3.2平面直角坐标系 同步练习 2024-2025学年北师大版（2024） 数学八年级上册

3.2平面直角坐标系北师大版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习 分数：120分 p; 考试时间：120分钟； 命题人： 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点的坐标为，其中，均为实数，若，满足，则称点为“和谐点”若点是“和谐点”，则点所在的象限是  (    ) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 2.在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，记为第个点，则第个点的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.已知等腰，建立适当的平面直角坐标系后，其三个顶点的坐标分别为，，，则下列关于该三角形的三边关系正确的是  (    ) A. B. C. D. 4.已知为平面内任意整点横、纵坐标均为整数，且满足，则满足条件的点的个数是  (    ) A. B. C. D. 5.如图，已知直线，且在某平面直角坐标系中，轴，轴，若点的坐标为，点的坐标为，则点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.如图在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后，所得点的坐标是(    ) A. B. C. D. 7.如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为，月季园的坐标为，则牡丹园的坐标为(    ) A. B. C. D. 8.某动物园的平面示意图如图所示，若以大门为坐标原点建立平面直角坐标系，已知猴山在轴的正半轴上，则其他四个景点大致用坐标表示错误的是(    ) A. 熊猫馆 B. 猴山 C. 百鸟园 D. 驼峰 9.在某大型爱国主义电影中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片如图若一号暗堡坐标为，四号暗堡坐标为，敌人指挥部坐标为，则敌人指挥部可能在(    ) A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 10.如图，点、、、、在同一平面内若规定点的位置为，点的位置为，则点的位置应记为(    ) A. B. C. D. 11.已知点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围为  (    ) A. B. C. D. 12.如图，长方形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.如图，正方形的各边分别平行于轴或轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点出发，同时沿正方形的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以个单位长度秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以个单位长度秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后的第三次相遇点的坐标是          ． 14.如图，点，分别在轴、轴上，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点若点的坐标为，则的值为          ． 15.已知在平面直角坐标系中，，点在轴上运动，当点与点，，三点中任意两点构成直角三角形时，点的坐标为          ． 16.在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为          ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，对于边长为的等边三角形，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标． 18.本小题分 图中所示的是第届冬季奥林匹克运动会的吉祥物冰墩墩的简笔画． 在图中每个象限选四个点，写出它们的坐标，并说说它们的坐标各有什么特点； 在图中与坐标轴平行的线段上各选两个点，写出它们的坐标，并说说它们的坐标有什么特点． 19.本小题分 在平面直角坐标系中的位置如图所示． 分别写出点，，的坐标，并求的面积； 过点作直线轴，若点在直线上运动，连接，当线段长度最小时，直接写出此时点的坐标； 若点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 20.本小题分 已知平面内有一点，分别根据下列条件求点的坐标． 点在第三象限，且点到轴的距离为； 点的坐标为，且直线与轴平行． 21.本小题分 已知平面直角坐标系中有一点． 存在点，当平行于轴时，求点的坐标： 当点在轴上方，且到轴的距离是到轴距离的两倍时，求点的坐标． 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 求的值； 当为直角三角形时，求直线的表达式． 23.本小题分 如图，在单位长度为的网格坐标系中，有、、三个网格线交点． 在图中画出所建立的平面直角坐标系； 点的坐标为______； 若为轴上方的一点，且，． 求点的坐标； 已知，以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，直接写出点坐标． 24.本小题分 综合与实践 问题背景： 已知，，，在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则______，______． 探究发现： 结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为______． 拓展应用： 利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点、点、点中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 25.本小题分 综合与实践 问题背景： 已知，，，在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则   ，   ． 探究发现： 结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为   ． 拓展应用： 利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点、点、点中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】如图，设与轴交于点，则由题意可得，，，，所以，，，所以． 4.【答案】  【解析】因为，所以因为，都为整数，所以，的整数解为，或，或，或，或，，所以满足条件的点的个数是，故选D． 5.【答案】  【解析】【点拨】如图，依题意可画出平面直角坐标系， 所以点位于第三象限．故选C． 6.【答案】  【解析】解：由题知， 因为点坐标是， 所以经过第次变换后，所得点的坐标是， 经过第次变换后，所得点的坐标是， 经过第次变换后，所得点的坐标是， 经过第次变换后，所得点的坐标是， 经过第次变换后，所得点的坐标是， ， 由此可见，从第次变换开始，所得点的坐标按，，，循环． 又因为， 所以经过第次变换后，所得点的坐标是． 故选：． 根据题意，依次求出每次变换后所得点的坐标，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了坐标与图形变化对称及点的坐标变化规律，能根据所给变换方式得出从第次变换开始，所得点的坐标按，，，循环是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：根据题意，由芍药园的坐标为，月季园的坐标为，可建立如解图所示的平面直角坐标系， 则牡丹园的坐标为． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：若以大门为坐标原点建立平面直角坐标系，猴山在轴的正半轴上， 以大门为坐标原点建立直角坐标系，则下列坐标符号分别是熊猫馆，猴山，百鸟园，驼峰，利用排除法可确定C错误． 9.【答案】  【解析】如图所示，敌军指挥部的位置大致在处．故选B． 10.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了坐标确定位置，根据已知得出点的坐标意义是解题关键根据已知点的坐标意义得出横坐标为线段长度，纵坐标为夹角度数进而得出答案． 【解答】 解：规定点的位置记为，点的位置记为， 图中点的位置应记为：． 故选D． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了关于轴、轴对称点的坐标，以及各象限内点的坐标的特点，判断出点在第四象限是解题的关键．根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可知点在第一象限，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可． 【解答】 解：点关于轴的对称点在第四象限， 点在第一象限， 解不等式得，， 解不等式得，， 所以，不等式组的解集是， 故选D． 12.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查轴对称最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边，也考查了待定系数法求一次函数解析式等知识点． 作关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，的周长最小，根据的坐标为，得到，，，求出直线的解析式为，即可得到结论． 【解答】 解：作关于轴的对称点，连接交轴于， 则此时，的周长最小， 四边形是矩形， ，， 的坐标为， ，， 是的中点， ， 设直线的解析式为， 直线的解析式为， 当时，， ， 故选B． 13.【答案】  【解析】由题图可知，正方形的边长为，故正方形的周长为，所以蚂蚁甲和蚂蚁乙第一次相遇所用的时间为秒，蚂蚁乙走的路程为个单位长度，所以此时相遇点的坐标为因为蚂蚁甲和蚂蚁乙的速度比为，所以再经过秒蚂蚁甲和蚂蚁乙第二次相遇，相遇点坐标为第三次相遇时蚂蚁乙又走了秒，路程为个单位长度，此时相遇点坐标为故答案为． 14.【答案】  【解析】由题意得，点在的平分线上，所以点到轴和轴的距离相等．又因为点的坐标为，所以，所以故答案为． 15.【答案】或或  【解析】点，，在轴上，，，三点不能构成三角形设点的坐标为当为直角三角形时，，易知点在原点处，坐标为；时，，，，解得，点的坐标为当为直角三角形时，，易知点在原点处，坐标为；时，，，，，点的坐标为综上所述，点的坐标为或或． 16.【答案】  【解析】略 17.【答案】解：如图，以边所在直线为轴，以边的中垂线为轴建立平面直角坐标系．由等边三角形的性质可知，是直角三角形，所以所以顶点，，的坐标分别为，，答案不唯一，合理即可   【解析】略 18.【答案】【小题】 解：答案不唯一． 第一象限：，，，等，横、纵坐标均大于；第二象限：，，，等，横坐标都小于，纵坐标都大于；第三象限：，，，等，横、纵坐标均小于；第四象限：，，，等，横坐标都大于，纵坐标都小于． 【小题】 与轴平行的线段上的点的坐标分别是，，；，，；，，，，，，；，，，，，，；，；，；，；，；，，；，，；，，，，，，，，；，，，，，，从各组中各选两个点即可 特点：每条线段上的点的纵坐标均相同． 与轴平行的线段上的点的坐标分别是，，，，；，，；，，，；，，；，；，；，；，；，，；，，；，，，；，，，，从各组中各选两个点即可 特点：每条线段上的点的横坐标均相同．   【解析】 见答案  见答案 19.【答案】【小题】 解：点，，， ． 【小题】 如图所示，线段长度最小时，， 点的坐标为． 【小题】 设点的坐标为，，的面积为，  解得或，点的坐标为或．   【解析】 略  略  略 20.【答案】解：点到轴的距离为； ， 点在第三象限， ， 解得：， 当时，，； 点的坐标为；  ，点的坐标为，且直线与轴平行， 则，解得：， ， 点的坐标为， 综上可知，点的坐标为．  【解析】本题考查了坐标与图形，平面直角坐标系中点的坐标，点到坐标轴的距离，平行于轴的直线上的点横坐标相同是解题关键． 根据纵坐标的绝对值等于点到轴的距离且点在第三象限，得到，求解即可； 根据直线与轴平行，平行于轴的直线上的点横坐标相同，求解即可． 21.【答案】【小题】 解：平行于轴， ， 解得：， 则， ； 【小题】 解：点在轴上方， ； 即； 点到轴的距离是，点到轴距离是； 点到轴的距离是到轴距离的两倍， ， 解得：或， 或   【解析】  本题考查了平面直角坐标系；掌握点在坐标系中的特点是关键． 根据平行于轴的直线上的点的特征：横坐标相同可求得的值，从而求解；   根据点在轴上方，则纵坐标为正数，得的取值范围，再由距离关系列方程即可求得的值，从而求解． 22.【答案】解：点，点，点， 点在轴的正半轴上，，，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； 点在轴的正半轴上， ，， 当为直角三角形时，只有， 在中，由勾股定理得：， 由可知：，，， ， 解得：，不合题意，舍去， 点， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：， 直线的表达式为：．  【解析】依题意得点在轴的正半轴上，，，，，再由勾股定理得，，由此可得出的值； 根据点在轴的正半轴上得，，因此当为直角三角形时，只有，由勾股定理得，则，由此解出，进而得点，然后利用待定系数法求出直线的表达式即可． 此题主要考查了直角三角形的性质，点的坐标，熟练掌握角三角形的性质，点的坐标，以及待定系数法求出一次函数的表达式是解决问题的关键． 23.【答案】见解答；   ；   点的坐标为， 点坐标．  【解析】平面直角坐标系如图所示：  点的坐标为， 故答案为：； 为轴上方的一点，且，，且，、， ，， 点的坐标为， 依题意，如图所示： 点坐标为， 根据、，建立平面直角坐标系，即可作答． 在建好的平面直角坐标系读取点的坐标，即可作答． 根据，，则，即可作答． 先根据作图，得，结合以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，则作图后再取点的坐标，即可作答． 本题考查了点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24.【答案】解：在平面直角坐标系中描出它们如下： ，   ；     ； 因为，，， 所以、、的中点分别为：、、 所以过中点时，， 解得：，，故H； 过中点时，， 解得：，，故H； 过的中点时，， 解得：，，故H． 所以点的坐标为：，，．  【解析】解：如图：，，，在平面直角坐标系中描出它们如下： 线段和中点、的坐标分别为、 故答案为：、． 若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为． 故答案为：． 见答案． 根据坐标的确定方法直接描点，分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标； 根据中的坐标与中点坐标找到规律； 利用中的规律进行分类讨论即可答题． 本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数． 25.【答案】解：解：如图：，，，． 在平面直角坐标系中描出它们如下： 线段和中点、的坐标分别为、 故答案为：，；    ； ，，， 、、的中点分别为：、、 过中点时，， 解得：，，故H； 过中点时，， 解得：，，故H； 过的中点时，， 解得：，，故H． 点的坐标为：，，．  【解析】【分析】 本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数． 根据坐标的确定方法直接描点，分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标； 根据中的坐标与中点坐标找到规律； 利用中的规律进行分类讨论即可答题． 【解答】 解：见答案． 若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为． 故答案为：． 见答案． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $