2.4.1 圆的标准方程学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学学案核心知识点为圆的标准方程，导入从圆的几何定义（平面上到定点距离等于定长的点的集合）出发，结合平面直角坐标系，运用两点间距离公式推导方程，衔接坐标系、距离公式等前置知识，为后续用方程解决几何问题搭建学习支架。 资料特色在于强化几何特征与代数方程的转化，例题含多解法（如代数法与几何法），练习分课堂与课后且层次分明。通过推导培养数学抽象与逻辑推理，解决问题提升数学运算与直观想象，知识清单巩固基础，助力学生深化理解并提升应用能力。

第二章 直线和圆的方程 2.4.1·圆的标准方程 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、掌握圆的标准方程的推导过程，理解方程中各参数的几何意义 2、能根据圆心和半径写出圆的标准方程 3、运用圆的标准方程解决与圆相关的几何问题 通过推导圆的标准方程，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用方程解决圆的相关问题，提升数学运算、直观想象素养 重点 圆的标准方程的推导 根据已知条件求圆的标准方程 难点 理解如何将圆的几何特征转化为代数方程 解决含参数的圆的标准方程问题 新知识导入 我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了．由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的 关系式，进而得到圆的方程。如图，在平面直角坐标系中， 的圆心 的坐标为 ，半径为 ， 为圆上任意一点， 就是以下点的集合． 根据两点间的距离公式，点 的坐标 满足的条件可以表示为，两边平方，得 ．（1） 知识清单 知识点一 圆和圆的标准方程 1.圆的几何要素：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的_____________. 在平面直角坐标系中，如果一个圆的_____________和_____________确定了，圆就唯一确定了. 2.圆的标准方程：方程称为圆心为_____________，半径为______的圆的标准方程. 例题讲解 例1 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 例2 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 例3 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程． 课堂练习 1.若点在圆的外部，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.圆心为，且经过原点的圆的方程是( ) A. B. C. D. 3.为圆上任意一点，且点，则的最大值为( ) A.5 B.9 C.8 D.7 4.经过三个点，，，的圆的方程为( ) A. B. C. D. 5.已知点，，求： （1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程； （2）过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 课后练习 1.已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为( ) A. B. C. D. 2.以，为直径的两个端点的圆的方程为( ) A. B. C. D. 3.已知圆M的方程为，则圆心M的坐标是( ) A. B. C. D. 4.下列方程中表示圆心在直线上，半径为，且过原点的圆的是( ) A. B. C. D. 5.已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是________. 答案以及解析 知识清单 答案：1.集合 圆心坐标 半径 2. r 例题讲解 例题1 分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上． 解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是． 把点的坐标代入方程的左边， 得，左右两边相等， 点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上． 把点的坐标代入方程的左边， 得，左右两边不相等， 点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上．（如图） 例题2 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了． 解：设所求的方程是．① 因为，，三点都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①． 于是即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，， 得到关于a，b的二元一次方程组 解此方程组，得代入，得． 所以，的外接圆的标准方程是． 例题3 分析：设圆心C的坐标为．由已知条件可知，，且．由此可求出圆心坐标和半径． 另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法． 解法1：设圆心C的坐标为． 因为圆心C在直线上，所以．① 因为A，B是圆上两点，所以． 根据两点间距离公式，有， 即．② 由①②可得，．所以圆心C的坐标是． 圆的半径． 所以，所求圆的标准方程是． 解法2：如图，设线段AB的中点为D． 由A，B两点的坐标为，， 可得点D的坐标为，直线AB的斜率为． 因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即． 由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解．解这个方程组，得 所以圆心C的坐标是．圆的半径． 所以，所求圆的标准方程是． 课堂练习 1.解析：由题意知，解得或，则实数a的取值范围是，故选C. 2.解析：因为圆心为，所以设圆的方程为， 因为圆经过原点，所以，所以， 所以所求圆的方程为.故选A. 3.解析：圆的圆心为，半径， 因为，所以点Q在圆外， 所以的最大值为.故选D. 4.解析：易知，为圆的直径，圆的半径 ，又圆心为线段BC的中点，其坐标为， 圆的方程为.故选C. 5.解析：（1）当AB为直径时，过点A，B的圆的周长最小. 易知线段AB的中点为，， 故所求圆的圆心为，半径为， 故所求圆的标准方程为. （2）设圆的标准方程为， 则解得 所求圆的标准方程为. 课后练习 1.答案：C 解析：因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C. 2.答案：D 解析：易知该圆圆心为，的中点， 半径， 所以该圆方程为：. 故选：D. 3.答案：A 解析：的圆心坐标为； 的圆心坐标为； 故选：A. 4.答案：D 解析：因为圆心在上，所以设圆心为， 因为圆半径为， 所以设圆的标准方程为， 因为该圆过原点， 所以， 解得， 所以圆心为或， 当圆心为时，圆的标准方程为，D对； 当圆心为时，圆的标准方程为. 故选：D. 5.答案： 解析：因圆心在直线上，设圆心C坐标为， 圆C标准方程为：， 则，解得：， 所以圆C的标准方程为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $