13.1三角形的概念 同步课时练习 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

13.1三角形的概念 同步课时练习 一．选择题 1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，若△ABC的周长为12，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．8 D．9 2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，若以点C为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点D，则下列结论正确的是（　　） A．AD＝DB B．AD＝CD C．∠DCB＝∠A D．∠DCB＝∠ACD 3．△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，点D在线段BC上，若△ADC为直角三角形时∠ADB的度数为（　　） A．90° B．60° C．90°或60° D．90°或120° 4．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　） A．18° B．20° C．30° D．15° 5．如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm．则折叠凳的宽AB可能为（　　） A．56cm B．46cm C．36cm D．26cm 6．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一” 8．一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，已知等腰三角形的底角∠3＝70°，则∠1+∠2＝（　　） A．135° B．138° C．140° D．150° 二．填空题 9．如图，将一个等腰三角形放在两条平行线上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　 ． 10．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，则∠B＝　 　 °． 11．如图，直线EF分别交直线AB、CD于点P和点Q，点R在直线CD上，且RQ＝PQ，如果AB∥CD，∠APQ＝40°，那么∠BPR＝　 　 度． 12．如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝110°，则∠DAB的度数为　　 ． 13．如图，直线1∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E．若BC＝4，△DBC的周长为10，则AE的长为 　 　 ． 15．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α﹣β＝60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC＝ 　 　 ． 三．解答题 16．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，求∠C的度数． （2）一个等腰三角形的周长是36cm，腰长是底边长的2倍，求各边的长． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝40°，求∠CDE的度数． 18．补全过程或依据： 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使得CE＝AE．若∠B＝55°，求∠ECD的度数． 解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠①　 　 ＝∠B＝55°（等腰三角形两底角相等）， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC（②　 　 ）， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACB＝③　 　 °， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°（④　 　 ）， ∴∠ECD＝∠ACB﹣∠ACE＝⑤　 　 °． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在BD上，连结AD，AE，AE＝BE． （1）若∠B＝40°，求∠DAE的度数． （2）若CA＝CE，求∠B的度数． 20．数学课上，老师画出一等腰△ABC并标注：AB＝AC＝10，∠A＝30°，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答． （1）甲同学提出：∠B＝∠C＝　　 度； （2）乙同学提出：△ABC的面积为：　　 ； （3）丙同学提出：点D为边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，请求出DE+DF的值； （4）丁同学说受丙同学启发，点D为边BC上任一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB，垂足为E、F、H，则有DE+DF＝CH．请你为丁同学说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D D D C D C 二．填空题 9．解：∵△EFG是等腰直角三角形， ∴∠G＝45°， ∵∠1＝50°， ∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠G＝85°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝85°． 故答案为：85°． 10．解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A＝70°， ∴∠B＝（180°﹣70°）÷2＝55°． 故答案为：55． 11．解：∵RQ＝PQ， ∴∠QRP＝∠QPR（等边对等角）， ∵AB∥CD， ∴∠BPR＝∠QRP（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BPR＝∠QPR（等量代换）， ∵∠APQ＝40°， ∴∠BPQ＝180°﹣∠APQ＝180°﹣40°＝140°， ∴， 故答案为：70． 12．55°． 13．解：如图所示，过点A作AF∥l， ∵l∥m， ∴l∥m∥AF（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∵∠ABE＝21°， ∴∠BAF＝∠ABE＝21°，∠ACD＝∠CAF， 由等边三角形的性质可得∠BAC＝60°， ∴∠CAF＝60°﹣21°＝39°， ∴∠ACD＝39°， 故答案为：39°． 14．解：∵BC＝4，且△BDC的周长为10， ∴BD+CD＝10﹣4＝6， ∵AD＝BD， ∴AD+DC＝6， ∴AC＝6， ∵AB＝AC， ∴AB＝6， ∵AD＝DB，DE⊥AB， ∴． 故答案为：3． 15．解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， （1）2∠A﹣∠ABD＝60°，即∠ABD＝60°﹣2∠A， ∵∠A+∠ABD＝90°， ∴∠A+60°﹣2∠A＝90°， 解得∠A＝50°，∠ABD＝40°； （2）2∠A﹣∠ADB＝60°， 解得∠A＝75°，∠ABD＝15°； （3）2∠ABD﹣∠A＝60°， ∵∠A+∠ABD＝90°， 解得∠A＝40°，∠ABD＝50°； （4）2∠ABD﹣∠ADB＝60°， 解得∠ABD＝75°，∠A＝15°； △BCD是“斜等边三角形”， ①2∠C﹣∠CBD＝60°， ∵∠C+∠CBD＝90°， 解得：∠C＝50°，∠CBD＝40°； ②2∠C﹣∠CDB＝60°， 解得∠C＝75°，∠CBD＝15°； ③2∠CBD﹣∠C＝60°，即∠C＝2∠CBD﹣60°， ∵∠C+∠CBD＝90°， ∴2∠CBD﹣60°+∠CBD＝90°， 解得∠C＝40°，∠CBD＝50°； ④2∠CBD﹣∠CDB＝60°， 解得∠CBD＝75°，∠C＝15°； 当（1）①成立时，∠A＝50°，∠ABD＝40°，∠C＝50°，∠CBD＝40°， ∴∠CBA＝40°+40°＝80°， ∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意； 当（1）②成立时，∠A＝50°，∠ABD＝40°，∠C＝75°，∠CBD＝15°， ∴∠CBA＝40°+15°＝55°， ∵2∠CBA﹣∠A＝60°， ∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意； 同理得：符合题意的只有∠ABC＝55°， 故答案为：55°． 三．解答题 16．解：（1）∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝2x． ∵∠A+∠C+∠B＝180°，∠A＝x， ∴x+2x+2x＝180°， ∴x＝36°． ∴∠C＝2x＝72°； （2）设底边BC＝a cm，则腰长是AC＝AB＝2a cm， ∵三角形的周长是36cm， ∴2a+2a+a＝36． ∴， ∴等腰三角形的三边长是． 17．解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∠ADC＝90°， ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED70°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝20°． 18．解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠①ACD＝∠B＝55°（等腰三角形两底角相等）， ∵点D为BC边的中点， ∴AD⊥BC（②等腰三角形的三线合一）， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACB＝③35°， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠CAD＝35°（④等边对等角）， ∴∠ECD＝∠ACB﹣∠ACE＝⑤20°， 故答案为：①ACD；②等腰三角形的三线合一；③35；④等边对等角；⑤20． 19．解：（1）由条件可知∠C＝∠B＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵点D是BC的中点， ∴， ∵AE＝BE， ∴∠BAE＝∠B＝40°， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝10°； （2）由条件可知∠CAE＝∠CEA， 根据解析（1）可知：∠B＝∠BAE，∠B＝∠C， ∴∠CAE＝∠CEA＝∠B+∠BAE＝2∠B， ∴∠BAC+∠B+∠C ＝∠BAE+∠CAE+∠B+∠C ＝5∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴5∠B＝180°， 解得：∠B＝36°． 20．解：（1）解：∵AB＝AC＝10，∠A＝30°， ∴； 故答案为：75； （2）解：过点B作BH⊥AC，交AC于点H，则：∠BHA＝90°， ∵AB＝AC＝10，∠A＝30°， ∴， ∴； 故答案为：25； （3）解：连接AD，如图所示： ∵AB＝AC，点D为边BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF（角平分线的性质）； ∵AB＝AC＝10， ∴，， ， 由（2）知S△ABC＝25， ∴5（DE+DF）＝25， ∴DE+DF＝5； （4）证明：连接AD，如图所示： ∵DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB， ∴，，， ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，AB＝AC， ∴， 即：AB•（DE+DF）＝AB•CH， ∴DE+DF＝CH． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $