精品解析：河北省廊坊贺阳高级中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

河北省廊坊贺阳高级中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题 考试范围：必修一、必修二内容 考试时间：120分钟 注意事项： 1、答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，求（ ） A. B. 40 C. 4 D. 5. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 6. 正方体的8个顶点中，恰有四点为正四面体的顶点，那么正方体的表面积与这正四面体表面积的比是（ ） A. 2： B. ： C. ：1 D. ：1 7. 两个事件A，B相互独立，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边，若满足，则角C的大小为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知向量，，则（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为A₁D₁的中点，F为C₁D₁的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. EF∥AC B. 直线EF 与平面BCC₁B₁所成的角为45° C. 异面直线EF 和AD₁所成的角为45° D. BD₁⊥EF 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 现有7名学生，其中学生的数学成绩优秀，学生的物理成绩优秀，学生的化学成绩优秀．现要从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，被选中的概率为______． 13. 已知函数若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______． 14. 在正方体中，直线与平面所成角为，___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知与的夹角为． （1）求的值； （2）设，求的夹角． 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的解析式. 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，……，，. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取3人，求此3人评分至少有两人在的概率. 18. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 19. 如图，在四棱锥中，，，，，，，. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省廊坊贺阳高级中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题 考试范围：必修一、必修二内容 考试时间：120分钟 注意事项： 1、答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题（全称命题）的否定是存在量词命题（特称命题），即可求出． 【详解】命题“，都有”的否定是“，使得”. 故选：B． 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法即得. 【详解】方程的实数根为和， 不等式的解集为． 故选：A． 3. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 4. 已知平面向量，，求（ ） A. B. 40 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量运算法则得到，再利用模长公式进行计算. 【详解】由，得， ∴. 故选：A. 5. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 6. 正方体的8个顶点中，恰有四点为正四面体的顶点，那么正方体的表面积与这正四面体表面积的比是（ ） A. 2： B. ： C. ：1 D. ：1 【答案】C 【解析】 【分析】由正方体、正棱锥的表面积公式求各自表面积，即可得结果. 【详解】如下图示，若正方体棱长为a，则正方体的表面积为， 而正四面体表面积， 所以面积比为：1. 故选：C 7. 两个事件A，B相互独立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件独立的定义，即可得出答案. 【详解】A：，则， 而，所以不成立； D：，，， 所以，若， 所以在上有两解，则，，显然不成立； 根据事件独立的定义，B项一定成立，而C项说明两事件互斥，故不可能独立， 故选：B. 8. 已知a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边，若满足，则角C的大小为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，再由余弦定理可得答案. 【详解】由，则 所以， 则，又 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的概念，逐项判断，即可得到结果. 【详解】由对数的概念可知：可转化为，故A正确； 由对数的概念可知：可转化为，故B错误； 由对数的概念可知：可转化为，故C正确； 由对数的概念可知：可转化为，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知向量，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和向量的模的计算可判断选项． 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 因为，所以，且，故C错误，D正确. 故选：BD 11. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为A₁D₁的中点，F为C₁D₁的中点，则下列说法中正确的是（ ） A. EF∥AC B. 直线EF 与平面BCC₁B₁所成的角为45° C. 异面直线EF 和AD₁所成的角为45° D. BD₁⊥EF 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线线平行传递性可判断A选项，根据线面角得出B选项，根据异面直线所成角判断C选项，根据线面垂直判断D选项. 【详解】对于A选项，由EF//A₁C₁，AC//A₁C₁，可得EF//AC，可得A选项正确; 对于B选项，由平面ADD₁A₁//平面BCC₁B₁，D₁F⊥平面ADD₁A₁，直线EF 与平面所成的角为∠FED₁，，可得B选项正确； 对于C选项，由EF//A₁C₁，AD₁//BC₁，△A₁C₁B是等边三角形，可得异面直线EF 和AD₁所成的角为60°,C选项错误; 对于D选项，由平面BDD₁,平面BDD₁，,AC⊥平面BDD₁，EF//AC，EF⊥平面BDD₁,可知D选项正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 现有7名学生，其中学生的数学成绩优秀，学生的物理成绩优秀，学生的化学成绩优秀．现要从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，被选中的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】列举出数学、物理、化学成绩优秀者各1名的情况数，并得到被选中的情况数，得到概率. 【详解】从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，共有以下情况： ，，，，，， ，，，，，， 共有12种情况， 其中被选中的情况有，，，， ，，共有6种情况， 故被选中的概率为. 故答案为： 13. 已知函数若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象性质，结合函数零点定义、利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】令， 问题函数恰有三个不同的零点，可以转化为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，两个函数的图象如下图所示： 根据数形结合思想可知函数的图象与函数的图象有三个不同的交点， 只需， 故答案为： 14. 在正方体中，直线与平面所成角为，___________. 【答案】 【解析】 【分析】由正方体性质及线面角的定义找到与面所成角的平面角，并求其正切值. 【详解】由面，则与面所成角，如下图示， 若正方体棱长为2，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知与的夹角为． （1）求的值； （2）设，求的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据可以得到答案；（2）计算即可. 【小问1详解】 由已知，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵，∴. 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据最小正周期得到，得到函数解析式； （2）根据平移变换和伸缩变换的法则得到答案. 【小问1详解】 ， 最小正周期为，故，故， 所以； 【小问2详解】 的图象向左平移个单位长度，得到， 将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数. 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，……，，. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取3人，求此3人评分至少有两人在的概率. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图的性质计算即可求解; （2）根据频率分布直方图计算50%分位数即可; （3）根据频率分布直方图得出50名职工中、分别有2人、3人，利用列举法结合古典概型的概率公式即可求 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得； 【小问2详解】 评分在的概率为，评分在的概率为，所以该企业的职工对该部门评分的50%分位数位于， 所以50%分位数为； 【小问3详解】 受访职工中评分在的有：人，记为，，， 受访职工中评分在的有：人，记为，， 从这5名受访职工中随机抽取3人，所有的可能结果有10种，分别为：，，，，，，，，，， 抽取的3人中，评分至少有两人在包含的基本事件有：，，，，，，，共7个， 故所求概率为 18. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 19. 如图，在四棱锥中，，，，，，，. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理，证明出可证得平面. （2）作，垂足为H，连结，证得为与平面所成的角，在中求即可. 【小问1详解】 ∵，，， 由勾股定理得：， 中，， ∵，∴， 又因为底面，底面，所以， 又因为且平面，∴平面， 【小问2详解】 作，垂足为H，连结， 因为平面， 平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 所以为与平面所成的角， 中，， ， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $