分线上的判定是 ．  3．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，是边上的动点点与，不重合，和的面积分别表示为和，且，请说出说明是角平分线的依据 ． 4．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【经典例题七 角平分线性质的实际应用】 【例7】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图，是中的角平分线，于点E，，则的长是（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于 ． 3．（2025八年级上·全国·模拟预测）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 ． 4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题： (1)直线是线段的________线，射线是的________线； (2)求的度数． 【拓展训练一 角平分线的判定与性质多结论问题】 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图，在四边形中，，，点在上，平分，平分．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论序号是 ． 3．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图1，已知，平分，定点C在射线上，与射线交于点B，与射线交于点D，且，当时，的长为 【感悟】 （1）试说明：①；②； 【探究】 （2）如图2，当点D在射线上，且与不垂直时，其他条件不变，则（1）中的结论②是否仍然成立？请说明理由； 【拓展】 （3）如图3，当点D在射线的反向延长线上时，，其他条件不变，则（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由． 【拓展训练二 角平分线的判定与性质综合应用】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期中）把两个同样大小的含角的直角三角板和三角板按如图所示放置，是与的交点，通过读刻度尺的数据，得的长为，则点到边的距离是 ． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，、分别在边、上，沿画射线交于．则是的平分线，说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，则_______． 【拓展训练三 角平分线的常见辅助线添加】 1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，，是的中点，利用该图（不再添加辅助线）可以证明的定理是（　　） A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 B．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．到角的两边距离相等的点在角平分线上 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有 对相似三角形．（不添加任何辅助线）    3．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）（1）如图①，在中，，，平分，交于点．如果作辅助线于点，则可以得到三条线段之间的数量关系为______； （2）如图②，中，平分，交于点，若有．试说明，写出证明过程．（提示：可以在线段上截取的等长线段） 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，则长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．35 3．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 6．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，平分，点在上，，，则点到射线的距离是 ． 7．（25-26八年级上·全国·期中）在中，，为的角平分线，若点D到边的距离为5，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，平分，．已知，，则 ． 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，为的中点，的平分线交于，交于点，若，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ． 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹． 如图：表示两条道路，在上有一车站（用点表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置． 12．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，中，，平分，，垂足为点E． (1)线段与是否垂直？说明理由； (2)若，，求的周长． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 14．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 15．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中，，平分，小明在刚学完“角平分线的性质”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与、两边比值的关系，他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，根据角平分线的性质来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比，请根据小明的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点D作的垂线，垂足为点H（保留作图 痕迹，不写作法，不下结论）， （2）证明：， ① 又，平分， ② ， ③ 小明再进一步研究发现，只要任意一个三角形被其一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论，请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 角的平分线重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 根据角平分线的性质求角度 题型二 根据角平分线的性质求长度 题型三 根据角平分线的性质求面积 题型四 作角平分线(尺规作图) 题型五 角平分线的性质定理 题型六 角平分线的判定定理 题型七 角平分线性质的实际应用 拓展训练一 角平分线的判定与性质多结论问题 拓展训练二 角平分线的判定与性质综合应用 拓展训练三 角平分线的常见辅助线添加 知识点一：角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）到三角形三边距离相等的点是（    ） A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可． 本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西·开学考试）如图，若作出和的角平分线，交点为，则点到、、的距离相等，理由是 ． 【答案】角平分线上的点到角的两边距离相等 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：作出和的角平分线，交点为，则点到、、的距离相等，理由是角平分线上的点到角的两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等． 知识点二： 角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，平分，于C，于D，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的一点到两边的距离相等的性质，得出结论一定要与选项进行比对． 【详解】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知． 故选：B． 2．（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）如图，中，的平分线交于点，若，则点到的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先作，根据角平分线的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点E， ∵平分，，， ∴， 所以点D到的距离是5． 故答案为：5． 【经典例题一 根据角平分线的性质求角度】 【例1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，过点作，分别垂直于，，根据与的面积之比为，证的，可知平分，进而即可求解． 【详解】解：过点作，分别垂直于，， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：C． 1．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的平分线的判定与性质．根据点到的距离与点到的距离相等，可得点C在的角平分线上，可得，即可解答． 【详解】解：∵点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴点C在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 【答案】32.5 【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将沿折叠，点落在点处，连接，若平分，平分，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．连接，先求出，再由平分，平分，可得平分，最后由三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， 平分，平分，， ，， ， ， ， ， 平分，平分，， 平分， ， 沿折叠， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数． (2)求证：点到三边、、所在直线的距离相等． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的外角性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． （1）由角平分线的定义求出，，由三角形的外角性质得到； （2）过作于，于，于，由角平分线的性质推出，，即可证明问题． 【详解】（1）解：平分，， ， 平分，， ， ； （2）证明：如图所示，过作于，于，于， 平分，平分， ，， 点到三边、、所在直线的距离相等． 【经典例题二 根据角平分线的性质求长度】 【例2】（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（    ）．    A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练应用角平分线的性质定理是解题的关键．过D作于F，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F，    ∵是中的角平分线，于点E，， ， ∵， ， ， ， 解得：． 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（   ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质；利用基本作图得平分，过点作于，根据角平分线的性质得到则，再利用面积法得到，最后解方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图，则， ， ， 即， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的判定与性质．此题比较简单，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可求解． 【详解】解：∵，点P在上， ∴平分， ，， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足． (1)求证：. (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由“”可证； （2）过E作于G点，由角平分线的性质可得，由“”可证，，可得，，由勾股定理可求的长； （3）由（2）可知，，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，过E作于G点， 又∵为的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（2）可知，，， ∴． 【经典例题三 根据角平分线的性质求面积】 【例3】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题综合考查角平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形面积计算．解题核心是通过构造辅助线，将分散的条件关联起来，利用角平分线性质得到，再结合直角三角形和等腰三角形的性质确定与的长度，最终代入面积公式求解。 【详解】解：过点E作，交于点D， 点E在的平分线上，且 ， ， ， 在中，，（即）， ， ，点E在的平分线上， ， ， , , ， ． 故选：C． 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，是的平分线，是边上的中线，如果的面积是，，，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角分线的性质、中线的性质，三角形的面积． 先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为F、G，   是角平分线， ，设 ， ， ， ， 解得：， ， 是的中线， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆潼南·期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积等于 ．    【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，解题关键是恰当作出辅助线求得三角形的高． 过点E作于F，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：如图，过点E作于F， ∵是边上的高， ∴． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：6．    4．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 【经典例题四 作角平分线(尺规作图)】 【例4】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G，若，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】A 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹得平分， 过G点作于H点，如图， ∴， ∵， ∴的面积． 故选：A． 1．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，为上一动点，则的最小值为（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查作图：基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识．如图，过点G作于H．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题． 【详解】如图，过点G作于H． 由作图可知，平分， 又∵，， ∴， 根据垂线段最短可知，的最小值为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查了角平分线的作法，直角三角形的特征，由作法得，直角三角形的特征得，即可求解． 【详解】解：由作法得平分， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，由作图可知，平分，根据三角形的内角和定理，高线的定义，求出，的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知锐角，点在边上，过点作，交于点．请你利用尺规在射线上求作一点，使点到射线的距离等于．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．结合角平分线的性质，作的平分线交射线于点N，则点N即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线，交射线于点N， 则点N即为所求． 【经典例题五 角平分线的性质定理】 【例5】（24-25八年级上·全国·期中）如图，的三边，，的长分别为20，30，40，O是三条角平分线的交点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作于，于，于，由角平分线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，于，于， 点O是三条角平分线的交点， ， ∵， ， ， ． 故选：C 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握角平分线的性质定理的运用是关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键．过点作,如图所示，由角平分线性质得到，再由三角形面积公式得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：过点作,如图所示： ，平分， ， ， , 故答案为：． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作于点，角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作于点， ∵平分 ∴， ∴的面积是； 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题六 角平分线的判定定理】 【例6】（24-25八年级上·云南·期中）如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了是角的平分线的判定定理在实际生活中的应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解，掌握角平分线的性质及判定是解题的关键． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴使图书角到小树林三条边的距离相等，则图书角的位置应选在三条角平分线的交点， 故选：． 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：B．    2．（24-25八年级上·全国·期中）叙述点在角平分线上的判定是 ． 【答案】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 【分析】根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角平分线，即可求解. 【详解】解：点在角平分线上的判定是到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．   故答案为：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的判定方法. 3．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，是边上的动点点与，不重合，和的面积分别表示为和，且，请说出说明是角平分线的依据 ． 【答案】到角两边距离相等的点在角平分线上 【分析】作交于点，作交于点，根据，可得出，然后根据角平分线性质定理的逆定理即可求解． 【详解】解：如图所示，作交于点，作交于点， ∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴是角平分线． ∴依据是：到角两边距离相等的点在角平分线上． 故答案为：到角两边距离相等的点在角平分线上． 【点睛】此题考查了三角形面积，角平分线的性质定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线，根据面积和底边相等得出高相等． 4．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为9． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为9． 【经典例题七 角平分线性质的实际应用】 【例7】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图，是中的角平分线，于点E，，则的长是（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】A 【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD＋S△ACD列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF， 由图可知，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， ∴×6×3＋×AC×3＝15， 解得AC＝4． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，熟记性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于 ． 【答案】8 【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点D到斜边AB的距离等于8． 【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， CD＝8， ∴点D到斜边AB的距离等于CD ∴D到斜边AB的距离为8． 故答案为∶8． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．本题直接运用角平分线的性质即可，比较简单，属于基础题． 3．（2025八年级上·全国·模拟预测）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 ． 【答案】2 【分析】先根据勾股定理计算出AB=10cm，再根据角平分线的性质得到OE=OF=OD，设OE=x，然后利用三角形面积公式和=得到即，再解方程即可． 【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm，CA=6cm， ∴==10（cm）， ∵点O为△ABC的三条角平分线的交点， ∴OE=OF=OD， 设OE=x， ∵ ∴ ∴5x+3x+4x=24， ∴x=2， 即点O到三边AB，AC和BC的距离都等于2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等． 4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题： (1)直线是线段的________线，射线是的________线； (2)求的度数． 【答案】(1)线段垂直平分；角平分 (2)23° 【分析】（1）根据作图痕迹判断即可； （2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可； 【详解】（1）解：根据作图痕迹可知， 直线是线段的线段垂直平分线； 射线是的角平分线； （2）∵垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 【拓展训练一 角平分线的判定与性质多结论问题】 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图，在四边形中，，，点在上，平分，平分．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，灵活应用这些性质解决问题是解题的关键．根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得，从而得到，可判断①；过点E作于点F，根据角平分线的性质，可得，，从而得到，可判断②；证明，可得，可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点E作于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质和判定可判断①，通过证明和可得，，即可判断②，根据三角形外角的性质可判断③，通过全等三角形的面积相等可判断④． 【详解】解：过点作于点， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵在和中，、 ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵由②可知：， ∴，， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图1，已知，平分，定点C在射线上，与射线交于点B，与射线交于点D，且，当时，的长为 【感悟】 （1）试说明：①；②； 【探究】 （2）如图2，当点D在射线上，且与不垂直时，其他条件不变，则（1）中的结论②是否仍然成立？请说明理由； 【拓展】 （3）如图3，当点D在射线的反向延长线上时，，其他条件不变，则（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析； （2）仍然成立，理由见解析；（3）不成立，新的结论是：，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线性质、全等三角形的判定与性质、垂直的性质等知识点，解题的关键在于通过作辅助线构造全等三角形，利用角平分线的性质和全等三角形的对应边相等，结合题目条件逐步推理出线段间的关系，从而解决问题． ①根据AP平分得，根据，得，由此依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； ②根据和全等得，再根据根据即可得出结论； 过点C作于点E，于点F，依题意得，同①证明和全等得，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，，据此即可得出答案； 过点C作于点K，于点T，依题意得，同①证明和全等得，，再证明和全等得，进而得，据此即可得出答案． 【详解】①证明：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ②证明：， 由①可知：， ； 仍然成立，理由如下： 过点C作于点E，于点F，如图2所示： ， 依题意得：， 同①证明：≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ； 不成立，新的结论是：，理由如下： 过点C作于点K，于点T，如图3所示： ， 依题意得：， 同①证明：≌， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 【拓展训练二 角平分线的判定与性质综合应用】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期中）把两个同样大小的含角的直角三角板和三角板按如图所示放置，是与的交点，通过读刻度尺的数据，得的长为，则点到边的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先证出平分，再根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∴，即平分， 则由角平分线的性质定理得：点到边的距离等于的长，即为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，、分别在边、上，沿画射线交于．则是的平分线，说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，则_______． 【答案】(1)是的平分线，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2）解：如图，过作于， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【拓展训练三 角平分线的常见辅助线添加】 1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，，是的中点，利用该图（不再添加辅助线）可以证明的定理是（　　） A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 B．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．到角的两边距离相等的点在角平分线上 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线，角平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，角平分线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解 【详解】解：．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，条件结论倒置，不能证明．故本选项不符合题意； ．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，条件满足即可证明，故本选项符合题意； ．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，和不满足到角两边的距离，不能证明，故本选项不符合题意； ．到角的两边距离相等的点在角平分线上，和不满足到角两边的距离，不能证明，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有 对相似三角形．（不添加任何辅助线）    【答案】3 【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成． 【详解】在△ABC与△DBA中， ∵∠ABD＝∠ABD，∠BAD＝∠C， ∴△ABC∽△DBA， 在△ABF与△CBE中， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， 又∠BAF＝∠BCE， ∴△ABF∽△CBE． 同理可证得：△ABE∽△DBF， 所以图形中共有3对相似三角形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）（1）如图①，在中，，，平分，交于点．如果作辅助线于点，则可以得到三条线段之间的数量关系为______； （2）如图②，中，平分，交于点，若有．试说明，写出证明过程．（提示：可以在线段上截取的等长线段） 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】本题综合考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定定理知；然后由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的两腰相等的性质推知，即； （2）在上截取，连接．证明．可得，证明，可得，再进一步可得结论． 【详解】解：（1）．理由是： ∵，， ∴，是的角平分线， ； 在与中， ， ， ； 又， ， ， ，即； （2）证明：如图，在上截取，连接． ， 又， ， ∵平分， ∴， 在和中 ， ． ， ， ， 又， ， 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的中线的概念、角平分线的性质是解题的关键；过点D作于G，于H，根据角平分线的性质得到，从而得到，再根据高相等的两三角形，底边比等于面积比可得，进而求出，再根据中线的性质求出，即可得解； 【详解】解：如图，过点D作于G，于H，     ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．35 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图所示，过点D作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接 与的角平分线交于点D， ， ∴ ∴， ， ∴， ∴点D到的距离为1， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、垂线段最短，解题关键是恰当的作出辅助线，找到最短线段，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点E作于P，此时的值最小，得出，根据角平分线的性质求出，求出的长即可． 【详解】解：过点E作于P，此时的值最小， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值是4， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，余角的性质等知识，利用余角的性质可判定①、②；利用角平分线的性质可判断③；利用全等三角形的判定可判定④． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵无法判断， ∴无法判断，故①错误； ∵，， ∴，， ∴，故②正确； ∵平分， ∴E到、的距离相等，设这个距离为 ∴，故③正确； 在和中， ， ∴，故④正确， 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，平分，点在上，，，则点到射线的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作，垂足为，然后根据角平分线的性质定理解答即可，熟练掌握该知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，作，垂足为， ∵平分，点在上，， ∴， ∴点到射线的距离是． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·期中）在中，，为的角平分线，若点D到边的距离为5，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等面积法，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．作于点E，作于点F，作于点G，根据直角三角形的性质得出，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，最后根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图，作于点E，作于点F，作于点G， ∵为的角平分线，点D到边的距离为5， ∴， ∵， ∴， ∵的面积＝的面积+的面积， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 8．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，平分，．已知，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过D作于F，利用角平分线的性质定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解： 过D作于F， ∵平分，，， ∴， 又， ∴， 故答案为：5． 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，为的中点，的平分线交于，交于点，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】过点M作于点D，证明为等腰直角三角形，得出，根据角平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出，求出即可． 【详解】解：过点M作于点D，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，则点D到边和的距离相等，进而可得的面积为6，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点 由作图过程可知，为的平分线， ， ， ， 的面积是 故答案为： 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹． 如图：表示两条道路，在上有一车站（用点表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．先作的平分线，然后过点P作于点T，则点T即为所求． 【详解】解：如图，点T即为所求． 12．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，中，，平分，，垂足为点E． (1)线段与是否垂直？说明理由； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2)12 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的对应边、对应角相等和等腰三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线相互重合是解题的关键． （1）利用条件证明，利用等腰三角形的三线合一的性质可证明结论； （2）可求得的长，再利用（1）的结论可求得，且，可求得． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ； （2）， 在中由勾股定理可求得， ， ， 又， ， ， 即的周长为12． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定， （1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论； （2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论； 【详解】（1）解：结论：，理由如下：         如图，设交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，                                 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，作于P，于Q， ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∵于P，于Q， ∴平分． 14．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质定理： （1）过点G作，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）过点P作，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得，再由角平分线的判定定理可得平分，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 过点G作，垂足分别为H，M，N， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即点G到三边的距离相等； （2）解：如图，过点P作，垂足分别为点E，F， ∵分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中，，平分，小明在刚学完“角平分线的性质”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与、两边比值的关系，他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，根据角平分线的性质来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比，请根据小明的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点D作的垂线，垂足为点H（保留作图 痕迹，不写作法，不下结论）， （2）证明：， ① 又，平分， ② ， ③ 小明再进一步研究发现，只要任意一个三角形被其一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论，请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图-作垂线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握三角形全等的判定和性质和角平分线的性质是解题的关键． （1）根据尺规基本作图-经过直线外一点作直线的垂线作法，作图即可； （2）根据推理过程，结合角平分线的性质填空即可； 根据命题写出已知，求证，然后根据角平分线的性质得出，进而将面积之比转化为相应边的比，即可求解． 【详解】解：（1）如图，即为所求， ； （2）证明：， ， 又，平分， ， ， ． 已知：在中，是的内角平分线， 求证：． 证明：过点D作于E，于F，如图， 是的角平分线， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $